Exercices – Chap 10 – Oscillations libres dans un circuit

Exercices – Chap 10 – Oscillations libres dans un circuit RLC
ex 6 p 185
a) T = 2 π . √¯(L . C)
b) u = L.di/dt ; [L] = U.T/ I ; q = C.uC ; i = dq/dt ; [C] = I .T / U;
[LC] = (U.T.I).(I .T / U) = T2
[2 π √¯(L . C)] = [L.C]1/2 = T ; la pseudo-période T est bien homogène à un
temps
ex 7 p185
1) Les tensions uL et uR sont fléchées dans le sens respectant la
convention récepteur , u et i de sens contraire.
Loi d'additivité des tensions : uL = - uC (1)
2) uL = L.di/dt
3) q = C.uC ; i = dq /dt ; i = C.duC/dt
4) (1) L.di/dt = - uC ⇒ L.C.d2uC/dt2 = - uC
5) a) uC = a.cos( Ω0.t + b ) ; duC/dt = - ω0.a.sin( ω0.t + b )
2
2
d uC/dt = - ω02.a.cos( ω0.t + b )
- ω02.a.L.C.cos( ω0.t + b ) = - a.cos( ω0.t + b )
⇒ ω02 = 1 / LC ⇒ ω0 = 1 /√¯(L . C)
b) A t = 0 s , uC = a.cos b = E = uC max = a ⇒ b = 0 et a = E = 6,0 V
c) uC = E.cos( ω0.t ) avec ω0 = 1 /√¯(L . C)
ex 8 p 185
a) schéma
b) i = dq/dt ; q = C.uC ⇒ i = C.duC/dt
c) duC/dt = - ω0.E.sin(ω0.t) ⇒ i = -ω0.C.E.sin(ω0.t)
d) A la date t = 0 s, la bobine s'oppose au variation du courant, i
est minimale.
On retrouve ce résultat avec l'expression de i.
ex 9 p 186
a) uC = Um.cos( ω0.t) ; i = dq/dt = C.duC/dt = - C.ω0.Um.sin(ω0.t)
b) T0 = 2 π / ω0
c)
t
0
T0 / 4
T0 / 2
3 T0 / 4
T0
5 T0 / 4
i
0
0
C.ω0.Um
0
C.ω0.Um
C.ω0.Um
uC
Um
0
- Um
0
Um
0
stockage condensateur bobine condensateur bobine condensateur bobine
d'énergie
d)
ex 10 p 186
a) a) L'amortissement est du à des pertes d'énergie par effet joule dans le
conducteur ohmique, la bobine peut aussi avoir une résistance interne, dans
ce cas, elle consomme aussi de l'énergie.
On peut diminuer cet amortissement en limitant les valeurs de résistance des
composants cités.
b) b) Si on peut augmente trop l'amortissement, il n'y a plus d'oscillations , le
régime est apériodique
c) c) Les oscillateurs C et D correspondent à la courbe n°1, il n'y a pas
d'amortissement.
L'oscillateur A correspond à la courbe 3, le régime permanent n'est pas
encore atteint.
L'oscillateur B correspond à la courbe 2, il y a amortissement des
oscillations.
ex 11 p 186
a) Sur la courbe , la pseudo-période peut se
déterminer entre 2 passages de la courbe par
0 dans le même sens de variation.
T ≈ 1,4 ms.
b) T = 2 π √¯(L . C) ; T2 = 4 π2.L.C
C = T2 /(4 π2.L) = (1,4.10-3)2 / (4 x (3,14)2 x
44.10-3) = 1,1.10-6 F = 1,1 μF
c) La pseudo-période ne change pas, mais
l'amplitude du signal décroît plus vite
d) Si C' = C / 4 , T ' = T / 2, mais l'amortissement est le même.
ex 12 p 187
I ) a) On ferme d'abord l'interrupteur K1 pour charger le condensateur.
b) La grandeur visualisée montre des oscillations amorties, elle correspond donc
à la tension uC du condensateur.
c) Le circuit est le siège de la décharge avec oscillations libres amorties.
d) La pseudo-période T a une valeur de 3,1 div , soit 0,31 ms.
e) En considérant que le bord gauche de l'écran représente l'instant initial.
A t = 0 s, uC = kV.NV = 2 x 3 = 6 V. EC 0 = ½ C.uC2 = ½ 0,3.10-6 x 62 = 5,4.10-6 J
A t = 2T , uC = kV.NV = 2 x 1,8 = 3,6 V
EC 2T = ½ C.uC2 = ½ 0,3.10-6 x 3,62 = 1,9.10-6 J
ΔEC = (1,9 – 5,4).10-6 = -3,46.10-6 J Cette énergie est libérée sous forme de
chaleur.
II ) 1) Pour compenser les pertes dues au conducteur ohmique , il faut que R0 =
R = 13 Ω
2) a) La pseudo-période T a une valeur de 6,6 div , soit 3,3.10-4 s.
T = 2 π √¯(L . C); L = T 2 / (4 π2 C) =
(3,3.10-4)2 / ( 4 x 3,142 x 0,3.10-6) = 9,2.10-3 H = 9,2 mH
b) Si R0 < R , les oscillations seraient un peu amorties au cours du temps. La
pseudo-période T se changerait pas et l'amplitude des oscillations diminue.
ex 13 p 187
1) T0 , pseudo-période est la durée séparant deux dates successives où la
tension aux bornes du condensateur est maximale.
La réponse 1 est fausse car la tension maximale diminue au c ours du temps. La
réponse 3 ne convient pas car la tension passe par 0 au bout de T/ 2.
2) L'amortissement des oscillations dépend de la valeur de R, car il est du à la
perte d'énergie par effet joule dans le conducteur ohmique.
3) A la date t = 0 s, l'énergie est entièrement stockée dans le condensateur.
4) a) uC = E.cos (ω0.t)
b) R ≈ 0 Ω . Le circuit se résume donc à un circuit série constitué d'un
condensateur et d'une bobine .
La loi des tensions donne : uL = - uC (1) ; uL = L.di/dt ; q = C.uC ;
i = dq/dt = C.duC/dt
(1) L.C.duC/dt + uC = 0
ex 14 p 187
I ) 1) La voie 1 visualise la tension uC
2) La voie 2 visualise la tension – uR (ou –R.i)
II ) 1) uC = - uL ⇒ q / C + L.di/dt = 0 ⇒ q + L.C.d2q/dt2 = 0
2) T0 = 2 π √¯(L . C)
III ) 1) T01 = T03 = 2 π (1,0 x 4,0.10-6)-1/2 = 12,6 ms ;
T02 = 2 π (0,2 x 4,0.10-6)-1/2 = 5,62 ms
2) Ta = 14 ms , Tb = 14 ms , Tc = 7 ms
3) D'après les valeurs de pseudo-période, l'expérience E2 correspond au
graphique c.
Pour distinguer les 2 autres expériences, il faut comparer les valeurs de R, pour
la plus grande valeur R, l'amortissement sera plus important, cela correspond au
graphique b et à l'expérience E1.
Le graphique a correspond donc à l'expérience E3 .
IV ) 1) EC = ½ C.uC2 et EL = ½ L.i2
La courbe 1 est la somme des deux autres, elle représente l'énergie totale.
La valeur de la courbe 3 est maximale à t = 0s, il s'agit donc de EC car à cet
instant, le condensateur est complètement chargé, alors que i = 0 A, EL = 0 J
(courbe 2).
2) L'énergie totale est décroissante car il y a des pertes par effet joule dans le
conducteur ohmique.
3) A t = 0 s , ET = EC = 40 μJ . A t = 10 ms , ET = EL = 12,5 μJ. ΔET = 27,5 μJ
ex 15 p 188
I ) 1) T0 = 2 π √¯(L . C)
2) a) u = L.di/dt ; [L] = U.T/ I ; q = C.uC ; i = dq/dt ; [C] = I .T / U;
[LC] = (U.T.I).(I .T / U) = T2
[2 π √¯(L . C)] = [L.C]1/2 = T ; la pseudo-période T0 est bien homogène à un
temps.
b) T0 = 2 x 3,14 x (40,0.10-3 x 3,29.10-6) –1 / 2 = 2,28 ms
II ) 1) Les oscillations sont dits pseudo-périodiques car la valeur maximale
décroît en fonction du temps, il y a amortissement des oscillations.
2) Sur la durée enregistrées, il y a 6,25 pseudo-périodes :
T = 14,2 / 6,25 = 2,27 ms
3) a) f = 1 / T = 1/ 2,27.10-3 = 440 Hz. La note est donc un La3
b) f ' = 880 Hz = 2 f ⇒ 1/ T ' = 2 / T ⇒ T ' = T / 2= 2 π √¯(L . C / 4)
⇒ C'=C/4
Il faut donc diviser la capacité par 4 pour obtenir le La4 .
c) uAB(t3) = 0,775 uAB(t2) = 0,27 uAB(t2)
Graphiquement , uAB(t2) = - 3,7 V et uAB(t3) = -1 . uAB(t3) / uAB(t2) = 0,27
d) t / T = 40/ 2,27 = 17,6. uAB(t2+ 17T) / uAB(t2) = 0,7717 =
0,012 ( 0,7718 = 0,009)
Après 0,04s, l'amplitude des oscillations est donc inférieure à 1 %.
III ) 1) A l'instant t1 , uAB = 0 V, q = 0 C, le condensateur est déchargé, c'est dans
la bobine que l'énergie est stockée.
2) A l'instant t2 , uAB = - 3,7 V , le condensateur est chargé, il stocke l'énergie.
3) L'énergie de l'oscillateur diminue au cours du temps, il y a des pertes par effet
joule.
ex 16 p 189
1) Dipôle RL a) uAB = E b) Loi des tensions : E = R.i1 + L.di1/dt
c) Cette réponse n'est pas à connaître mais à retrouver dans le cours :
i1 = E/R (1 - e – R.T / L )
2) Dipôle RC
a) uCB = E
b) Loi des tensions :
E = R.i2 + q / C = R.dq/dt + q / C
– t / RC
c) q = E/R ( 1 – e
) , i2 = dq / dt = C.E.e- t / RC
d) EC = C.uC2 = C.E2
3)
a) C'est le condensateur qui impose le sens du courant dans le sens inverse de i2
b) Loi des tensions : uC + R.i = - R.i – uL ,q / C + 2 R.dq/dt + L.d2q/dt2 = 0
c) si R ≈ 0 Ω , q + L.C.d2q/dt2 = 0
solution : q = a.cos (√¯(L . C).t) = q0.cos (√¯(L . C).t)