Mathématiques Epreuve Commune

3èmeA 3èmeB 3èmeC
Mathématiques Epreuve Commune
17/12/04
1 On considère l’expression suivante : A = ( x + 2 )² – ( x +2 )( 2x – 1 )
a) Développer, réduire et ordonner A
b) Factoriser A
c) Calculer A si x = 3
2 Ecrire sous la forme
a b
avec b entier le plus petit possible
A = 98 – 3 288 – 8
B = 27 – 2 48 + 5 75
3 On considère un triangle LMN rectangle en M tel que LM = 6 cm et ;MLN = 30°.
Faire la figure en vraie dimension et la compléter au fur et à mesure des questions.
a) Montrer que la valeur exacte de LN est 4 3 cm
b) Tracer le cercle (C) de diamètre [ML] ; il recoupe le segment [LN] en P.
Quelle est la nature du triangle LMP ? (Justifier)
c) Montrer que la valeur exacte de MP est 3 cm.
d) Montrer que la valeur exacte de LP est 3 3 cm
e) Tracer la droite perpendiculaire à (LN) passant par N ; elle coupe (LM) en R.
Que peut-on en déduire pour les droites (RN) et (MP) ? Justifier.
f) Montrer que la valeur exacte de RN est 4 cm.
g) Calculer les aires des triangles MPL et RNL
(on donnera les résultats sous leur forme exacte)
Quelle est la nature du quadrilatère MPNR ? Calculer son aire.
4 On a :
35
23 2 3 5 225 4915 25 4625 41 4
22
et
25
22 2 2 5 225 4410 25 4625 41 4
22
donc
35
225 2
2 2
En prenant la racine carrée on a :
35
225 2
d’où
3 2
Curieux non ! ! Trouvez l’erreur ! ! !
(hors barème)

Corrigé
1
A(x) = x² + 4x + 4 – ( 2x² + 4x – x – 2 )
A(x) = x² + 4x + 4 – 2x² – 4x + x + 2
A(x) = – x² + x + 6
A(x) = ( x + 2 )[( x + 2 ) – ( 2x – 1 )]
A(x) = ( x + 2 )( x + 2 – 2x + 1 )
A(x) = ( x + 2 )( – x + 3 )
A( 3) = – ( 3)2 + 3 + 6 = – 3 + 3 + 6
A( 3) = 3 + 3
2
A = 98 – 3 288 – 8
A = Error! – 3Error! – Error!
A = 492 – 312 2 – 4  2
A = 7 2 – 36 2 – 2 2
A = – 31 2
B = 27 – 2 48 + 5 75
B = Error! – 2Error! + 5Error!
B = 93 – 2163 + 5253
B = 3 3 – 8 3 + 25 3
B = 20 3
3
a) Le triangle LMN est rectangle en M. On peut donc utiliser la
trigonométrie et donc
cos ;MLN =
Error!
or cos 30° =
Error!
et LM = 6 donc
Error!
=
Error!
et donc LN =
Error!
or
Error!
=
Error!
=
Error!
= 4
Error!
donc LN = 4 3 cm
b) Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre un côté du triangle alors ce triangle est rectangle
LMP inscrit dans un cercle de diamètre [LM] donc LMP rectangle en P.
c) LMP rectangle ; on utilise la trigonométrie
sin ;MLP =
Error!
Or
Error!
=
Error!
= 30° et sin 30° =
Error!
d’où
Error!
=
Error!
et donc
Error!
d) MLP rectangle en P ; d’après le théorème de Pythagore LM2 = LP2 + MP2
donc 62 = LP2 + 32 donc LP2 = 36 – 9 donc LP2 = 27
donc LP = 27 or 27 = 9 3 = 3 3 donc LP = 3 3 cm
e) Si 2 droites sont perpendiculaires à une même 3ème droite alors elles sont parallèles
LMP rectangle en P donc (PN) (LN) on a aussi (RN) (LN) donc (RN)//(PM)
f) (LN) et (RL) sécantes en L, P point de (LN), M point de (RL)
On a (RN)//(PM) donc d’après le théorème de Thalès on a
Error!
=
Error!
=
Error!
donc
Error!
=
Error!
donc
Error!
=
Error!
d’où
Error!
g) Aire MPL =
Error!
=
Error!
=
Error!
donc
Error!
Aire(RNL) =
Error!
=
Error!
= 8
Error!
donc
Error!
Nature de MPNR : on a (NR)//(PM) donc MPNR est un trapèze ; de plus (LP) (NR) donc MPNR est un
trapèze rectangle.
Aire(MPNR) = Aire(RNL) – Aire(MPL) = 8 3 –
Error!
=
Error!
donc
Error!
4 . Deux nombres ayant le même carré ne sont pas forcément égaux ; ils peuvent aussi être opposés ce
qui est le cas ici : 3 –
Error!
et 2 –
Error!
sont opposés
L
M
N
P
R