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CHABAS Vincent
LEYVAL Kévin
MAZEYRIE David
ME2-CEM
PROJET DE CONSTRUCTION DE
MACHINES ELECTRIQUES :
LE TRANSFORMATEUR
I) Calcul de la section de fer du noyau :
On montre que la section de fer SFE du noyau peut s’écrire de la façon
suivante :
SFE  C
PCU
PFE .10 1
f *p * J * B
P*
où :
C :coefficient sans dimension, variant peu d’un transformateur à l’autre
(C=72,8
lCu
)
l Fe
P : puissance du transformateur en kVA
PCU : pertes cuivre spécifiques ( W/ kg)
PFe : pertes entre les pertes cuivre et les pertes fer du transformateur
f : fréquence (Hz)
J : densité de courant ( A/m2)
B : induction dans le noyau ( T )
On connaît déjà les valeurs suivantes :
C = 40 (Liwschitz pour un transformateur triphasé à noyau et bobines
rondes )
P = 2500 KVA
p= PCU/PFE = ( 30/ 3.8) = 7,89
f=50 Hz
J= 3,2*106 A/m2 ( d’après l’abaque, page 95 du cours)
B = 1,5 T car on a un gros transformateur(P=2500 KVA)
Afin de pouvoir déterminer SFE , nous devons calculer les pertes cuivre
spécifiques ( PCU), et les pertes fer spécifiques ( PFE)
a)Calcul des pertes cuivre spécifiques :
D’après le cours, les pertes cuivre spécifiques ont pour expression :
Pcu 
K *
*J2
d cu
où :
K : coefficient tenant compte des pertes supplémentaires (K~1,2)
dcu : densité du cuivre ( 8,9 x103 kg/m3)
 : résistivité électrique, dépendant de la température ( .m)
mais on sait aussi que la résistivité dépend de la température :

75 c
0

t 2  t1
  20 c 1 
 1   0 * t1

Comme les pertes dues à la charge sont données à 75°C, on prendra les valeurs
suivantes :
t1= 20c
t2= 75c
20c = 1.7241x10-8 .m (cours page 1)
0 = 4,33x10-3 (cours :tableau page 11)
on sait aussi que J= 3,2.106 A/m2
d’ou :
75c = 2,102 x10-8 .m
Finalement,
PCu =29,021 W/kg
b)Calcul des pertes fer spécifiques :
D’après le cours, les pertes fer spécifiques ont pour expression :
 B
PFe  Ks * p ' Fe *  
 1,5 
2
où :
Ks : coefficient tenant compte de l’augmentation des pertes fer dues à l’usinage.
->Ks = 1,2 ( compris entre 1,1 et 1,3 )
p’Fe : pertes spécifiques des tôles à 50 Hz et 1,5 T ( W/kg)
->p’Fe = 1,35 W/ kg
Finalement,
PFe = 1,62 W/kg
On peut donc calculer la section de Fer :
SFE  C
PCU
PFE .10 1
f *p * J * B
P*
donne
SFE  615,15 cm 2
II) Détermination du primaire :
a)Nombre de spires :
Le nombre de spires ns1 du primaire est donné par la relation suivante
ns1 
V1
4,44 * f * 
où :
V1 : tension sur une colonne ( V )
F : fréquence ( Hz)
: flux magnétique dans le noyau ( wb)
Comme
V1 = U1 = 15 kV ( montage YNd11 )
 = B*SFe = 1,5*0,061515 = 0,0923 wb
on trouve :
ns1 =732 spires
b)Section du conducteur :
En notant SCU1, la section du cuivre au primaire, on a d’après le cours
SCU1 I1
J1
où :
I1 : intensité dans le primaire ( A )
J1 : densité de courant au primaire ( A/m2), J1 = J
Or P= 3*U1*I1 ,
donc
I1 
P
3 *U 1
On en déduit finalement : I1= 55,56 A, ce qui donne
SCu1 17,36 mm2
III)Détermination de la fenêtre :
Il s’agit ici de déterminer l’espace nécessaire pour l’enroulement.
a)Hauteur du noyau :
Déterminons la hauteur hn du noyau.
En posant A la charge linéique (en A/m), l’expression des AT(Ampères Tours)
totaux pour une colonne donne :
AT=A*hn = ns1*I1+ns2*I2
En utilisant la planche VII 7 page 95 du cours, on trouve A = 9,6x10 4 A/ m
En négligeant le courant magnétisant, on a :
hn 
soit
2 * ns1 * I 1
A
hn  847 mm
b)Largeur de la fenêtre :
Par définition, le facteur de remplissage de la fenêtre est :
Kr 
sec tion cuivre
.
sec tion fenêtre
Ce facteur de remplissage est déterminé par la lecture de la planche VII 7 :
Kr = 38 %
On en déduit alors la largeur bf de la fenêtre grâce à la formule (pour un
transformateur à noyaux) :
bf
soit :
bf
 157, 93 mm

n s
Kr *hn
4* s1* cu1
c)Largeur du noyau :
Notons bn la largeur du noyau.
Le noyau, de diamètre d, vérifie la relation :
bn = 0,945d
Si on considère un coefficient de foisonnement Kf = 0,87, la section
géométrique de fer est égale à :
SFe, G 
SFe 615,15

 707,069 cm 2
Kf
0,87
de plus , SFe, G 
d’ou : bn 
d
4
 *(
2

4 * S Fe,G * 0,945 2


bn 2
)
0,945
4
4 * 70706 * 0,945 2

soit bn  283,54 mm
IV)Calcul des masses fer et cuivre. Calcul des pertes fer et
cuivre :
a)Calcul de la masse de fer:
La masse de fer est donnée par la relation suivante :
MFe  dFe x SFe x(3hn  4bf  6bn)
comme
dFe  7,9 g / cm3 (cours page 11)
hn = 847 mm
bf= 157,93 mm
bn= 283,54 mm
on obtient :
MFe  2091,81 kg
b)Calcul de la masse de cuivre :
Pour un avant-projet, on calculera les longueurs de spires moyenne
grâce à la relation
bf
157,93
lcu   * (bn  )   * (283,54 
)
2
2
lcu  1138,84 mm
On supposera que l’on a des densités de courants égales au primaire et
au secondaire.
La masse de cuivre des deux enroulements par colonne vaut alors :
Mcu  dcu x 2 xns1 x scu x lcu
Ainsi, la masse de cuivre pour un transformateur triphasé à noyaux
vaut :
Mcu  3 * mcu(col )  3  257,6  772,8 kg
soit Mcu  772,8 kg
c)Calcul des pertes fer
D’après le cours, on a la relation :
PFe = MFe*pFe= 2091,89 x 1,62
->
PFe =3,388 kW
d)Calcul des pertes cuivre :
D’après le cours, on a les relations :
Pcu = Mcu*pcu= 772,8 x 29,021
->
Pcu = 22,43 kW
e)Comparaison avec les valeurs de départ :
Au départ les pertes fer de 3,8 kW et les pertes cuivre de 30 kW. Nos
valeurs sont inférieures aux valeurs données dans l’énoncé.
L’erreur commise est de 25 % sur les pertes cuivres et de 10,8% sur
les pertes fer .
Ces erreurs étant minimes, nous conserverons nos paramètres.
V)Enroulements primaire et secondaire :
a)Enroulement primaire :
On a trouvé précédemment Scu =17,36 mm²
Prenons, dans les tableaux les fils cuivre nus recuits ayant les caractéristiques :
Section nominale : Scu1 = 17,721 mm²
Diamètre nominal : D = 4,75 mm
Tolérances : s/D =  0.047 mm
Poids aux 1000 m : environ 157,5 kg
On choisira une isolation par émaillage renforcé.
Comme le diamètre nominal est de 4,75 mm , pour un émaillage simple, la
différence entre le diamètre du conducteur et le diamètre du fil est comprise
entre 0.004 et 0.010.
On choisit la valeur moyenne de cet écart, soit 0.007.
Le diamètre d’un conducteur vaut donc dc = 4,757 mm.
Calculons la densité de courant :
I1
55,56

 3,14 *10 6 A / m 2
6
Scu1
17,721*10
Notre dimensionnement paraissant correct, on conservera les paramètres
J1 
ns1 = 732 spires, et hn = 847 mm.
D’après la planche VII 6 page 95, on a une distance d= 25 mm entre
l’enroulement et la culasse dans la fenêtre de transformateur.
La hauteur des enroulements vaut :
he = hn-2xc = 847 – 2x25 = 797 mm
Alors le nombre de spires par couche est :
n * = he/dc = 797/4,757 =168 spires par couche
D’ou le nombre de couches nécessaires :
nsi/n* = 732 / 168 = 4,36 -> 4 couches
On a 4 couches. Il n’est donc pas nécessaire de prévoir un canal de
refroidissement au primaire.
Le calcul de la nouvelle section de cuivre donne une nouvelle largeur de
fenêtre :
bf 
4 * ns1 * scu1 4 * 732 * 17,721

 161,21 mm
kr * hn
0,38 * 847
b)Enroulement secondaire :
On sait que les courants I1 et I2 sont lié par un rapport de
transformation.
Ainsi
I2U1I1
V2
où : V 2 
U2
 3,811 kV
3
on a donc : I 2 
15 3
 55,56
3,811
soit
I 2  378,77 A
En faisant l’hypothèse que les densités de courant sont les mêmes au
primaire et au secondaire, on peut déduire la section au secondaire
ainsi :
I
I2
378,77
 2 
 120,63 mm 2
J2
J1
3,14
D’après le tableau 1 de l’énoncé, on a que l’épaisseur des fils méplats étant
inférieure à 3.2 mm ; on choisit un fil méplat d’épaisseur 1.6 mm, de longueur
80 mm ( section = 128 mm2)
S Cu 2 
Nombre de spires au secondaires :
On a l’égalité ns2 = (I1*Ns1)/I2 = (55,56 * 732)/ 378,77 = 107 spires
Ne reste plus qu’à déterminer le nombre de couches :
Nombre de couches 
nombre de spires * épaisseur d ' une spire 107 *

hauteur de l ' enroulement
797
On en déduit alors qu’il n’y a pas besoin de canal de refroidissement.
On prendra des tubes isolants de 5 mm
VI)Dimensionnement exact :
a)Dimensions exactes de la fenêtre :
On doit tenir compte des distances minimales entre les bobines ainsi qu’entre
bobines et fer
La planches VII 6 du cours nous aide pour déterminer ces distances :
a-1)Distance entre l’enroulement et la culasse :
Comme la tension est de 15 k V , l’abaque donne la distance entre l’enroulement
et la culasse :
d = 25 mm
a-2)Hauteur de la fenêtre :
On en déduit dimensionnement exact de la fenêtre.
Comme la hauteur hn du noyau vaut : hn =847+2.d
On a : hn  897 mm
a-3)Largeur de la fenêtre :
D’après les définitions, on a :
bf 
soit
4.ns1.scu1
4  732  17,721

kr.hn
0,38  897
b f  152,22 mm
a-4) Largeur du noyau :
Calculons la nouvelle section de Fer :
On reprend la même formule que précédemment, mais ici, PFer=3,388 kW et
Pcuivre=22,43 kW, ce qui donne p= PCU/PFE = ( 22,43/ 3,388)=6,62.
Alors SFE=671,6 cm². On en déduit alors SFE,G=SFE/0,87=771,9 cm²
D’où
bn  296,26 mm
a-5)Distance entre les enroulements haute tension et le noyau de
fer voisin :
La haute tension étant de 15 kV, on lit sur l’abaque de la planche page 95 :
d Fe  50 mm
a-6)Distance entre la basse tension et la haute tension :
On lit sur la même abaque :
d HT / BT  35 mm
a-7)Distance entre les enroulements basse tension et le fer :
On lit:
d BT / Fe  16 mm
b)Calcul exact des pertes fer :
Les définitions nous donnent : PFe = MFe*pFe
Comme MFe = dFe*SFe*(3hn+4bf+6bn)
on a : MFe = 7,9*671,6*(3*897+4*152,22+6*296,26)
 MFe = 2693,91 kg
D’où
Soit
PFe 2693,91*1,62
PFe 4,36 kW
VII)Calcul des réactances, et grandeurs électriques :
a)Calcul de la réactance de fuite :
Notons X n la réactance de fuite.
Alors, on a la relation :
Xn
 0 ns21  Dm  d BT / Fe  d Fe



d
HT
/
BT

 kr

hn

3
où :
0 : permittivité du vide (0 = 4..10-7 SI)
 : pulsation du courant ( = 2..f = 314,16 rad / s)
ns1 : nombre de spires au primaire
Dm : diamètre moyen de l’espace inter-bobine
hn : hauteur du noyau
d BT / Fe : épaisseur de l’enroulement basse tension
d Fe
: épaisseur de l’enroulement haute tension
d HT / BT : espace inter bobine
kr : coefficient de Rogowski
De plus,
Dm = bn +2* d BT / Fe + d HT / BT = 363,26 mm
par définition
Le coefficient kr se calcule à l’aide de la formule:
kr  1 
1
2
 2 * d HT / BT  d Fe  d BT / Fe

hn

ce qui donne : kr = 0,976
On en tire que :
X n = 14972,09



b)Calcul des résistances :
On a la relation :
R
l
S
où :
R : résistance de l‘enroulement
 : résistivité du cuivre, 75°c = 2,102 x10-8 .m
l: longueur du conducteur
S : section du conducteur
Calculons la longueur de cuivre :
lcu   * (bn 
bf
152,22
)   * (296,26 
)  1169,83 mm
2
2
Ainsi, on trouve :
-au primaire :
on a l1 = lcu * ns1 = 1,16983*732 =856,32 m=longueur au primaire
et Scu1 =17,721 mm2
D’ou :
R1= 1,02 Ώ
–au secondaire :
l2 = lcu * ns2 = 1,16983*107 = 125,17 m=longueur au secondaire
et Scu2=120,63 mm2
D’ou :
R2=0,022 Ώ
c)Calcul des chutes de tension :
c-1)au primaire :
Par définition de la chute de tension ΔU1,
U1= R1*I1
donc U1=1,08*55,56
soit
U1=60 V
c-2) au secondaire :
on a : U2= R2*I2
donc U2= 0,023*378,77
soit
U2=8,71 V
d)Calcul de la tension de court-circuit :
Les transformateurs doivent être conçus pour résister aux efforts très importants
dus au court-circuits.
Comme Ucc=7%, on a la formule : Icc= (100/7) In avec In tel que P=Un*In,
soit In=P/U1=2500/15=166,67 A
D’ou Icc= 2380,95 A
Ceci nous donne une tension de court-circuit ( Vcc=R*Icc)
VCC=
IX)Calcul du rendement du transformateur, Cos =0.8 :
On utilisera la relation suivante, issue du cours :
P.cos

P.cos  pertes
a)en charge nominale :
A la charge nominale, on connaît toutes les composantes , on a donc :
P=2500 KVA, PFE = 4,36 kW
Trouvons Pcu = Mcu*pCu = (dCu*2*nS1*SCu*lCu)*29,021
= (8,9*2*732*(17,021*10-6 )*1,16983)*29,021
= 7,53 kW
Donc
 = 99,4 %
b)en charge ¾ :
Dans ce cas : P = (¾)*2500=1875 kVA
Et comme
PFe
est indépendant de la charge, on a
 = 99,2 %
c)en charge 2/4 :
De même : P = (2/4)*2500=1250 kVA
Et comme
PFe
est indépendant de la charge, on a
 = 98,8 %
c)en charge ¼ :
De même : P = (1/4)*2500=625 kVA
Et comme
PFe
est indépendant de la charge, on a
 = 97,7 %
X)Calcul des courant a vide :
Soit I0 le courant à vide.
Le cours nous donne la formule :
I0 2I1 I2
3
où :
I1 : le courant induit dans un cadre ( 2 colonnes et 2 culasses )
I2 : le courant induit dans une colonne
Cherchons I1 et I2 .
On utilise la relation :
2 I 2
Ii IMi
i
Il nous faut IM et Iω.
On sait que
IM1 
AT dans la partie concernée
nS1
et
I 
Alors
PFE
4,36

 96,8 mA
3U 1
3 * 15
I1 =
I2 =
I0 =