EXERCICE I. DES ÉCRITS D`ILLUSTRES SCIENTIFIQUES (6,5

BAC S Métropole 2011 EXERCICE II : CHUTE VERTICALE D’UN BOULET
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(5,5 points)
1. Modélisation par une chute verticale
1.1. Étude des hauteurs de chute
1
1.1.1. On a : x(t) = .g.t²
2
1
x1 = x() = .g.²
2
1
1
x2 = x(2) = .g.(2)² = 4 .g.²
2
2
1
1
x3 = x(3) = .g.(3)² =9 .g.²
2
2
1.1.2.
h1 = x1 – x0 = x1  0 = ½.g.²
= 1½.g.²
h2 = x2 – x1 = 4½.g.²  ½.g.² = 3½.g.² = 3.h1
h3 = x3 – x2 = 9½.g.²  4½.g.²= 5½.g.² = 5.h1
1.1.3. (Voir ci-dessus). On retrouve bien une suite des hauteurs égale à un nombre impair de fois la distance ½.g.²
comme annoncée par Galilée.
1.2. Étude de la durée de chute
1.2.1. Proposition b : « la durée de chute diminue quand la masse du boulet augmente »  Aristote
Proposition c : « la durée de chute est indépendante de la masse »  Galilée.
La proposition a ne correspond à la pensée d’aucun philosophe.
1.2.2. H = x(t) – x(0) = ½.g.t2  ½.g.t0² = ½.g.t2  0 = ½.g.t2 donc
t 
2H
g
2  57
= 3,4 s
9,8
Galilée mesure t = 5 s. L’écart est dû aux actions de l’air (frottements et poussée d’Archimède) qui ne sont pas
prises en compte et à la technique de mesure de la durée t à l’époque de Galilée (pas de chronomètre …).
Soit t 
2. Chute réelle
2.1. Voir schéma ci-contre.
2.2. Poids : P = mboulet de fer.g = fer.VS.g
Poussée d’Archimède:  = mair déplacé.g = air.VS.g
P fer .VS .g fer


 air .VS .g air
O
i

f
P 7,87  103
= 6,10103 >> 1


1,29
Donc P >>  : la poussée d’Archimède est négligeable devant le poids.
soit
2.3.1. La deuxième loi de Newton, appliquée au boulet de fer, dans le référentiel terrestre
supposé galiléen donne :
P  f  ma
En projection selon l’axe (Ox) vertical, orienté vers le bas :
Px + fx = m.ax
dv
1
m.g  .R2 .air .C.v 2x = m. x
dt
2
posons v = vx alors :
1
dv
m.g  .R2 .air .C.v 2 = m.
dt
2
1 .R2 .air .C.v 2
dv
finalement, en divisant par m :
=g
2
m
dt
P
x
dv
dv
=
=0
dt
dt
1 .R2 .air .C.v 2
0=g
2
m
2.3.2. Lorsque v = vl = Cte on a :
donc
1 .R2 .air .C.v 2
=g
2
m
.R2 .air .C.v 2 = 2.m.g
Ainsi
2.fer .VS .g
2.m.g
v 


2
.R .air .C .R2 .air .C
2
4
2.fer . ..R3 .g
8.fer .R.g
3

2
3.air .C
.R .air .C
En ne gardant que la valeur positive : v 
8.fer R.g
3.air .C
2.3.3. Il suffit de montrer que R.g s’exprime en m.s1 car C est sans dimension et il apparaît une rapport de masses
volumiques.
Analyse dimensionnelle : [R] = L
[g] = L.T2 car g = 9,8 m.s2 d’après l’énoncé
Donc [R.g] = [R].[g] = L2.T2 donc  R.g  = L.T1 ce qui est bien homogène à une vitesse.


2.4.
v2

v1
8.fer .R2 .g
3.air .C

R2
R1
comme R2 > R1 alors
8.fer .R1.g
3.air .C
Le boulet B2 a la vitesse limite la plus élevée.
v
R2
> 1 ainsi 2 > 1 soit v2l > v1l
v1
R1
2.5.1. Sur la figure 2, relative aux évolutions des vitesses, on constate pour les courbes (b) et (c) que la vitesse
devient constante après un certain temps, alors que pour la courbe (a) la vitesse augmente sans cesse.
La courbe (a) traduit une chute libre, les courbes (b) et (c) des chutes dans l’air correspondant aux deux boulets.
Sur la figure 2, relative aux évolutions des vitesses, on constate qu’en régime permanent la courbe (b) est située audessus de la courbe (c). Comme v2l > v1l alors on peut attribuer :
Courbe (b)  Boulet B2
Courbe (c)  Boulet B1
2.5.2. Date tsol pour laquelle le premier boulet touche le sol est :
(1)
tsol
10,2 cm  tsol
16,3 cm  3,500 – 3,300 = 0,200 s
Donc : tsol = 3,300 + 0,200 10,2 / 16,3 = 3,300 + 0,125 = 3,425 s
Il s’agit du boulet B2 (courbe b’)
2.5.3. D’après la flèche rouge (1), à la même date tsol, le boulet B1 a chuté de 56,0 m.
Ainsi lorsque B2 touche le sol, B1 se trouve à 57,0 – 56,0 = 1,0 m du sol.
Ce résultat n’est pas tout à fait en accord avec l’extrait n°3 où Galilée parle d’un écart de « 2 doigts » bien inférieur
à 1,0 m, mais l’écart de un mètre est effectivement inférieur aux 99 coudées d’Aristote.