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Chapitre 06: Les nombres relatifs 1) Repérage d'un nombre relatif sur une droite graduée - Un nombre relatif peut être négatif ou positif. - Un nombre négatif s'écrit avec le signe "-". - Un nombre positif s'écrit avec le signe "+" ou sans signe. - On peut obtenir une représentation des nombres relatifs en utilisant une droite graduée. - On peut faire correspondre à un point, un nombre relatif sur cette droite. Ce nombre correspondant au point est appelé: ABSCISSE du point. Exemple: le point A a pour abscisse (+4); on note A(+4) Le point B a pour abscisse (-2); on note B(-2) - La distance de l'origine O à un point est appelée la distance à zéro de l'abscisse de ce point. Exemple: A(+4) sa distance à zéro est égale à 4 B(-2) sa distance à zéro est égale à 2 - Les nombres relatifs + 3 et -3 sont dits opposés, ils ont des signes contraires et la même distance à zéro. - Le nombre zéro est le seul nombre relatif qui est à la fois positif et négatif. 2) Comparaison de nombres relatifs a) De deux nombres relatifs La représentation des nombres relatifs sur une droite permet de visualiser l'ordre. La droite est orientée du plus petit au plus grand nombre relatif. Exemple 1: Comparer -5 et -2,5; le point A d'abscisse (-5) est situé à gauche du point B d'abscisse (-2,5) donc: -5 < -2,5 de même -2,5 <-1 et -5 < -1. On remarque que: si deux nombres relatifs sont négatifs le plus petit est celui qui à la plus grande distance à zéro. Exemple 2: Comparer -2,5 et +2; le point B d'abscisse (-2,5) est situé à gauche du point C(+2) donc: -2,5 < +2 de même -5 < +1 et -1 < +4. On remarque que: si deux nombres relatifs sont de signes contraires le plus petit est le nombre négatif. b) Rangement de plusieurs nombres relatifs Pour ranger des nombres relatifs, il faut: - trier les nombres positifs et les nombres négatifs - comparer les nombres positifs entre eux et les nombres négatifs entre eux. Exemple: * Ranger dans l'ordre croissant: +4 ; -1 ; -5 ; +2 ; +1 ; -2,5 on commence par les nombres négatifs: -5 < -2,5 < -1 < 1 < 2 < 4 * Ranger dans l'ordre décroissant: on commence par les nombres positifs: +4 > +2 > +1 > -1 > -2,5 > -5 3) Repérage d'un point dans un repère Considérons deux axes perpendiculaires de même origine O, gradués (Le plus souvent avec la même unité). Ils constituent un repère du plan. Chaque point du plan peut être repèré par deux nombres relatifs appelés coordonnées du point. L'abscisse du point A est +4, l'ordonnée est +2 donc on écrit: Les coordonnées de A sont +4 et +2. Exemple: soit le repère suivant d'origine O, ainsi que les points A, B et C. 1) Indiquer les coordonnées des points A, B et C: A(-4;-4) ; B(-2;3) ; C(-1;-2) 2) Placer les points D(2;-3) ; E(-2;-3,5) et F(0;2,5) sur le repère précédent. 4) Addition de deux nombres relatifs Règles d'addition 1er cas: les deux nombres relatifs sont positifs. On met au résultat le signe commun "+" et on additionne les deux distances à zéro. Ex: (+5) + (+3) = +8 2ème cas: les deux nombres relatifs sont négatifs. On met au résultat le signe commun "-" et on additionne les deux distances à zéro. Ex: (-5) + (-3) = -8 3ème cas: Les deux nombres relatifs n'ont pas le même signe. On met au résultat le signe du nombre qui a la distance à zéro la plus grande et on soustrait les deux distances à zéro. Ex: (-3) + (+5) = +2 ("+" car 5>3 et 2 car 5-3=2) 4ème cas: les deux nombres relatifs sont opposés. La somme de deux nombres relatifs opposés est égale à zéro. Ex: (+2) + (-2) = 0 Remarque: pour calculer la somme de plusieurs nombres relatifs on doit d'abord: - Annuler les nombres opposés si possible - Regrouper, puis additionner les nombres relatifs de même signe. Exemple: A = (+6) + (+3,5) + (-2) + (-6) + (+4) + (-5,2) A = (+3,5) + (+4) + (-2) + (-5,2) A = (7,5) + (-7,2) A = +0,3 5) Soustraction de deux nombres relatifs Pour soustraire un nombre relatif, on additionne son opposé. Exemples: (+4) - (+10) = (+4) + (-10) = -6 [Addition de l'opposé de (+10)] (-3) - (-8) = (-3) + (+8) =+5 [Addition de l'opposé de (-8)] Avec la calculatrice : 6) Ecriture simplifiée Dans l'addition de plusieurs nombres relatifs on peut supprimer le signe "+" de l'addition et les parenthèses. On obtient alors une écriture simplifiée. Exemple: A = (-3) + (+5) - (-2) + (-11) A = (-3) + (+5) + (+2) + (-11) A est une somme algébrique Je transforme la soustraction en addition (addition de l'opposé) A = -3 + 5 + 2 - 11 Ecriture simplifiée A = 5 + 2 - 11 - 3 j'ordonne A = 7 - 14 je calcule A = -7 Avec la calculatrice: 7) Distance de deux points sur une droite graduée La distance entre deux points A et B d'une droite graduée s'obtient par l'expression: AB = " La plus grande abscisse" - "La plus petite abscisse" Exemples: ATTENTION: Une distance est toujours un nombre POSITIF. Dans tous les cas la distance AB est positive.
