Construction du « rectangle d`or » à partir d`un angle de 72° et les

1
Construction du « rectangle d’or » à partir d’un
angle de 72°, propriétés du pentagone régulier
Parcours sur « le triangle d’or » et le « triangle
sacré de Pythagore » (III)
(Voir les articles « Une séquence autour du nombre
d’or » et « Variantes sur le parcours autour du nombre
d’or en troisième », dans notre site IREM)
IREM, IUFM, UCBN, INSPECTION DES MATHEMATIQUES
Académie de Caen Basse-Normandie
Auteur : Dr. Ruben Rodriguez Herrera
Agrégé de mathématiques
Niveau : 3ème du collège
Objectifs : à travers un parcours les élèves réinvestissent des propriétés de la
géométrie, développent les capacités à chercher, à modéliser, à formaliser à travers des
propriétés géométriques et aussi des propriétés de l’algèbre, à s’auto-évaluer.
Mots clés : nombre d’or, rectangle d’or, rapport, proportion, angles complémentaires,
triangles de « même forme », propriétés algébriques du calcul littéral, identités
remarquables, racine carrée, équations.
Matériel : papier cartonné, instruments de géométrie, ciseaux, ordinateur.
Remarque: dans ce parcours autour du rectangle d’or il
nous parait indispensable du point de vue culturel et aussi
géométrique de retrouver une construction à partir du
triangle d’or et du pentagone régulier, de même que
retrouver le nombre d’or dans le « triangle sacré » de
Pythagore.
Phase 1) On travaille sur la construction du pentagone régulier à partir des angles de
360°:5 =72°.
On part dans cette phase de l’analyse des élèves des propriétés d’un pentagone
régulier pour pouvoir trouver un programme de construction.
Notamment on tient compte de deux propriétés caractéristiques : le pentagone régulier
est inscriptible dans un cercle et tous ses côtés sont de même longueur.

2
Ainsi que d’autres propriétés comme, par exemple : les angles au centre de chaque
côté ont la même mesure égale à 360° :5 = 72°
Les élèves trouvent le programme de construction le plus facile : celui qui trace un
cercle puis les cinq angles de 72° au centre et ensuite les intersections des côtés des
angles avec le cercle les sommets ABCDE du pentagone.
Ici les élèves sont invités à déduire la nature de cinq triangles et les mesures de leurs
angles. C’est ainsi qu’ils réinvestissent leurs compétences en géométrie.
Les cinq triangles sont isocèles et les angles de même mesure le sont de 54°.
Phase 2) On analyse aussi d’autres programmes, par exemple celui qui part du tracé
d’une diagonale du pentagone.
Avec les élèves on arrive à la construction
suivante :
1) On trace un cercle de centre O
2) On place un point A sur le cercle et on
trace une demi-droite [AO) puis un angle de
18° ayant la dernière demi-droite comme
côté. M’autre côté de cet angle coupe le
cercle en C
3) On trace le point D symétrique de C par
rapport à la droite (AO)
4) On complète le pentagone régulier par
report de la longueur CD

3
Remarque : les triangles comme, par exemple, ACD sont dits « triangles d’or », car ils
contiennent le « nombre d’or », comme on le verra par la suite avec les élèves.
Le nombre d’or dans le pentagone
Phase3) Lorsque que les élèves ont bien construit le pentagone régulier à partir de
l’angle de 72°, on s’intéresse au rapport entre la longueur d’une diagonale et la longueur
du côté du pentagone.
On trace par exemple deux diagonales [AD] et [BE] qui se coupent en G.
On observe avec les élèves que les triangles AED et AGE sont isocèles et ont les mêmes
angles : deux de 36° et un de 108°. De même les triangles ABG et GED sont isocèles et
ont deux angles de 72° et un de 36°
Donc on constate que le rapport AD/AE est égal au rapport AE/(AD-AE).
Et on choisit avec les élèves [AE] comme unité, c'est-à-dire AE = 1 et on pose AD = x
Puis on obtient l’égalité des rapports : AD/AE = AE/(AD-AE) qui s’écrit x/1 =1/(x-1)
Ce qui donne x(x-1 )= 1 ou bien x² = x+1. C'est-à-dire que x est le nombre
d’or rencontré précédemment.
Les triangles tels que ADC sont les « triangles d’or »
Donc le rapport entre la diagonale et le côté d’un pentagone
régulier est le nombre d’or.
Phase 3 On arrive à la construction suivante :
1) On trace un segment [AB] puis deux perpendiculaires à (AB) une en A et l’autre en
B.
2) On trace la médiatrice de [AB] et un angle de 72° ayant un côté [AB] et l’autre qui
coupe la médiatrice en O.
3) On trace le cercle de centre A et de rayon AO qui coupe l’une des perpendiculaires
de (1) en F.
4) On complète le rectangle ABGF , le carré FGHJ.
Alors les rectangles AFGB et AJHB sont deux rectangles d’or

4
Phase 4) les élèves argumentent à partir du nombre d’or trouvé dans le travail avec le
pentagone régulier : si l’on prend par exemple AB = 1 alors le rapport AF/AB est égal
au nombre d’or.
Phase 5) Les élèves sont invités à chercher des informations sur le nombre d’or, le
triangle d’or et le pentagone régulier en relation avec l’histoire des arts, de
l’architecture, à la nature et au nombre d’or...
Voici quelques informations qui peuvent susciter chez les élèves l’envie de démontrer
encore la validité d’autres constructions qui contiennent le nombre d’or.
1) Méthode ancienne à partir des angles
AB=2

5
Une méthode de construction qui n'est pas très connue. Peut être plus ancienne, car elle
utilise les angles, donc elle suppose beaucoup de connaissances de l’Astronomie
Quand on trace un angle de 36°) sur un diamètre de longueur 2 alors on trouve le nombre
d’or sur la longueur de l’autre côté de l’angle qui n’est pas un diamètre.
Cette figure est utilisée pour les Pentagrammes qui ont servi à construire le fameux Polyèdre
de Dürer, dans son tableau « Mélancolie I » en 1514.
Les élèves peuvent le démontrer avec l’aide de l’enseignant en calculant d’abord le cosinus
de 36° dans la figure du pentagone.
Ici AH = 1/2 car on avait choisi AE = 1 et AO = (1+5)/2 -1 = ( 5 -1)/2
Donc cos 36° = ½ /(( 5 -1)/2) = 1/5 -1) = 5 +1)/4, c’est à dire que cos36° vaut la
moitié du nombre d’or.
Alors dans la figure suivante on voit que si BD = 2 et comme cos36° est égal à la moitié du
nombre d’or, on peut écrire que ED/2 est égal à la moitié du nombre d’or et donc ED est égal
au nombre d’or qui vaut (1+5)/2 . Les élèves remarquent que si l’on construit un rectangle
ayant pour dimensions la largeur égale au rayon AD et la longueur égale à ED on obtient un
rectangle d’or.