En régime sinusoïdal, on utilise la notation complexe :

Etude des circuits électriques en régime sinusoïdale
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M.M.
En régime sinusoïdal, on utilise la notation complexe :
I ,U
.
I/ Le régime sinusoïdal :
En régime sinusoïdal, les récepteurs sont connectés aux bornes d’une source fournissant une
tension sinusoïdale ou un courant sinusoïdal.
Un grandeur sinusoïdale est définie par un signale d’équation :
)sin(2)( s tSts
- s : valeur efficace du signale.
- S
2
: valeur max du signale = Sm
-
s
t
: phase instantanée (argument du sin ou cos) exprimé en radian.
o w : pulsation en rad.s-1
o T : période du signale en s
o F : fréquence en Hz
o js : phase a l’origine de temps en rad
II/ Notion de déphasage :
)sin(2)(
)sin(2)(
)sin(2)(
i
u
e
tIti
tUtu
tEte
w est imposé par le générateur.
En régime sinusoïdal, la fréquence des différentes tensions aux bornes des dipôles qui
composent le circuit et des différents courants qui circulent dans le circuit est la même et est
imposée par le générateur.
Un récepteur placé dans un circuit induit généralement un déphasage j (radians) entre la
tension à ses bornes et le courant qui le traverse.
Par convention on exprime le déphasage du courant par rapport à la tension :
j = ju - ji
i(t)
~
e(t)
Dipôle
u(t)

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1) Visualisation d’un déphasage sur un oscilloscope :
But : exprimer j dans les trois cas.
Dans chaque cas, on constate un déphasage temporal z en seconde :
T
2
avec
F
T
2
2
Cas n°1 :
z = 0,0025 s
02,0
22
 T
rad) (0,57 rad
4
0025,0
02,0
2
u(t) est en avance il s’agit d’un récepteur inductif (bobine).
Cas n°2 :
rad
4
u(t) est en retard il s’agit d’un récepteur capacitif (condensateur).
Cas n°3 :
rad 0
u(t) est i(t) sont en phase il s’agit donc d’un récepteur résistif (résistance).
2) Représentation de Fresnel :
Cette représentation est une autre façon de représenter le déphasage j entre le courant et la
tension.
On représente dans un plan orienté 2 vecteurs :
- vecteur tension
u
angle
U
eff
Unorme
- vecteur courant
i
angle
I
eff
I norme
Exemple :

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Cas n°1 :
Cas n°2 :
Cas n°3 :
III/ Loi d’Ohm généraliste – Impédance complexe :
1) Rappel mathématique / nombre complexe :
jbaz 
Zb
Za
Im:
Re:
sin.
cos.
zb
za
, z est la longueur du segment OM.
Donc
sin.cos. jzzz 
(1)
j
zz 
j
ezz .
(2)
Nous avons
j
ezjbaz .
a
b
Arc
baz
zb
za
tan
sin.
cos. 22
(z module de
zz :
)
a
b
tan
, q est l’argument de
z
, et
2 ;
2
sin
.
Re
Im
M
0
Z
a
b

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a
b
 )tan(
2
;
2
arctan
arctan
a
b
a
b
2) Tension et courant complexes :
Régime sinusoïdal.
- Grandeurs réelles :
)cos(.2)(
)cos(.2)(
i
u
Iti
Utu
- Grandeur complexes :
u
u
j
tj
tj
uu
eeU
eU
tjUtUtu
.2
2
)sin(.2)cos(.2)(
)(
Donc
)(Re)( tutu 
i
j
tj eeIti
.2)( 
Donc
)(Re)( titi 
Re
Im
z
a
b
q
p - q

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Conclusion :
On note :
tj
tj
eIti
eUtu
.2)(
.2)(
les tensions sont les courant complexes :
i
u
eII
eUU j
.
.
U et I sont les valeurs efficaces.
)(et )( titu
n’ont pas de réalité physique. L’outil complexe permet une étude des circuits en
régime sinusoïdale plus aisée ;
Pour revenir à u(t) et i(t) réelle, on prendra la partie réelle (ou imaginaire) de
)(et )( titu
.
3) Impédance complexe
z
:
a) Définition :
Considérons un dipôle D :
Utilisation des complexes
Régime sinusoïdale
Un dipôle est caractérisé par la relation existant entre la tension à ses bornes et le courant qui
le traverse.
Notons :
)(
..
.2
.2
)( )( iu
i
uj
j
j
tj
tj e
I
U
eI eU
I
U
eI
eU
ti tu
Z
j : déphasage de u(t)/i(t)
Z
est nommée impédance complexe.
j
e
I
U
I
U
Z
)(tu
)( ti
D