Matrice d`inertie d`un solide

769788183
1/4
Matrice d'inertie d'un solide
1. Élément d'inertie d'un solide par rapport aux éléments d’un
repère
Remarque : m étant la masse du
solide (S), on désigne parfois le
2
moment d'inertie par I  m.Rg
1.1. Définition
R g (ou K) étant appelé rayon de
Le moment d'inertie par rapport à un plan (), une droite () ou un point O est la quantité
giration.
I

PS
r 2.dm 

r 2.  .dv ; I en kg.m 2 [ M L2 ]
PS
Moment d’inertie
1.2. Moments d'inertie par rapport aux axes principaux d'un repère
On considère de solide (S) de masse volumique  ainsi que le repère orthonormé (O,x,y,z)
Les moments d'inertie par rapport aux axes principaux du repère (O, x, y,z) sont les grandeurs
positives ou nulles :

 A  I (O,x)   (y 2  z2 ).dm  YY  ZZ

PS


2
2
 B  I (O,y)   (x  z ).dm  XX  ZZ

PS

 C  I (O,z)   (x 2  y 2 ).dm  XX  YY

PS

Remarque : pour déterminer les moments d’inertie par rapport aux axes du repère il peut être
intéressant de calculer préalablement :
1.2. Produits d'inertie d'un solide par rapport aux plans principaux
d'un repère

Les moments d'inertie par rapport
aux plans principaux du repère qui
s'expriment par :
Ce sont les quantités positives, négatives ou nulles

 I y z  D   y. z.dm

PS


I

E

 zx
 x. z.dm

PS

 I x y  F   x. y.dm

PS
Lycée Lislet Geoffroy
Remarque : Les notations des
grandeurs A, B, C, D, E et F
sont
standardisées :
elles
doivent
être
parfaitement
connues











I (O,y,z)  A '  XX 

x 2 .dm
PS
I (O,z,x)  B '  YY 
 y
2

IO 
Le moment d'inertie par rapport au
centre O du repère qui s'exprime par
 (x
2
 y 2  z2 ).dm  XX  YY  ZZ
PS
.dm
PS
I (O,x,y)  C '  ZZ 
 z
2
.dm
PS
Sciences industrielles pour l’ingénieur
769788183
2/4
2. Moment d'inertie par rapport à une droite () quelconque
Rappel de géométrie vectorielle
2.1. Matrice d’inertie
R  (O,x,y,z) est un repère orthonormé .

Sur le produit mixte
(X, Y,Z)  X.(Y  Z)  (X  Y).Z

Sur le double produit vectoriel
() est une droite passant par O, de vecteur directeur unitaire i   . x   . y   .z c’est-
A  (B  C)  B(A.C)  C(A.B)
à-dire que
i  2 2   2 1
Par définition
I ( ,S) 
 r
2
PS
.dm 
 (HP)
2
.dm
PS
Expression que l’on peut mettre sous une forme faisant intervenir uniquement les
coordonnées , ,  connues du vecteur i et les coordonnées x, y et z connues du
point P :

I ( ,S)  i.  (OP  ( i  OP)).dm
PS
L’expression
 (OP  ( i  OP)).dm
Expression vectorielle de I ( ,S)
( i  OP)2  ( i  (OH  HP))2  ( i  OH  i  HP)2  ( i  HP)2
 0 car
OH // i
est une fonction vectorielle (bien connue des
PS
D'où
i  OP
2

mathématiciens) que l’on peut mettre sous une forme matricielle :
 A F E    

  
 (OP  ( i  OP)).dm   F B D  .   

  
PS
 E D C B   B
 A F E 


On note J (O,S)   F B D 
matrice ou opérateur d’inertie du solide (S) au
 E D C 

(x,y,z)
point O, dans la base B  (x,y,z) , matrice symétrique dans laquelle les coefficients A,
B, C, D, E et F sont ceux calculés aux paragraphes 1.2 et 1.3
Alors
    A F E    
  
  
I ( ,S)     .  F B D      i .(J (O,S) . i )
    E D C    
 B 
B  B
Lycée Lislet Geoffroy
i  HP
2

Car HP i et
HP
2
donc I ( ,S) 
i 1
 (HP)
2
PS
.dm 
 ( i  OP)
2
.dm
PS
Mais (voir rappel ci-dessus) : ( i  OP) 2  ( i  OP).( i  OP)  ( i,OP, i  OP)  i.(OP  ( i  OP))
Donc I ( ,S) 
 (HP)
PS
2
.dm 

PS
i.(OP  ( i  OP)).dm  i.  (OP  ( i  OP)).dm
PS

Forme matricielle de I ( ,S)
Une méthode par calcul direct est tout à fait possible. La méthode proposée est plus rapide.
OP  ( i  OP)  i .(OP)2  OP .(OP. i )  ( .x  .y   .z).(x 2  y 2  z 2 )  (x.x  y.y  z.z).( .x   .y   .z)
Donc
2
2
2
2
2
2
i .(OP  ( i  OP))  (     ).(x  y  z )  (x.   y.   z. ).(  . x   . y   . z)
 2 .(y 2  z2 )  2 .(x 2  z2 )   2 .(x 2  y 2 )  2.  .  . x. y  2  .  . x. z  2.  .  . y. z
Puis par identification pour obtenir la forme matricielle…
Sciences industrielles pour l’ingénieur
769788183
3/4
2.2. Changement de point
Si G est le centre d'inertie du solide (S) de masse m, si GP  x. x  y. y  z.z et si
HG  a. x  b. y  c.z alors :
 m.(b2  c 2 )
m.a.b
m.a.c 
 A H FH EH 




J (H,S)    FH B H DH 
 J (G,S)   m.a.b
m.(a2  c 2 )
m.b.c 




2
2 
 EH DH C H 
 m.a.c

m.b.c
m.(a

b
)



(x,y,z)


(x,y,z)
Remarque : pour passer d’un point H à un point K il faut nécessairement passer par le centre
d’inertie G
De plus on vérifie que si G est le centre d'inertie du solide (S) de masse m et si (  G ) est
une droite passant par le centre d’inertie, parallèle à (  ) et distante de d par rapport à (  ) ,
alors :
I (  ,S)  I (  G ,S)  m.d 2
i . (HG  GP)  ( i  (HG  GP) )

i .(HP  ( i  HP))  
 2 . (b  y)2  (c  z)2  )  2 . (a  x)2  (c  z)2    2 .  (a  x)2  (b  y)2 






2.  .  .(a  x).(b  y)  2  .  .(a  x).(c  z)  2.  .  .(b  y).(c  z)
Alors, G étant le centre d’inertie, en
Il restera les termes en
développant, tous les termes
x2 .dm;  y 2 .dm;  z2 .dm

 x.dm   y.dm   z.dm  0 PS
PS
PS
PS
PS
PS
0

1
Lycée Lislet Geoffroy
0
P (B 0, B 1)
2
.dm  m.b 2 ;
PS

y.z.dm;
PS
 c
2
.dm  m.c 2
PS

x.z.dm
PS
 a.b.dm  m.a.b;  b.c.dm  m.b.c;  a.c.dm  m.a.c
PS
PS
PS
D’où le résultat !
B 1 vers la base B 0 telle que v 0  P (B 0, B 1) v1
J(O,S)B  P -1 (B 0, B 1) J(O,S)B
 b
et
On note P (B 0, B 1) la matrice de passage de la base
P (B 0, B 1)  P -1 (B 1, B 0 )  tP (B 0, B 1)
Alors
.dm  m.a 2 ;
x. y.dm;
PS
2.3. Changement de base (très peu utilisé)
 expression  


 de z1

 dans B 0  


2
PS
Le moment d’inertie est minimum par rapport à une droite passant par son centre d’inertie.
  expression   expression 

 

P (B 0, B 1)    de x1
  de y1

  dans B
  dans B


0
0
 


La matrice inverse se calculant par
 a
Exemple de changement de bases
 cos   sin  0 


P (B 0 , B 1)   sin  cos  0 
 0
0
1 

 cos  sin  0 


et P (B 1, B 0 )  tP (B 0 , B 1)    sin  cos  0 
 0
0
1 

Sciences industrielles pour l’ingénieur
769788183
4/4
3. Formes particulières des matrices d’inertie
3.3. Un axe du repère est axe de symétrie, aucun plan du repère n’est
plan de symétrie
3.1. Un plan du repère est plan de symétrie

Deux produits d’inertie sont nuls.

Ici le plan de symétrie a pour normale y , les
produits XY et YZ sont nuls.
Ici l’axe (O,x) est axe de symétrie. Les
produits d’inertie XY et XZ sont nuls
 A 0 -E 


J(O,S)   0 B 0 
 -E 0 C 


0 
A 0


J(O,S)   0 B D 
 0 D C 


À chaque point x.y.z.dm correspond un point
x.(-y).z.dm
Donc
 x. y.dm   x. y.dm   x. y.dm   x. y.dm  0
y 0
y 0
y 0
y 0
Remarque :

PS
y 2 .dm  2.  y 2 .dm
y 0
3.2. Deux plans du repère sont plans de symétrie

À chaque point x.y.z.dm correspond un point x.(-y).(-z).dm
Donc  x. y.dm   x.(  y).dm    x. y.dm et de même
y 0
Mais

y 0
z 0
Idem pour le produit YZ
Les trois produits d’inertie sont nuls
Démonstration évidente avec ce qui précède !
Ici
A 0 0 


J(O,S)   0 B 0 
0 0 C


Lycée Lislet Geoffroy
Deux produits d’inertie sont nuls.
y 0
y.z.dm 

y 0
z 0
y 0
 x.z.dm    x.z.dm
z0
z0
( y).( z).dm.    y.z.dm , la somme ne s’annule pas
y 0
z 0
3.4. Un axe du repère est axe de révolution


Les trois produits d’inertie sont nuls
Deux moments d’inertie sont identiques
Ici, dans toute base (x, _, _)
A 0 0


J(O,S)   0 B 0 
0 0 B


Remarque :
Pour les calculs, il est intéressant de noter A=YY+ZZ=RR=moment d’inertie par rapport à l’axe
de la pièce (en général on travaille en coordonnées cylindriques)
Alors
B=XX+YY=XX+ZZ=XX+A/2
Sciences industrielles pour l’ingénieur