téléchargé - Les-Mathematiques.net

POLYGONES EXTREMAUX ET MAXIMAUX
On veut étudier les polygones de périmètre et certains côtés donnés et d’aire maximale .
Quelques notations :
n  3 : un entier représentant le nombre de côtés du polygone .
c1 , c2 , …cn : les côtés du polygone .
p et s : le périmètre et l’aire du polygone .
Définition :
On dira qu’un polygone est extrémal ( resp. maximal ) si son aire est maximale parmi les
polygones ayant le même nombre de côtés et le même périmètre ( resp. les mêmes côtés ) .
Trois problèmes posés et résolus sur ce post :
Problèmes :
P1 : Quel est le polygone extrémal ?.
P2 : Quel est le polygone extrémal de côté c1 donné ?
P3 : Quel est le polygone maximal ?
Constructions :
Quand cela est possible , construire ces polygones à la règle et au compas .
Remarques préliminaires :
L’objectif est de résoudre les trois problèmes géométriquement , sans recours à l’analyse .
Les outils employés laissent supposés que les problèmes ont sans doute déjà été résolus par
nos prédécesseurs mais je n’ai pas retrouvé trace de ces démonstrations .
Quelques constations de bon sens donc non démontrées :
L’existence d’un polygone à n côtés de côtés c1 ; c2 ; ... ck ; … ; cn ( 0  k  n ) et de
périmètre donné est garantie par la condition nécessaire et suffisante :
 i  { 1 ; 2 ; … k } : p  2 . ci .
Un polygone maximal ou extrémal est convexe . Sinon un simple renversement d’une partie
concave ou croisée augmenterait l’aire du polygone sans changer ses côtés .
Quelques propriétés utiles pour la suite :
Propriété 1 :
Pour un polygone donné , il existe un polygone convexe inscriptible dans un cercle ayant les
mêmes côtés .
Démonstration :
Soit un polygone P de côtés c1 ; c2 ; …cn . Considérons des cercles (C) dont le rayon R est
supérieur ou égal à la moitié du plus grand côté . Si on parcourt au moins une fois le tour de
(C) en reportant successivement sur (C) les côtés c1 ; c2 ; …cn , on dira que R est insuffisant ,
si on parcourt au plus une fois le tour de (C) , on dira que R est excessif . Un rayon est
clairement insuffisant ou excessif . L’ensemble des rayons excessifs est non vide et la
condition d’existence d’un polygone garantit que l’ensemble des rayons insuffisants n’est pas
vide non plus . En remarquant maintenant qu’entre un rayon insuffisant et un rayon excessif
tout rayon doit être insuffisant ou excessif , la borne supérieure des rayons insuffisants
coïncide avec la borne inférieure des rayons excessifs et correspond au rayon d’un cercle
circonscrit au polygone .
Rayon insuffisant
Rayon excessif
Propriété 2 ( Ptolémée ) :
Dans un quadrilatère convexe , le produit des diagonales est inférieur ou égal à la somme des
produits des côtés opposés avec égalité si et seulement si le quadrilatère est inscriptible .
Démonstration :
Soit ABCD un quadrilatère convexe , considérons (C) le cercle circonscrit au triangle ADC et
E le point tel que les triangles DAE et DBC soit directement semblables . Alors ADB et DEC
sont aussi directement semblables et E  [AC] si et seulement si A, B , C et D sont
cocycliques . Les triangles DAE , DBC et ADB , DEC ayant leurs côtés proportionnels :
AD . BC = BD . AE et AB . DC = BD . EC .
Donc AD . BC + AB . DC = BD . ( AE + EC )  BD . AC .
Avec égalité si et seulement si E  [AC] c'est-à-dire ABCD inscriptible .
D
D
A
A
E
E
C
C
B
B
Propriété 3 :
Le quadrilatère maximal est le quadrilatère inscriptible .
Démonstration :
Soit ABCD un quadrilatère maximal , notons s l’aire de ABCD , O le point d’intersection des
diagonales et â l’angle AÔB .
B
C
â
O
A
D
CD2 = OC2 + OD2 – 2 . OC . OD . cos â
BD2 = OC2 + OB2 + 2 . OC . OB . cos â
AB2 = OA2 + OB2 – 2 . OA . OB . cos â
AD2 = OA2 + OD2 + 2 . OA .OD . cos â
Alors :
BC2 + AD2 – CD2 – AB2 = 2 . BD . AC . cos â
Si les côtés sont fixés , BD . AC . cos â donc BD2 . AC2 . cos2 â est constant .
D’autre part :
2.s = OA . OB . sin â + OB . OC . sin â + OC . OD . sin â + OD . OA . sin â .
2.s = BD . AC .sin â .
L’aire est donc maximale quand BD . AC . sin â est maximal .
Soit quand BD2. AC2. sin2 â + BD2. AC2. cos2 â = BD2. AC2 maximal .
Donc quand BD . AC est maximal .
D’après la propriété 2 , s est maximal quand ABCD est inscriptible .
Problème 1 :
Le polygone maximal est le polygone inscriptible .
Démonstration :
La propriété est évidente pour n = 3 . Soit P un polygone maximal à n côtés n  4 .
Si P n’est pas inscriptible , on peut trouver quatre sommets consécutifs A, B , C et D non
cocycliques . Soit AB’C’D le quadrilatère inscriptible ayant les mêmes côtés que ABCD avec
B , C , B’ , C’ du même côté de (AD) ) alors l’aire de AB’C’D est supérieure à celle ABCD .
En remplaçant B et C par B’ et C’ dans P , on obtient un polygone P’ de mêmes côtés que P
et d’aire supérieure ce qui est impossible .
Problème 2 :
Le polygone extrémal est le polygone régulier .
Démonstration :
Soit P un polygone extrémal . Si P admet deux côtés consécutifs AB et BC distincts . En
remplaçant dans P , B par B’ tel que AB’ + B’C = AB + BC et AB’C isocèle en B’ , on
obtient un polygone ayant le même périmètre que P et une aire supérieure . Impossible . Alors
P a tous ses côtés égaux et d’après le problème 1 , il est inscriptible , c’est donc un polygone
régulier .
Problème 3 :
Le polygone extrémal à n côtés , de côté c1 et de périmètre p est le polygone inscriptible de
côtés c1 et (p-c1)/(n-1) .
Démonstration :
Supposons construit le polygone P extrémal de côté AB = c1 et de périmètre p . S’il existe
deux côtés consécutifs DE  EF , E distinct de A et B alors en remplaçant dans P , E par E’
tel que DE’ = E’F et DE’+ E’F = DE + EF , on obtient un nouveau polygone de même côté
c1 , de même périmètre p et d’aire supérieure à P donc tous les côtés distincts de [AB] sont
égaux . D’après le problème 1 , P est inscriptible .
Construction des polygones maximaux et extrémaux :
La complexité du sujet nous a très vite lassé :
Les polygones extrémaux sont les polygones réguliers . Les seuls qui soient constructibles à la
règle et au compas sont les polygones à n côtés avec n produit d’une puissance de deux par un
produit de nombres premiers de Fermat distincts .
Le cas du polygone maximal donc inscriptible est sans doute encore plus compliqué . Nous
donnerons juste la construction du quadrilatère maximal à titre d’exemple .
Construction du quadrilatère inscriptible ( Sturm ) :
Notons ABCD un quadrilatère , a = AB , b = BC , c = CD et d = DA . Supposons par
exemple que c  b . Construisons le point G de la droite (AD) n’appartenant pas à la demidroite [DA) et tel que DG = ac/b .
C
b
B
b
a
A
c–b
a
D
d
ac/b
G
L’ensemble des points M du plan vérifiant l’égalité c.MA = b.MG est un cercle (C) de
diamètre [PQ] avec Q  [AG] . (C) coupe le cercle de centre D et de rayon c en un point C’ .
Soit E le point de [C’D] tel que C’E = b et F la projection de E sur (C’G) parallèlement à
(DG) . La propriété de Thalès appliquée aux triangles C’DG et C’EF donne immédiatement :
EF = a et C’F = C’A .
(C)
C’
b E
A
P
Q
c
F
7
cb
D
G
b
c
Considérons maintenant B’ l’image de E par la rotation de centre C’ qui amène F en A .
Observons les angles du quadrilatère AB’C’D :
ADC’ + AB’C’ = ( car AB'C' = C'DG ) .
DAB’ + DC’B’ =  ( somme des angles du triangle AGC’) .
Les angles opposés du quadrilatère AB’C’D sont supplémentaires donc AB’C’D est
inscriptible dans un cercle et comme AB’ = a , B’C’ = b , C’D = c , AD = d , AB’C’D est le
quadrilatère recherché .
C’
b
c
B’
a
E
A
D
F
G
d
Pour conclure :
La construction à la règle et au compas des polygones maximaux et extrémaux peuvent
encore faire l’objet de nombreux problèmes , avis aux amateurs .
Remerciements :
Je ne peux pas clore cette synthèse sans saluer tous ceux sans qui elle n’aurait pas eu lieu
d’être . Caroline tout d’abord qui a proposé le problème , Rudy qui comme toujours a su
trouver les bons développements et bien sûr Aldo qui a longtemps fait cavalier seul et qui par
sa pugnacité a empêché le problème de sombrer aux oubliettes . Hormis cette synthèse , ma
faible contribution est d’avoir déniché la propriété 2 et d’en avoir déduit la propriété 3 .
P.S :
Deux des propriétés citées « Ptolémée » et « Sturm » , sont extraites d’un cours de géométrie
téléchargé sur ce site ( voir géométrie bis ) . Bien que le vocabulaire et le style employé datent
un peu , tout amateur de géométrie y trouvera une source de plaisir quasi inépuisable .
Amicalement
Domi