3èmeA 3èmeB 3èmeC 1 a) b) c) Mathématiques Epreuve Commune On considère l’expression suivante : A = ( x + 2 )² – ( x +2 )( 2x – 1 ) Développer, réduire et ordonner A Factoriser A Calculer A si x = 3 2 Ecrire sous la forme a b avec b entier le plus petit possible A = 98 – 3 288 – 8 B = 27 – 2 48 + 5 75 3 On considère un triangle LMN rectangle en M tel que LM = 6 cm et ;MLN = 30°. Faire la figure en vraie dimension et la compléter au fur et à mesure des questions. a) Montrer que la valeur exacte de LN est 4 3 cm b) Tracer le cercle (C) de diamètre [ML] ; il recoupe le segment [LN] en P. Quelle est la nature du triangle LMP ? (Justifier) c) Montrer que la valeur exacte de MP est 3 cm. d) Montrer que la valeur exacte de LP est 3 3 cm e) Tracer la droite perpendiculaire à (LN) passant par N ; elle coupe (LM) en R. Que peut-on en déduire pour les droites (RN) et (MP) ? Justifier. f) Montrer que la valeur exacte de RN est 4 cm. g) Calculer les aires des triangles MPL et RNL (on donnera les résultats sous leur forme exacte) Quelle est la nature du quadrilatère MPNR ? Calculer son aire. 2 5 5 25 25 25 1 4 On a : 3 32 2 3 9 15 6 2 2 4 4 4 4 2 5 5 25 25 25 1 2 4 10 6 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 et 2 5 5 donc 3 2 2 2 2 En prenant la racine carrée on a : 3 5 5 2 d’où 3 2 Curieux non ! ! Trouvez l’erreur ! ! ! 2 2 (hors barème) 17/12/04 Corrigé 1 2 A(x) = x² + 4x + 4 – ( 2x² + 4x – x – 2 ) A(x) = x² + 4x + 4 – 2x² – 4x + x + 2 A(x) = – x² + x + 6 A( 3) = – ( 3)2 + 3 + 6 = – 3 + 3 + 6 A( 3) = 3 + 3 A = 98 – 3 288 – 8 A = Error! – 3Error! – Error! A = 49 2 – 312 2 – 4 2 A = 7 2 – 36 2 – 2 2 A = – 31 2 N 3 A(x) = ( x + 2 )[( x + 2 ) – ( 2x – 1 )] A(x) = ( x + 2 )( x + 2 – 2x + 1 ) A(x) = ( x + 2 )( – x + 3 ) B = 27 – 2 48 + 5 75 B = Error! – 2Error! + 5Error! B = 9 3 – 2 16 3 + 5 25 3 B = 3 3 – 8 3 + 25 3 B = 20 3 a) Le triangle LMN est rectangle en M. On peut donc utiliser la trigonométrie et donc cos ;MLN = Error! or cos 30° = Error! et LM = 6 donc Error! = P Error! L M R et donc LN = Error! or Error! = Error! = Error! = 4 Error! donc LN = 4 3 cm b) Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre un côté du triangle alors ce triangle est rectangle LMP inscrit dans un cercle de diamètre [LM] donc LMP rectangle en P. c) LMP rectangle ; on utilise la trigonométrie sin ;MLP = Error! Or Error! = Error! = 30° et sin 30° = Error! d’où Error! = Error! et donc Error! d) MLP rectangle en P ; d’après le théorème de Pythagore LM2 = LP2 + MP2 donc 62 = LP2 + 32 donc LP2 = 36 – 9 donc LP2 = 27 donc LP = 27 or 27 = 9 3 = 3 3 donc LP = 3 3 cm e) Si 2 droites sont perpendiculaires à une même 3ème droite alors elles sont parallèles LMP rectangle en P donc (PN)(LN) on a aussi (RN) (LN) donc (RN)//(PM) f) (LN) et (RL) sécantes en L, P point de (LN), M point de (RL) On a (RN)//(PM) donc d’après le théorème de Thalès on a Error! = Error! = Error! donc Error! = Error! donc Error! = Error! d’où Error! g) Aire MPL = Error! = Error! = Error! donc Error! Aire(RNL) = Error! = Error! = 8 Error! donc Error! Nature de MPNR : on a (NR)//(PM) donc MPNR est un trapèze ; de plus (LP)(NR) donc MPNR est un trapèze rectangle. Aire(MPNR) = Aire(RNL) – Aire(MPL) = 8 3 – Error! = Error! donc Error! 4 . Deux nombres ayant le même carré ne sont pas forcément égaux ; ils peuvent aussi être opposés ce qui est le cas ici : 3 – Error! et 2 – Error! sont opposés