Cercle des 9 points d`un triangle - E

A
B
C
M
I
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Exercice 1 :
Dans la figure ci-contre, ABC est un triangle équilatéral et
C son cercle circonscrit.
M est un point quelconque du petit arc de cercle ;AB.
On considère le point I du segment [MC] tel que MI = MA.
Le but de l’exercice est de montrer que MA + MB = MC.
1. Montrer que ;AMC = ;ABC.
En déduire que le triangle MAI est équilatéral.
2. A l’aide d’une rotation de centre A (à préciser),
démontrer que MB = IC.
3. Conclure.
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Exercice 2 :
On considère le triangle MNP rectangle en M. On trace la
hauteur de ce triangle issue de M. Elle coupe [NP] en H.
I et J sont les milieux respectifs de [MN] et [MP].
1. Montrer que les triangles MIH et MJH sont des triangles
isocèles respectivement en I et en J.
2. Montrer que la droite (IJ) est la médiatrice du segment [MH].
3. En utilisant une symétrie axiale (à préciser), montrer que les
droites (HI) et (HJ) sont perpendiculaires.
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Cercle des 9 points d’un triangle
Soit un triangle quelconque ABC et A’, B’, C’ les milieux respectifs des côtés [BC],
[AC] et [AB].
1. Tracer la hauteur issue de A, notée [AH].
2. Quelle est la nature du quadrilatère A’HB’C’ ?
3. Tracer le cercle C circonscrit au triangle A’B’C’.
4. Montrer que les points A’, H, B’, C’ sont sur le cercle C.
5. Tracer les deux autres hauteurs [BI] et [CJ] du triangle ABC. Démontrer que I
et J sont sur le cercle C.
6. Présenter les résultats précédents sous forme de théorème.
7. Soit D l’orthocentre du triangle ABC. Quelles sont les hauteurs du triangle
BCD ? Que remarque-t-on ? Que peut-on dire du milieu de [BD] ?
8. Soient les triangles BAD et ADC. Que peut-on dire des milieux de [AD] et de
[CD] ?
9. Justifier le titre « cercle des 9 points d’un triangle ». Ce cercle est aussi
appelé « cercle d’Euler ».
M
P
N
H
I
J

A
B
C
M
I
Correction Exercice 1 :
Dans la figure ci-contre, ABC est un triangle équilatéral et
C son cercle circonscrit.
M est un point quelconque du petit arc de cercle ;AB.
On considère le point I du segment [MC] tel que MI = MA.
Le but de l’exercice est de montrer que MA + MB = MC.
1. Montrer que ;AMC = ;ABC.
En déduire que le triangle MAI est équilatéral.
2. A l’aide d’une rotation de centre A (à préciser),
démontrer que MB = IC.
3. Conclure.
1. Montrer que ;AMC = ;ABC.
On sait que : Les points A,M,B,C sont inscrits dans le même cercle,
Les angles ;AMC et ;ABC interceptent le même arc ;AB
On utilise : Deux angles inscrits dans un même cercle qui interceptent le même arc
sont de même valeur.
Donc : ;AMC = ;ABC
En déduire que le triangle MAI est équilatéral :
On sait que : ABC est un triangle équilatéral donc ;AMC = ;ABC car
M
et MI = MA donc MAI triangle isocèle en M.
On utilise : Un triangle isocèle dont un angle égale 60° est équilatéral.
Donc : MAI est un triangle équilatéral.
2. A l’aide d’une rotation de centre A (à préciser), démontrer que MB = IC.
On sait que : ABC est un triangle équilatéral donc AB = AC et dans le
sens positif
et le triangle MAI est équilatéral donc AM = AI et dans le
sens positif
On utilise : La rotation de centre A, d’angle 60° dans le sens positif
Donc : MB = IC.
3. Conclusion :
On sait que : le point I du segment [MC] tel que MI = MA donc MC = MI + IC = MA
+ IC
On utilise : MB = IC
Donc : MC = MA + MB

Correction Exercice 2 :
On considère le triangle MNP rectangle en M. On trace la
hauteur de ce triangle issue de M. Elle coupe [NP] en H.
I et J sont les milieux respectifs de [MN] et [MP].
1. Montrer que les triangles MIH et MJH sont des triangles
isocèles respectivement en I et en J.
2. Montrer que la droite (IJ) est la médiatrice du segment [MH].
3. En utilisant une symétrie axiale (à préciser), montrer que les
droites (HI) et (HJ) sont perpendiculaires.
1 . Montrer que les triangles MIH et MJH sont des triangles isocèles
respectivement en I et en J.
On sait que: la hauteur du triangle MNP issue de M coupe [NP] en H donc (MH) (NP),
NHM et PHM sont des triangles rectangles en H et I et J sont les milieux
respectifs de [MN] et [MP].
On utilise : dans un triangle rectangle, la médiane issue de l’angle droit est égale à la
moitié de l’hypoténuse.
Donc : IH = IM et JH = JM,
Conclusion: les triangles MIH et MJH sont des triangles isocèles respectivement en I et en J.
2. Montrer que la droite (IJ) est la médiatrice du segment [MH].
On sait que: IH = IM et JH = JM
On utilise : Si deux points sont à égales distance des extrémités d’un segment,
alors ils appartiennent à sa médiatrice.
Donc : la droite (IJ) est la médiatrice du segment [MH].
3. En utilisant une symétrie axiale (à préciser), montrer que les droites (HI) et (HJ)
sont perpendiculaires.
On sait que: le triangle MNP rectangle en M et I et J sont les milieux respectifs de [MN]
et [MP] donc IMJ triangle rectangle en M.
De plus la droite (IJ) est la médiatrice du segment [MH].
On utilise : la symétrie axiale d’axe (IJ), les points I et J sont invariants
puisqu’ils appartiennent à l’axe.
Donc : le triangle IHJ est le symétrique du triangle IMJ par la symétrie axiale d’axe (IJ)
On utilise : une symétrie axiale conserve la forme, les angles.
Donc : le triangle IHJ est rectangle en H.
Conclusion: les droites (IH) et (JH) sont perpendiculaires.
M
P
N
H
I
J