Chapitre # 3 – Calcul vectoriel Exercices résolus 3.1 Calculer la

Chapitre # 3 – Calcul vectoriel
Exercices résolus
3.1
Calculer la distance d d’un point P à un plan défini par un point Q et un
vecteur normale n.

|P – Q|

P
d
n
Q
d
=
| P – Q | cos 
=
| P – Q | | n | cos 
|n|
=
(P – Q)  n
|n|
3.2
Considérons deux plans 1 et 2 définis comme suit :
1

n1  P = d1
2

n2  P = d2
où ni = (ni1, ni2, ni3),
i = 1, 2.
En supposant que ces deux plans ne sont pas parallèles, c’est-à-dire
| n1 x n2 |  0, déterminez la droite D d’intersection de ces 2 plans.

D
n1
n1 x n2
n2
La droite D est représentée sous la forme suivante :
D

Q +  (n1 x n2),

Pour calculer un point Q de la droite D, on peut identifier celui-ci au point
d’intersection des plans 1 et 2 ainsi que d’un troisième plan 3 non
parallèle avec 1 et 2 passant par l’origine :
3

(n1 x n2)  P = 0.
Le point Q est alors décrit comme suit :
n1
-1 d1
Q = n2
d2
n1 x n2
0
Pour expliciter davantage la forme de Q, on procède comme suit :
(n1  P) n2 = d1 n2
à l’aide des équations de 1 et 2.
(n2  P) n1 = d2 n1
(n1  P) n2 - (n2  P) n1 = d1 n2 - d2 n1
(n1 x n2 ) x P = d1 n2 - d2 n1
Posons maintenant v = n1 x n2
perpendiculaires.
grâce aux propriétés du produit vectoriel.
et P = Q +  v
où Q et v sont
D

Q
P=Q+v
v
O
on obtient alors :
v x (Q +  v) = d1 n2 - d2 n1
v x Q = d1 n2 - d2 n1
car v x v = 0
v x (v x Q) = v x (d1 n2 - d2 n1)
(v  Q) v - (v  v) Q = v x (d1 n2 - d2 n1)
car v  Q = 0
Q = v x (d1 n2 - d2 n1)
- (v  v)

Le point Q est de la forme
(n1 x n2 ) x (d1 n2 - d2 n1)
- (n1 x n2 )  (n1 x n2 )
3.3
Déterminez la plus courte distance entre deux droites D1 et D2. La droite D1
passe par les points P1 et Q1 et la droite D2 passe par les points P2 et Q2.

1er cas : D1 et D2 ne sont pas parallèles et elles appartiennent à un même plan.
D1 et D2 ne sont pas parallèles  (Q1 - P1) x (Q2 - P2)  0.
D1 et D2 appartiennent au même plan  (P2 - P1) x (Q1 – P1)  (Q2 - P2) = 0.
D1
D2
 Q1
 P1
 Q2
 P2

La distance est nulle.
2ième cas : D1 et D2 sont parallèles et elles appartiennent à un même plan.
P1

Q1

d

R

P2

Q2
Pour calculer la distance d = | R - P1 |, il s’agit de déterminer le point R. Pour
y arriver, notons d’abord les deux propriétés suivantes :

R  P2 +  (Q2 - P2)
où    car R fait partie de la droite D2

(R - P1)  (Q1 - P1) = 0
car Q1 - P1 et R - P1 sont perpendiculaires.
En combinant ces 2 relations, on obtient :

=
- (P2 - P1)  (Q1 - P1)
(Q2 – P2)  (Q1 - P1)
3ième cas : D1 et D2 n’appartiennent pas à un même plan.
On peut résoudre le problème d’optimisation sans contrainte suivant :
Min | (P1 +  (Q1 – P1)) - (P2 +  (Q2 - P2)) |2
,   
ou, plus simplement,
calculer un vecteur perpendiculaire aux vecteurs directeurs de D 1 et
D2 :
v = (Q1 – P1) x (Q2 – P2)
| (Q1 – P1) x (Q2 – P2) |
la distance minimale entre les 2 droites est égale à la projection de P2 –
P1 sur v :
d = (P2 – P1)  v.
y
 Q2
 P2

v

Q1
P1
x
D1
d
z
D2
-------------------------------------------------3.4
Considérons deux plans 1 et 2 définis comme suit :
1

n1  P = n1  P1
2

n2  P = n2  P2
où ni et Pi sont respectivement la normale et un point du plan i, i = 1, 2.
(i)
Sous quelles conditions la distance entre ces 2 plans est non nulle ?
1 et 2 sont parallèles :
| n1 x n2 | = 0,
puis, 1 et 2 ne coïncident pas :
(ii)
n1  P2  n1  P1.
Lorsque ces conditions sont respectées, quelle est la distance d entre ces 2
plans ?
d = || P1 +  n1 - P1||
où P1 +  n1  plan 2
i.e.
n2  (P1 +  n1) = n2  P2
 = [n2  (P2 - P1) ] / n2  n1.
Par conséquent,
d = || {[n2  (P2 - P1) ] / n2  n1} n1||.
ou encore,
3.5
Énumérer tous les cas où l'intersection entre les droites D1, D2 et D3 est un point
unique. Sachant que pi et qi sont des points de la droite Di, i = 1, 2, 3, alors vous
devrez indiquer la ou les condition(s) qui doivent être satisfaites dans chaque cas.
1er cas :
D1 et D2 coïncident :
||(p2 – p1) x (q1 – p1)|| = 0 et ||(q2 – p1) x (q1 – p1)|| = 0.
Pour qu’il y ait intersection en un point,
 D2 et D3 ne doivent pas être parallèles :
||(q2 – p2) x (q3 – p3)||  0
 D2 et D3 sont dans le même plan : ((q2 – p2) x (q3 – p3)) * (q2 – p2) = 0
((q2 – p2) x (q3 – p3)) * (q3 – p2) = 0
et
2ième cas :
D1 et D2 ne sont pas parallèles :
||(q2 – p2) x (q1 – p1)||  0
et sont dans le même plan :
((q2 – p2) x (q1 – p1)) * (q2 – p2) = 0
et
((q2 – p2) x (q1 – p1)) * (q1 – p2) = 0.
Soit I le point d’intersection de D1 et D2, alors I doit appartenir à D3:
||(I – p3) x (q3 – p3)|| = 0.
3.6
Concevoir une fonction booléenne qui retourne vraie si les 4 points 3D P, Q, R et S en sens
horaire forment un carré. La fonction retourne faux autrement.
(i)
P, Q, R et S sont des sommets distincts.
||P – Q||  0, ||P – R||  0,
||P – S||  0,
||Q – R||  0, ||Q – S||  0,
||R – S||  0.
(ii)
Chaque côté est de même longueur.
||P – Q|| = ||Q – R|| = ||R – S|| = ||S – P|| .
(iii)
Les 4 points font partie d’un même plan.
Déterminons d’abord le plan qui coïncide avec les points P, Q et R :
N*U=N*P
où N = (Q – P) X (R – P).
Les 4 points font partie d’un même plan si N * S est égale à N * P.
(iv)
Un carré possède 4 angles de 90°.
Cela est vérifié si les produits scalaires suivants sont nuls :
(Q - P)*(R - Q),
(R - Q)*(S - R),
(S - R)*(P - S)
et
(P - S)*(Q - P).
3.7
Concevoir une fonction booléenne qui retourne vraie si un triangle dont les sommets 3D Q, R et
S exprimés en sens horaire est intercepté (coupé) par un plan d’équation N * P = d. La fonction
retourne faux autrement.
(i)
(ii)
au moins un des sommets fait partie du plan
retourne vrai si N*Q ou N* R ou N*S est égale à d.
s’il existe deux sommets de part et d’autre du plan.
Retourne vrai si (N*Q - d)(N*R - d) < 0
Retourne faux autrement.
ou (N*R - d)(N*S - d) < 0.
3.8
Concevoir une fonction booléenne qui retourne vraie si un rayon lumineux (défini par la droite
passant par les points U et V dans l’espace 3D) intercepte un triangle non dégénéré en un point
(les sommets de ce triangle sont respectivement R, S et T dans le sens horaire). La fonction
retourne faux autrement.
Déterminons d’abord le plan qui coïncide avec ce triangle :
N*P=N*R
où N = (S – R) X (T – R).
1e cas : le rayon lumineux fait partie du plan.
Si N * U est égale à N * R et N * V est égale à N * R
alors return false.
2e cas : le rayon lumineux est parallèle au plan.
Si (V – U) * N est égale à 0 alors return false.
3 e cas : le rayon lumineux intercepte le plan en un point
Ce problème a déjà été résolu; le point d’intersection I a la forme suivante :
I
=
U+
N * R - N * U (V – U).
N * (V – U)
Il s’agit maintenant de se demander si le point I appartient au triangle ou non.
Si le signe des 3 vecteurs suivants :
(R – I) X (S – I),
(S – I) X (T – I)
et
(T – I) X (R – I)
est le même alors return true
sinon return false.
3.9
Soient n segments de droite 2D d’extrémités Pi et Qi, i = 1, 2, …, n, existe-t-il au moins 2
segments de droite qui s’interceptent ? Proposez une solution efficace pour le cas où les n
segments de droite sont sur une même droite.
Cette droite a la forme suivante : P1 +  (Q1 - P1),   .
Déterminez les couples (i, i) , i = 1, 2, …, n tels que P1 + i (Q1 - P1) = Pi et P1 + i (Q1 - P1) =
Qi.
Trier en ordre croissant les couples (i, i) , i = 1, 2, …, n en fonction des i pour obtenir les
couples ('i, 'i) , i = 1, 2, …, n.
Pour tout i = 2, 3, …, n
Si 'i ≤ 'i-1 alors il existe au moins 2 segments de droite qui s’interceptent.
Il n’existe pas de segments de droite qui s’interceptent.
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