En régime sinusoïdal, on utilise la notation complexe :

Etude des circuits électriques en régime sinusoïdale
En régime sinusoïdal, on utilise la notation complexe : U, I .
I/ Le régime sinusoïdal :
En régime sinusoïdal, les récepteurs sont connectés aux bornes d’une source fournissant une
tension sinusoïdale ou un courant sinusoïdal.
Un grandeur sinusoïdale est définie par un signale d’équation :
s(t )  S 2 sin( t  s )
-
s : valeur efficace du signale.
S 2 : valeur max du signale = Sm
t   s : phase instantanée (argument du sin ou cos) exprimé en radian.
o w : pulsation en rad.s-1
o T : période du signale en s
o F : fréquence en Hz
o js : phase a l’origine de temps en rad
II/ Notion de déphasage :
i(t)
e(t)
~
u(t)
Dipôle
e(t )  E 2 sin( t   e )
u (t )  U 2 sin( t   u )
i (t )  I 2 sin( t   i )
w est imposé par le générateur.
En régime sinusoïdal, la fréquence des différentes tensions aux bornes des dipôles qui
composent le circuit et des différents courants qui circulent dans le circuit est la même et est
imposée par le générateur.
Un récepteur placé dans un circuit induit généralement un déphasage j (radians) entre la
tension à ses bornes et le courant qui le traverse.
Par convention on exprime le déphasage du courant par rapport à la tension :
j = ju - ji
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Etude des circuits électriques en régime sinusoïdale
1) Visualisation d’un déphasage sur un oscilloscope :
But : exprimer j dans les trois cas.
Dans chaque cas, on constate un déphasage temporal z en seconde :
    2
2
 2F
avec  
T

T
Cas n°1 :
z = 0,0025 s
2
2


T
0,02
2


 0,0025  rad (0,57 rad)
0,02
4
u(t) est en avance  il s’agit d’un récepteur inductif (bobine).
Cas n°2 :


rad
4
u(t) est en retard  il s’agit d’un récepteur capacitif (condensateur).
Cas n°3 :
  0 rad
u(t) est i(t) sont en phase  il s’agit donc d’un récepteur résistif (résistance).
2) Représentation de Fresnel :
Cette représentation est une autre façon de représenter le déphasage j entre le courant et la
tension.
On représente dans un plan orienté 2 vecteurs :
-
 norme U
eff
vecteur tension U 
angle u
 norme I
eff
vecteur courant I 
angle i
Exemple :
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Etude des circuits électriques en régime sinusoïdale
Cas n°1 :
Cas n°2 :
Cas n°3 :
III/ Loi d’Ohm généraliste – Impédance complexe :
1) Rappel mathématique / nombre complexe :
Im
M
b
Z

0
z  a  jb
a
Re
a : ReZ 
b : ImZ 
a  z. cos 
, z est la longueur du segment OM.
b  z. sin 
Donc z  z. cos  jz.sin  (1)
 z  z j

z  z.e j
(2)
Nous avons z  a  jb  z.e j
z  a 2  b 2
a

z
.
cos





b
b  z. sin 
  Arc tan  
a

(z module de z : z )
tan  
b
  
;
, q est l’argument de z , et sin   
.
a
 2 2 
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Etude des circuits électriques en régime sinusoïdale
Im
z
b
p-q
q
a
tan(    ) 
Re
b
a
b
     arctan   
a
b
a
  
 
;
 2 2 
    arctan  
2) Tension et courant complexes :
Régime sinusoïdal.
-
Grandeurs réelles :
u (t )  U 2 . cos(   u )
i (t )  I 2 . cos(   i )
-
Grandeur complexes :
u (t )  U 2. cos(t   u )  jU 2 . sin( t   u )
 U 2e j (t u )
 U 2e jt .e ju
Donc u(t )  Reu(t )
i (t )  I 2e jt .e ji
Donc i(t )  Rei(t )
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Etude des circuits électriques en régime sinusoïdale
Conclusion :
On note :

u (t )  U 2.e

jt

i(t )  I 2.e
jt
les tensions sont les courant complexes :
U  U .e ju

 I  I .e i
U et I sont les valeurs efficaces.
u(t ) et i(t ) n’ont pas de réalité physique. L’outil complexe permet une étude des circuits en
régime sinusoïdale plus aisée ;
Pour revenir à u(t) et i(t) réelle, on prendra la partie réelle (ou imaginaire) de u(t ) et i(t ) .
3) Impédance complexe z :
a) Définition :
Considérons un dipôle D :
i(t )
D
u(t )
Utilisation des complexes

Régime sinusoïdale
Un dipôle est caractérisé par la relation existant entre la tension à ses bornes et le courant qui
le traverse.
Notons : Z 
u (t ) U 2 .e jt U U .e ju U j (u i )

 
 e
i (t )
I
I
I .e ji
I 2 .e jt
j : déphasage de u(t)/i(t)
Z est nommée impédance complexe.
Z
U U j
 e
I
I
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U

Z

rapport des valeurs efficaces

I

 Arg ( Z )   déphasage u

i
b) Composants de bases :
i. La résistance :
i(t )
R
u(t )
-
En régime variable quelconque :
u (t )  R.i (t )
-
En régime sinusoïdale :
u(t )  R.i(t )
 u (t )  U 2 .e jt  R I 2 .e jt
-
Impédance complexe d’une résistance :
Z
U
R
I
On a donc :
Z  R

 Arg (Z )  0
 j = 0  pas de déphasage de u/i.


I
U
u  0
ii. L’inductance (bobine) L :
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Etude des circuits électriques en régime sinusoïdale
L
i(t )
u(t )
-
Régime variable quelconque :
u (t )  L
-
dit
dt
Régime sinusoïdal :
u (t )  L
d it
dt
Avec :
u (t )  U 2e jt


d it
jt
 j.i (t )
i (t )  I 2e 
dt

-
Impédance complexe d’une inductance L :
Z
U
et U  jL.I
I
Z  jL
U

Z   L

I

 
 Arg ( Z )    

2

-
Représentation de Fresnel :

u  0
U

I

2
La tension est en avance de

par rapport au courant pour une bobine.
2
iii. Condensateur de capacité C :
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Etude des circuits électriques en régime sinusoïdale
i(t ) C
u(t )
-
Régime variable :
i (t )  C
-
du (t )
dt
Régime sinusoïdal :
i(t )  C
d u (t )
dt
Avec :
d ut

jt
 j.u (t )
u (t )  U 2e 
dt

i(t )  I 2e jt

On a donc I 2e jt  U 2e jt jC
-
Impédance complexe :
U
1

I
jC
Avec :
1

Z  C

 Arg Z    

2
Z
-
Représentation de Fresnel :

I

2

u  0
U
Le courant est en avance de

rad à la tension.
2
c) Application :
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Etude des circuits électriques en régime sinusoïdale
I
R
~
Z
U
U
 Z R  Z L  R  jL
I
L
Supposons que :
 R  100

 L  100
U

Z  R 2  L2 2   100 2  100 2

I


 Arg ( Z )  Arc tan  L     Arc tan(1)   rad

4
 R 

 u est en avance de
-

rad par rapport à i.
4
Représentation de Fresnel :

U


4
I
IV/ Lois et théorèmes :
Les lois et théorèmes étudiés en régime continu restent valables en régime sinusoïdal. On
utilise alors le formalisme complexe.
1) Loi des nœuds, loi des mailles :
Loi des nœuds :
-
Régime continu :
I1 + I2 = I3 + I4
-
Régime sinusoïdal :
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I1  I 2  I 3  I 4
Lois des mailles :
-
Régime continu :
U1  U 2  U 3  U 4
-
Régime sinusoïdal :
U1 U 2  U 3 U 4
2) Loi d’Ohm :
Z
I
U  Z .I
R
U

Z  R
R

Z L  jL

1
Z C 

jC
Dipôle élémentaire.
3) Groupement de dipôles :
Z1
Z2
Z3

Z eq
Avec : Z eq  Z 1  Z 2  Z 3
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Etude des circuits électriques en régime sinusoïdale
Z1
Avec :  eq 

Z3
Z2
Z eq
1
 1  2  3
Z eq
 eq : admittance complexe
4) Diviseur de tension (de courant) :
UR 
C
R
U
Donc
UR

ZR
U
ZR  ZC
R
1
R
jC
U
UR
jRC

U
1  jRC
Remarque :
UR
rapport de 2 tensions.
U
I ( j ) : Fonction de transfert.
On note I ( j ) 
5) Théorème de Milmann, théorème de Thevenin, Superposition :
Même chose qu’en régime continu avec utilisation de Z .
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