simulation avec excel

Le jeu du franc-carreau
Georges Louis Leclerc, comte de Buffon (1707-1788) est connu essentiellement pour son oeuvre de naturaliste. Georges Louis
Leclerc deviendra, par la grâce de Louis XV, comte de Buffon. Cet excellent administrateur (Buffon enrichira et agrandira le
jardin du Roi), membre de l'Académie Française et de toutes les grandes académies européennes, fut aussi philosophe et
mathématicien.
C'est dans son Essai d'arithmétique morale publié en 1777 que l'on peut trouver le Mémoire sur le jeu de franc carreau qui
contient le fameux problème de l'aiguille .
Dans une chambre pavée de carreaux « carrés » égaux, on jette en l'air un écu; l'un des joueurs parie que cet écu après sa chute
se trouvera à franc-carreau, c'est-à-dire sur un seul carreau; le second parie que cet écu se trouvera sur deux carreaux, c'est-àdire qu'il couvrira un des joints qui les séparent; un troisième joueur parie que l'écu se trouvera sur deux joints: on demande la
probabilité pour chaque joueur de gagner.
Cherchons la première correspondant à une chute à franc-carreau.
On inscrit dans l'un des carreaux de côté de longueur c un carré , éloigné des côtés du carreau, de la
longueur r du rayon de l'écu (2r<c).
Tant que le centre de l'écu est dans le carré inscrit, cet écu ne peut être que sur un seul carreau, puisque
par construction cette figure inscrite est partout éloignée du contour du carreau, d'une distance égale au
rayon r de l'écu; et, au contraire, dès que le centre de l'écu tombe au dehors du carré inscrit , l'écu est
nécessairement sur deux ou plusieurs carreaux.
D'une loi discrète à une loi continue :
Soit ABCD le "carreau" carré de côté de longueur c. Soit r la longueur du rayon de l'écu. (2r < c).
Le carré inscrit A'B'C'D' a un côté de longueur c – 2r.
Prenons, par exemple, c = 10 cm et r = 1 cm.
On tapisse ABCD par un quadrillage de petits carrés unité u i de côté c/1000 par exemple (ie:100 petits
carrés par cm linéaire).
Hypothèse de modèle :
Soit  = u i 1 i 106 . Tous les u i sont équiprobables : pour tout i, P ui  p  106 .
o
bg
t
Soit FC l'événement "franc carreau" : le centre O de l'écu est tombé dans l'un des u i qui tapissent
A'B'C'D'.
2
P FC 
 P ui  c  2r  100  p  0,64
bg
bg b g
i u i  A ' B'C ' D '
' B' C' D'
.
b g aireaireAABCD
Par définition de l'aire : P FC 
Hypothèse de modèle continu :
 = M M  ABCD .
Soit E l'événement "O est tombé dans le domaine ".
m
r
P(E) est proportionnelle à l'aire de  ; on pose donc : P(E) =
aire de 
.
aire de ABCD
C'est la loi uniforme continue sur le carré ABCD.
4(c-2r)r
(c-2r) 2
La probabilité cherchée pour le premier joueur est donc égale à
, celle du second à
et
2
c2
c
4r 2
celle du troisième 2 .
c
-1-
remarque :
On peut reprendre la question avec des carreaux « triangulaires équilatéraux », des carreaux « losange »
ou des carreaux « hexagones ».
On peut également simuler cette expérience . Si nous lançons n fois l’écu et appelons F le nombre de fois
où il y a un franc-carreau, événement considéré comme un succès ; nous sommes en présence d’une
(c-2r) 2
variable F suivant une loi binomiale B(n,
).
c2
(c-2r) 2
D’après la loi faible des grands nombres, la variable F converge en probabilité vers
.
c2
SIMULATION AVEC EXCEL
Ouvrir le fichier FrancCarreau.xls
Voici le type de résultat que l'on obtient :
Nombre de
Franc-carreau
Fréquence
lancers
1000
632
0,632
2000
1283
0,6415
3000
1914
0,638
4000
2543
0,63575
Probabilité
Erreur
0,64
0,64
0,64
0,64
0,008
0,0015
0,002
0,00425
Comme on le voit, la vitesse de convergence vers 0,64 n’est pas très bonne . Par contre, on arrive très
rapidement dans l'intervalle [0,63 ; 0,65].
-2-