Chapitre_11_suite

Chapitre 11
Les suites numériques
I. Définitions et vocabulaire
A] Définition et notation
Définition :
Une suite numérique est une fonction définie sur l'ensemble I; N des entiers naturels (ou une partie de
I; N).
Notations :

Une suite est généralement désignée par l'une des lettres u, v, w, ...

L’image d’un entier n par une suite u est notée un au lieu de u(n). Cette notation se lit « u
indice n ». On appelle aussi un le terme de rang n de la suite u.

On désigne toute suite par son nom seul ( exemple : u), par l’écriture (un) ou (un)nI; N ou
encore (un)n 1 etc ...
Exemples :
u : I; N Error! Error!
n Error! Error!
u est la suite définie sur I; N par un = Error!. Le terme de rang 10 de cette suite est u10 = Error! =
Error!.
Remarque : suite définie à partir d'un certain rang.
Pour tout entier naturel n  2, on pose vn = n – 2. La suite v est définie à partir du rang n = 2. On
note (vn)n  2.
Exercices :
Calculer les trois premiers termes des suites définies ci-dessous :
a) un = n²
b) vn = 3n+1.
Exercices 11, 15, 17, 18, 19, 21, 23, 24, 25p126.
B] Mode de génération
On peut définir une suite de plusieurs méthodes différentes. Les voici :

Définition par formule une formule du type un = f(n).
Une suite peut-être définie par une formule explicite qui permet de calculer directement chaque
terme d'indice n à partir de n.
En fait la suite (un) est associée à la fonction f.
Exemple :
Soit u la suite définie sur I; N par un = – n2 + 2n + 2.
La fonction définie sur [0 ; +[ par f(x) = – x2 + 2x + 2 est associée à cette suite.
Et pour tout entier n, un est l'ordonnée du point de la courbe Cf qui a pour abscisse n.
-1-
Chapitre 11 : 1ère S
u1
u0 = u2
u3

Définition par formule de récurrence :
Lorsque la suite u est définie par la donnée de son premier terme (ou de ses premiers termes) et d'une
relation exprimant chaque autre terme en fonction du terme précédent (ou des termes précédents), on
dit que la suite u est définie par récurrence.
Exemples :
Soit la suite u définie par { u0 = 2;pour tout n de I; N; un + 1 = 2 un – 1
On calcule de proche en proche les termes successifs de la suite u :
u1 = 2 u0 – 1 = 2  2 – 1 = 3 ; u2 = 2 u1 – 1 = 2  3 – 1 = 5.
Si l'on note f la fonction définie sur I; R par f(x) = 2x – 1, la suite u est définie par la connaissance de
u0 et de la relation de récurrence un + 1 = f(un).
Remarque :
Pour représenter graphiquement les premiers termes d'une suite définie par un + 1 = f(un), on trace Cf
et la droite d'équation y = x, puis on place u0 et on procède comme ci-après :
u1
u2
u3
u3
u2
u1
u0
Exercice :
Calculer les cinq premiers termes des suites définies ci-dessous :
a) un = 3un – 1 et u0 = Error!. b) vn = (v n – 1)²
Exercices 34, 36, 37, 38p127.
C] Sens de variation d’une suite
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Chapitre 11 : 1ère S
Définitions :

Une suite (un) est croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n, un + 1  un.
(autrement dit si la valeur de un augmente quand n augmente).

Une suite (un) est décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel n, un + 1  un.
(autrement dit si la valeur de un diminue quand n augmente).

Une suite qui prend toujours la même valeur est dite constante.

Les suites croissantes ou décroissantes sont dites monotones.
Remarquons l'analogie avec les fonctions. On pourrait écrire : u est croissante (respectivement
décroissante) si pour tout x de I; N et pour tout y de I; N, on a :x < y  ux < uy (respectivement
x < y  ux > uy ) mais ce serait ne pas utiliser le fait qu’une suite est définie dans I; N.
Comme pour les fonctions, on parle de stricte croissance, de stricte décroissance et de stricte
monotonie si les inégalités sont strictes.
Remarque importante :
Il résulte de cette définition que pour étudier le sens de variation d’une suite numérique, on peut,
suivant la définition de cette suite,

étudier le signe de un+1 – un pour tout n  IN.

comparer Error! à 1 pour tout n de Error! (uniquement lorsque les termes de la suite sont strictement
positifs).

utiliser le sens de variations de la fonction f lorsque la suite est définie par un = f(n).
Il faut adapter la méthode à la suite étudiée
Exercice :
Etudier le sens de variations des trois suites suivantes :
a) un = Error!
b) vn = Error! (n  1)
c) wn = Error! , n  Error!
a) un + 1 – un = Error! > 0 pour tout n  Error!. Donc (un) est strictement croissante.
b) vn est strictement positif pour tout entier naturel n  I; N*.
Error! = Error! Error!  1 car 1 + Error!  2. En effet Error!  1 pour tout n de Error!*. On en déduit
Error!  1. Par conséquent (vn) est décroissante.
c) w0 = 1 ; w1 = – Error! ; w2 = Error!. On a w0 > w1 et w1 < w2. La suite (wn) n'est ni croissante, ni
décroissante.
Exercices 61, 62, 70p129.
Définition :
On dit que la suite (un) est majorée si et seulement si il existe un réel M tel que pour tout entier
naturel n, un  M.
On dit que la suite (un) est minorée si et seulement si il existe un réel m tel que pour tout entier
naturel n, un  m.
Si la suite est à la fois majorée et minorée, on dit qu'elle est bornée.
Exercice 44p127.
Exercice 47p128.
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Chapitre 11 : 1ère S
II. Suites particulières
Deux exemples simples permettent de voir que deux suites semblent plus caractéristiques que
d’autres : les termes sous-entendus des deux listes suivantes sont faciles à trouver :
(1 ;3 ;5 ;7 ;9 ;11...) et (2 ;4 ;8 ;16 ;32 ;...). La première s’appelle suite arithmétique, la deuxième
s’appelle suite géométrique.
A] Suite arithmétique
Définition :
Soit u une suite. On dit que u est arithmétique s’il existe r  I; R tel que pour tout n de I; N,
un+1 = un + r.
Le réel r s'appelle la raison de la suite (un).
Exemples :
La suite des entiers est une suite arithmétique de raison r = 1 et de premier terme u0 = 0.
La suite des entiers naturels pairs est une suite arithmétique de raison r = 2 et de premier terme u0= 0.
Conséquence :
On peut écrire en cascade :
u1 = u0 + r.
u2 = u1 + r = u0 + r + r = u0 + 2r.
…………..
un = u0 + nr.
Théorème :
Soit u une suite arithmétique de raison r, et de premier terme u0. Alors pour tout n de I; N, on a :
un = u0 + nr.
Réciproquement, si u est une suite telle pour tout n de I; N, un = a  n + b, a et b étant deux réels
donnés, alors u est la suite arithmétique de raison a et de premier terme u0 = b.
Remarques :

Soit u une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0. Soient n et p deux entiers
naturels (n  p). Alors un = up + (n – p) r (en effet un = u0 + nr et up = u0 + pr et par
conséquent
un – up = (n – p)r). En conséquence, si u est une suite arithmétique de raison r et de premier
terme u1 alors un = u1 + (n – 1)r
u1
u2
u3
u4
un = u1 + (n – 1)r
+r
+r
+r
On ajoute (n – 1) fois r

Les points de la représentation graphique d'une suite arithmétique sont alignés
(en effet, f : x Error! u0 + xr est une fonction affine)
Exercices 72, 74a), 75a)p129.
Exercices 78, 79, 80p130.
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Chapitre 11 : 1ère S
Théorème :
Soit u une suite arithmétique de raison r.

Si r > 0, alors u est strictement croissante.

Si r < 0, alors u est strictement décroissante.

Si r = 0, alors u est constante.
(un + 1 – un = r, le sens de variation ne dépend que de r)
.
Théorème : (somme des n + 1 premiers termes d’une suite arithmétique)
Soit u une suite arithmétique de raison r et de premier terme u0. on pose :
Sn = u0 + u1 + u2 + u3 + ... + un
= Error!
Alors Sn = (n + 1)  Error! .
Remarque :
Il vaut mieux retenir cette formule sous la forme :
S=(nombre de termes)  Error! .
Démonstration :
Sn = u0 + u1 + u2 + ………………… + un – 1 + un
Sn = un
+ un – 1 + un – 2 + ...................... + u1
+ u0
Sn = u0 + (u0 + r) + (u0 + 2r) + .…….. + u0 + (n – 1)r + u0 + nr
Sn = u0 + nr + u0 + (n – 1)r + ……………… + u0 + r + u0
Donc,
2Sn = 2u0 + nr + 2u0 + nr + …………………+ 2u0 + nr + 2u0 + nr
2Sn = (n + 1)(2u0 + nr)
Sn = Error! ou encore Error!
Exercices :
Calculer S = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100.
Calculer S = 1 + 3 + 5 + 7 + … + 99.
Calculer S = 2 + 4 + 6 + 8 + … + 100.
Calculer S = 1,7 + 1,8 + 1,9 + 2 + … + 201,3.
Exercices 86, 87, 88, 89, 91,p130.
Exercices 95, 96p131.
B] Suite géométrique
Définition :
Soit u une suite. On dit que u est géométrique s’il existe q  I; R tel que pour tout n de I; N,
un+1 = q  un .
q est appelé la raison de la suite géométrique (un).
La suite des puissances de 2 est géométrique de raison 2 ; son terme général est un = 2n.
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Chapitre 11 : 1ère S
Conséquence :
On peut écrire en cascade :
u1 = q  u0
u2 = q  u1 = q  q  u0 = q2  u0
u3 = q3  u0
…………
un = qn  u0
Théorème :
Soit u une suite géométrique de raison q, et de premier terme u0. Alors pour tout n de I; N, on a :
un = u0  qn.
Réciproquement, si u est une suite telle pour tout n de I; N, un = a  bn, a et b étant deux réels non
nuls donnés, alors u est la suite géométrique de raison b et de premier terme u0 = a.
u1
u2
q
u3
q
u4
un = u1  qn – 1
q
Remarque :
Soit u une suite géométrique de raison q et de premier terme u0. Soient n et p deux entiers
naturels (n  p). Alors Error!
Exercices 99, 101a), 102a)p131.
Exercices 105, 107p131.
Théorème
La suite définie par un = qn est
strictement croissante si q > 1,
strictement décroissante si 0 < q < 1,
constante si q = 1
elle n'est pas monotone si q < 0.
Ce résultat permet d'étudier la monotonie de n'importe quelle suite géométrique, car son terme
général peut s'écrire sous la forme a  qn.
Démonstration :
un + 1 – un = qn(q – 1)
Si q > 1, qn > 0 et q – 1 > 0, donc un + 1 – un > 0 et on en déduit que la suite est strictement
croissante.
Si 0 < q < 1, qn > 0 et q – 1 < 0 donc un + 1 – un < 0 et on en déduit que la suite est strictement
décroissante.
Si q = 1, un + 1 = un et la suite est constante.
Théorème : somme des n + 1 premiers termes d’une suite géométrique
Soit u une suite géométrique de raison q et de premier terme u0. on pose
Sn
= u0+u1+u2+u3+ ... + un
= Error!
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Chapitre 11 : 1ère S
Alors Sn = u0 Error! .
Démonstration :
Si q = 1, alors c’est clair.
Si q  1, alors on écrit :
S = u0 (1 + q + q2 + … + qn).
qS = u0 (q + q2 + q3 + ... + qn+1).
Ainsi on obtient (1 – q) S = u0 (1 – qn+1).
Donc on a Sn = u0 Error! .
Remarque :
Il vaut mieux retenir cette formule sous la forme :S=(1er terme)  Error! .
Exercice :
Calculer : (Error!)4 + (Error!)5 + (Error!)6 + … + (Error!)20
Exercices 114, 116, 118, 125, 126p132.
Exercices 128, 129, 130p133.
III. Limite d’une suite
A]
Limite infinie d’une suite
Vocabulaire :
La suite un tend vers + si le terme général de la suite peut être rendu aussi grand que l’on veut à
condition de choisir un n suffisamment grand.
On écrit Error! un = +.
La suite un tend vers –  lorsque Error! – un = – .
Exemples :
On a alors un = n2 et vn = – n.
Error! un = + et Error! vn = – .
Théorème :
Error! n2 = + Error! n3 = + Error! Error! = +
B]
Suites convergentes
Définition :
La suite un converge vers l signifie que tout intervalle ouvert contenant l contient tous les termes de
la suite à partir d’un certain rang. On dit que la suite converge vers l et on écrit Error! un = l.
Toute suite non convergente est dite divergente.
Remarques :

Une suite un est dite convergente si elle admet une limite finie lorsque n tend vers +.

Si une suite un est convergente alors la limite est unique.
Théorème :
Les suites de terme général respectif Error!, Error!, Error!, Error! sont convergentes et de limite 0.
Théorème :
Soient un et vn deux suites qui convergent vers l et l’.

La suite un + vn converge vers l + l’.

La suite un vn converge vers ll’.
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Chapitre 11 : 1ère S

Si de plus pour tout n vn  0, alors Error! converge vers Error!.
Exemples :
Etudier la convergence des suites suivantes :

un = Error!.

vn = ( –1 ) n

wn = Error!
Théorème des gendarmes :
Soient un, vn et wn trois suites telles que à partir d’un certain rang vn  un  wn et telles que v et w
convergent vers la même limite l. Alors la suite u converge aussi vers l.
Exemple :
Soit la suite un = 1 + Error!.
Or pour tout n  1 on a 1 – Error!  un  1 + Error!.
Mais on sait aussi que Error! 1 – Error! = Error! 1 + Error! = 1.
Donc d’après le théorème des gendarmes on a donc que Error! un = 1.
Exercices 1, 2, 3, 5p153.
Exercices 7, 8, 9, 10, 11, 14, 15, 16, 17, 20, 21, 22p154.
Exercices 76, 82p158.
C]
Limites et suites géométriques
Théorème :
Soit q un nombre réel non nul :

Si q > 1, alors Error! qn = +.

Si –1 < q < 1, alors Error! qn = 0.
Théorème :
Soit un la suite géométrique de premier terme u0 non nul et de raison q.

Si q > 1, alors un diverge.

Si –1 < q < 1, alors un converge vers 0.
Exercices 49, 51, 52, 55, 57p156.
Exercices 64, 65, 66p157.
Exercices 73, 74p158.
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Chapitre 11 : 1ère S