Chapitre # 3 – Calcul vectoriel Exercices résolus 3.1 Calculer la

Chapitre # 3 – Calcul vectoriel
Exercices résolus
3.1 Calculer la distance d d’un point P à un plan défini par un point Q et un
vecteur normale n. 
P
|P – Q| 
d
n
Q
d = | P – Q | cos 
= | P – Q | | n | cos 
| n |
= (P – Q)  n
| n |
3.2 Considérons deux plans 1 et 2 définis comme suit :
1  n1  P = d1
2  n2  P = d2
où ni = (ni1, ni2, ni3), i = 1, 2.
En supposant que ces deux plans ne sont pas parallèles, c’est-à-dire
| n1 x n2 |  0, déterminez la droite D d’intersection de ces 2 plans. 

D
n1 n1 x n2
n2
La droite D est représentée sous la forme suivante :
D  Q +  (n1 x n2),   
Pour calculer un point Q de la droite D, on peut identifier celui-ci au point
d’intersection des plans 1 et 2 ainsi que d’un troisième plan 3 non
parallèle avec 1 et 2 passant par l’origine :
3  (n1 x n2)  P = 0.
Le point Q est alors décrit comme suit :
n1 -1 d1
Q = n2 d2
n1 x n2 0
Pour expliciter davantage la forme de Q, on procède comme suit :
(n1  P) n2 = d1 n2 à l’aide des équations de 1 et 2.
(n2  P) n1 = d2 n1
(n1  P) n2 - (n2  P) n1 = d1 n2 - d2 n1
(n1 x n2 ) x P = d1 n2 - d2 n1 grâce aux propriétés du produit vectoriel.
Posons maintenant v = n1 x n2 et P = Q +  v où Q et v sont
perpendiculaires.

D
 P = Q +  v
Q v
O
on obtient alors :
v x (Q +  v) = d1 n2 - d2 n1
v x Q = d1 n2 - d2 n1 car v x v = 0
v x (v x Q) = v x (d1 n2 - d2 n1)
(v  Q) v - (v  v) Q = v x (d1 n2 - d2 n1)
Q = v x (d1 n2 - d2 n1) car v  Q = 0
- (v  v)
 Le point Q est de la forme (n1 x n2 ) x (d1 n2 - d2 n1)
- (n1 x n2 )  (n1 x n2 )
3.3 Déterminez la plus courte distance entre deux droites D1 et D2. La droite D1
passe par les points P1 et Q1 et la droite D2 passe par les points P2 et Q2. 
1er cas : D1 et D2 ne sont pas parallèles et elles appartiennent à un même plan.
D1 et D2 ne sont pas parallèles  (Q1 - P1) x (Q2 - P2)  0.
D1 et D2 appartiennent au même plan  (P2 - P1) x (Q1 – P1)  (Q2 - P2) = 0.
D1 D2
 Q1
 P1  Q2
 P2
 La distance est nulle.

2ième cas : D1 et D2 sont parallèles et elles appartiennent à un même plan.
P1 Q1
d
R P2 Q2
Pour calculer la distance d = | R - P1 |, il s’agit de déterminer le point R. Pour
y arriver, notons d’abord les deux propriétés suivantes :
 R  P2 +  (Q2 - P2) où    car R fait partie de la droite D2
 (R - P1)  (Q1 - P1) = 0 car Q1 - P1 et R - P1 sont perpendiculaires.
En combinant ces 2 relations, on obtient :
 = - (P2 - P1)  (Q1 - P1)
(Q2 – P2)  (Q1 - P1)
3ième cas : D1 et D2 n’appartiennent pas à un même plan.
On peut résoudre le problème d’optimisation sans contrainte suivant :
Min | (P1 +  (Q1 – P1)) - (P2 +  (Q2 - P2)) |2
,   
ou, plus simplement,
calculer un vecteur perpendiculaire aux vecteurs directeurs de D1 et
D2 : v = (Q1 – P1) x (Q2 – P2)
| (Q1 – P1) x (Q2 – P2) |
la distance minimale entre les 2 droites est égale à la projection de P2 –
P1 sur v : d = (P2 – P1)  v.

y
 Q2
 P2
  x D1
v P1 Q1
d
z D2
--------------------------------------------------
3.4
Considérons deux plans 1 et 2 définis comme suit :
1  n1  P = n1  P1
2  n2  P = n2  P2
où ni et Pi sont respectivement la normale et un point du plan i, i = 1, 2.
(i) Sous quelles conditions la distance entre ces 2 plans est non nulle ?
1 et 2 sont parallèles : | n1 x n2 | = 0,
puis, 1 et 2 ne coïncident pas : n1  P2  n1  P1.
(ii) Lorsque ces conditions sont respectées, quelle est la distance d entre ces 2
plans ?
d = || P1 +  n1 - P1|| où P1 +  n1  plan 2
i.e.
n2  (P1 +  n1) = n2  P2 ou encore,
 = [n2  (P2 - P1) ] / n2  n1.
Par conséquent,
d = || {[n2  (P2 - P1) ] / n2  n1} n1||.