Baccalauréat S Physique-Chimie Centres étrangers 2009 (extrait

Documents de Physique-Chimie-M. MORIN
Baccalauréat S Physique-Chimie Centres étrangers 2009 (extrait).
Bac Panther
Estimation de la masse du trou noir.
Pour déterminer un ordre de grandeur de la masse M du trou noir, on considère dans cette question que l'étoile S2, de masse m,
décrit une orbite circulaire de rayon r = 132 heures-lumière, la période de révolution étant T = 15,2 ans.
3.1 Schématiser la trajectoire de l'étoile S2 et représenter, en plusieurs points de la trajectoire, l'étoile, son vecteur vitesse,
son vecteur accélération.
3.2 Montrer que la valeur v de la vitesse de l'étoile S2 a pour expression :  
3.3 En déduire l'expression de la période de révolution T de l'étoile.
3.4 Déterminer la valeur de la masse M du trou noir et la comparer à celle annoncée dans le document 1.
Extrait du document 1 :
L'orbite d'une étoile particulière a permis de démontrer l'existence d'un trou noir (1) de 3 à 4 millions de masses solaires.
Masse du soleil : MS = 2,0 x 1030 kg
Chemin de résolution
2ème loi de Newton
 = 

Documents de Physique-Chimie-M. MORIN
3.1.
Astuce : Dans le document 1, il est indiqué que la trajectoire suit les lois de Képler.
Dans l’approximation des orbites circulaires, le mouvement est alors uniforme.
On a dans ce cas  = 0 alors les vecteurs  et  sont perpendiculaires.
3.2.
Référentiel : trou noir
Système : étoile
Bilan des forces : Force gravitationnelle (radiale, centripète, norme :  )
Application de la deuxième loi de Newton :
 alors    
L’expression de l’accélération centripète est  = 
Le mouvement étant uniforme, l’accélération est centripète donc on a  =  , alors on peut écrire 
On en déduit que   
3.3.
Astuce : Pour trouver l’expression de la période, pensez à exprimer cette période en fonction du périmètre de l’orbite.
La relation est  
 On peut alors écrire    = 
Astuce : Quand on a une racine carré, pensez à élever l’équation au carré.
 =   devient   =  soit   
3.4. 
 =  , alors la masse du trou noir a pour expression M = 
Attention : Il faut convertir toutes les grandeurs dans les unités internationales (mètres et secondes).
r = 132 heures-lumière
T = 15,2 ans = 15,2 × 365,25 × 24 × 3 600 = 4,80 × 108 s
M = 
 7,45 × 1036 kg !!! soit    3,75 × 106 masses solaires.
Cette valeur est cohérente avec celle donnée dans le document 1 (3 à 4 millions de masses solaires).