Unités atomiques

1
Université de Caen
TD 2013
Master I de Physique
TD n° 0 : Unités atomiques – Energie classique
I. Energie classique :
L’électron d’un atome de numéro atomique Z tourne sur une orbite circulaire autour du
noyau. L’orbite est caractérisée par son nombre quantique principal n. L’électron, de masse
m, a une vitesse v et la force F qui le lie au noyau est purement coulombienne. La distance
entre l’électron et le noyau est notée r. Dans la suite, les quantités seront exprimées dans le
système faisant intervenir les unités atomiques. L’unité atomique est définie à partir des
relations suivantes :
1
4  o
 1 , me  1 ,   1 et e = 1.
1. Exprimer l’énergie totale E de l’électron en fonction de v, Z et r.
2. Donner une expression du moment cinétique  de l’électron en fonction de n,
puis de v et r.
3. Exprimer le module F de la force en fonction de Z et r. Sachant que le mouvement
est circulaire, en déduire une relation entre v, Z et r.
4. Déduire des trois relations précédentes les expressions de r, E et v en fonction de
Z et n.
5. Expliquer qualitativement comment varie l’énergie E avec Z et n.
II. Unités atomiques :
Considérons l’atome H. Soient  H l’énergie de liaison de l’électron de masse me et a o le
rayon de Bohr :
1. Déterminer les équivalents en unité atomique :
1.1. de grandeurs fondamentales : énergie E, distance r, temps t, vitesse v.
1.2. de grandeurs dérivées : section efficace , force F, moment cinétique .
2. En appliquant la relation donnant l’énergie en fonction de n, trouver l’énergie totale
des électrons de l’atome d’He. En fait, l’énergie totale est de –2,904 ua. Expliquer la
différence trouvée. Que faudrait-il changer pour trouver une valeur calculée
meilleure que la 1ère ?
2
Solutions
I. Energie classique :
1. Energie totale :
E  E p  Ec  
Ze 2 1 1
 mev 2 (1)
4o r 2
2. Moment cinétique :
  mevr  n puisque   me OM  v (2)
3. Force :
Ze 2 1
mev 2
F 
ur  
ur (3)
4o r 2
r
4. Expressions de r, E et v en fonction de Z et n :
(3)
Ze 2 1
 mev 2
4o r
(1) E  
Ze 2 1 1 Ze 2 1
1 Ze 2 1


4o r 2 4o r
2 4o r
 Ze 2 1
 Ze 2 1
n 2 2 n 2 2
2
 Ze 2 1

m

m
v


e 2 2 
e
4o r
 mev 2
4o r
me r
me r 2





 4o r
2 2
2 2
n


v 2 
 2 n 
2
2 2
v



m
v
r

n

 e


me2 r 2
me2 r 2


Ze2 1 n 2 2
1 Ze2 me

 
4o r me r 2
r 4o n 2 2
2
1 Ze2 1
1 Ze2 Ze2 me
1  Ze2  me
E



2 4o r
2 4o 4o n 2 2
2  4o  n 2 2
2
1  Ze2  me
E 
2  4o  n 2 2
3
1
Ze 2 me

r 4 o n 2  2
r
4o n 2 2
Ze 2 me
mevr  n
v
n 1 n Ze 2 me

me r me 4o n 2 2
Ze 2 1
v
4o n
II. Unités atomiques :
1. Expression de E en fonction de Z et n :
2
1  Ze2  me
E 
2  4o  n 2 2
E
Z2
2n 2
2. Equivalents en u.a. :
2.1. Grandeurs fondamentales :
E
Z2
2n 2
Pour H, E = –0.5 u.a.
Dans le système international,

1  1x 1,6 1019
E 
2  1 9 109



 
2 2

9,1 1031

2

 34
2 
 1x 6,6 10
≈ 13,64 eV
En fait on trouve 13,605 eV
0.5 u.a. = 13,6 eV donc
1u.a.  27,2 eV
4
-11
4o n 2 2
≈ 5,3 10 m = 1 u.a.
2 m
Ze
e
r
1u.a.  0,05 nm (rayon de Bohr)
v
6
n 1
≈ 2,2 10 m = 1 u.a.
me r
6
1 u.a.  2,2 10 m s
-1
2 r  vT
-17
T = 2  u.a. = 2  2,4 10
s
1 u.a.  2,4 10
-17
s
2.2. Grandeurs dérivées :
2
Section efficace :  = r
-11 2
1 u.a. = (5,3 10 ) = 2,7 10
Force : F = 9,1 10
-31
-17
2
cm
6
-11
-8
x (2,2 10 ) / (5,3 10 ) = 7 10
-8
1 u.a.  7 10 N
Moment cinétique :
-34
 = 10
 1 u.a.
2.3. Atome d’hélium :
En considérant les deux électrons comme étant équivalents, on trouve
E  2
Z2
2n 2
 4u.a.
En fait, cette énergie est celle qu’il faut apporter pour ioniser les deux électrons, au signe
près :
E
Z 2 Z  12

 2u.a.  0.5u.a  2.5u.a
2n 2
2n 2
5
On se rapproche là de la valeur théorique. En fait, il faut tenir compte de l’interaction
entre les deux électrons.