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Joel Carrasco lycée M.Pagnol Marseille - Daniel Paireau lycée MM.Fourcade Gardanne
PHYSIQUE CHIMIE TS PROGRAMME 2002
Enseignement de spécialité. Partie B- Produire des sons, écouter.
LES ONDES STATIONNAIRES
A ETUDE THEORIQUE :
1a-l’équation d’onde :
D’un point de vue modélisation, les phénomènes ondulatoires sont décrits par une fonction qui peut-être scalaire
(ébranlement le long d’une corde vibrante, pression acoustique associée à l’onde sonore) ou vectorielle (champ
électromagnétique).
Dans le cadre du programme de terminale, la fonction F sera uniquement scalaire et les phénomènes étudiés seront tels que
l’on pourra se ramener à une seule dimension dans l’espace. L’équation d’onde ou de d’Alembert s’écrit :
0
tF
2
1
F222
2
vx 
1b-l’onde stationnaire :
Une onde stationnaire est une onde pour laquelle les variables temporelle et spatiales sont découplées. La solution de
l’équation d’onde s’exprime sous la forme du produit de deux fonctions : l’une ne dépendant que de la variable temps et
l’autre que des variables spatiales.
(t)f(x)ft)F(x, 21 
On montre par le calcul que l’onde stationnaire est décrite par la fonction suivante :
T
t
T
A  vavec)2.
2
sin()1x
2
sin(t)F(x,
Pour une telle onde, la notion de propagation selon l’axe (Ox) disparaît.
T est la période temporelle, est la période spatiale appelée longueur d’onde, et v est la vitesse de phase de l’onde.
On peut relever l’existence de points particuliers :
-les nœuds qui sont les points pour lesquels l’amplitude de la vibration est nulle.
-les ventres qui sont les points pour lesquels l’amplitude de la vibration est maximale.
1c-production d’ondes stationnaires :
Les ondes stationnaires peuvent être produites dans le cadre d’une expérience par réflexion d’une onde progressive sur un
obstacle.
Considérons une onde progressive F1(x, t) se déplaçant dans le sens des x décroissants et subissant une réflexion en x=0.
)
2
x
2
cos(t)(x,1F t
T
A
Il apparaît alors une onde réfléchie F2(x, t), de même fréquence et se déplaçant dans le sens des x croissants.
)t
Tπ2
x
λ
π2
cos(At)2(x,F
L’onde résultante FS est la superposition des deux ondes progressives F1 et F2 : FS = F1 + F2 .
1° cas :
vibrationdeventreunest0x:0si,t).
Tπ2
cos(x)
λ
π2
cos(A2t)(x,FS

2°cas :
vibrationdenoeudunest0x:πsi,t).
Tπ2
sin(x)
λ
π2
sin(A2t)(x,FS
L’essentiel des activités expérimentales du programme de terminale étant centré sur les cordes vibrantes et les ondes
acoustiques dans les tuyaux, nous allons maintenant nous intéresser à ces deux cas.
1d-étude d’une corde vibrante :
Soit une corde de longueur L, de masse linéique  sur laquelle est exercée une tension T. Cette corde initialement au repos
est alignée selon un axe (Ox) .
hypothèses :
-le rôle du poids est négligé vis à vis des autres forces.
-l’ébranlement de la corde est assez faible en amplitude pour que la tangente à la corde fasse un angle petit avec l’axe (Ox).
-la raideur de la corde est nulle : les tensions exercées de part et d’autre d’un élément de la corde seront tangentes à la corde.
Appliquant la deuxième loi de Newton à un élément de la corde, on obtient l’équation à laquelle obéit l’ébranlement z(x,t) :
0
t
12
2
22
2
vx 
z
z
: il s’agit de l’équation de d’Alembert à une dimension.
La vitesse de propagation de l’ébranlement le long de la corde est égal à :
μ
T
v
Considérons la corde fixée à ses deux extrémités et mise en mouvement par un dispositif imposant une fréquence f.
Les conditions aux limites imposées sont : z(x=0 , t)=0 et z(x=L , t)=0) : les deux extrémités de la corde sont des nœuds de
vibration.
L’existence d’une onde stationnaire dans ces conditions implique que la fréquence soit un multiple d’une fréquence
particulière f0 :
L2v
favecf.nf 00 
Ces pulsations caractérisent les modes stationnaires ou propres de la corde.
La longueur de la corde doit être égale à un nombre entier de demi-longueurs d’onde :
2
λ
nL 
1e-étude d’un tuyau sonore :
On considère une onde acoustique se déplaçant à l’intérieur d’un tuyau empli d’un fluide (air, eau…) et dont les génératrices
sont parallèles à un axe (Ox). Cette onde est caractérisée par une petite modification de la pression à l’intérieur du tuyau,
appelée pression acoustique p(x,t), par rapport à la pression atmosphérique P0 : p(x,t) = P(x,t)-P0, où P(x,t) est la pression à
l’intérieur du tuyau lors du passage de l’onde acoustique.
hypothèses:
-la variation relative de pression lors du passage de l’onde acoustique est très faible : p(x,t)<<P0
-les temps caractéristiques associés aux échanges de chaleur sont très inférieurs à ceux associés aux modifications de
pression : les transformations associées au passage de l’onde acoustique sont quasi-statiques adiabatiques.
conséquences :
-la masse volumique du fluide est constante.
-le coefficient de compressibilité adiabatique a est constant :
eadiabatiqua P
V
V)(
1
L’établissement de l’équation régissant la pression acoustique se fait en considérant le déplacement d’ensemble des
molécules du fluide noté u(x,t) sous l’effet du passage de l’onde acoustique. L’application de la seconde loi de Newton à une
tranche de fluide permet d’établir l’équation portant sur le déplacement :
0
t
12
2
22
2
vx 
u
u

La pression acoustique est donnée par la relation :
xt)u(x, Χa
1
t)p(x, 
On montre que l’équation régissant la pression est la même équation d’onde :
0
t
12
2
22
2
vx 
pp
La vitesse de propagation de l’onde sonore est égale à :
M
γRT
Χ.ρ
1
v
a
: pour l’air à 20°c, on trouve 343m.s-1
Si un système d’onde stationnaire s’établit dans le tuyau, la relation entre la pression et le déplacement montre que les nœuds
de pression sont des ventres de déplacement et les ventres de pression sont des nœuds de déplacement.
1°cas : le tuyau est ouvert aux deux extrémités
Aux deux extrémités la pression acoustique est nulle car
la pression est égale à la pression atmosphérique P0 : ce
sont des nœuds de pression (et donc des ventres de
déplacement).
La longueur L du tuyau est un multiple de la demi-
longueur d’onde  de l’onde sonore :
2
λ
nL 
.
2°cas : le tuyau est fermé à une des extrémités
x=0 : nœud de pression acoustique, ventre de
déplacement.
x=L : ventre de pression acoustique, nœud de
déplacement.
La longueur L du tuyau est un multiple impair du quart
de longueur d’onde  de l’onde sonore :
2
λ
)
2
1
(nL
haut-parleur
micro
0 L
oscilloscope
tuyau
haut-parleur
micro 0L
oscilloscope
tuyau

B EXPERIENCES et ACTIVITES:
BA Corde tendue entre deux points fixes:
1) Montage:
a) Schéma:
b) Matériel:
Corde à piano: fil d'acier de diamètre calibré (en vente en grande surface de bricolage, 10m pour 6€)
GBF avec sortie amplifiée - Aimant ticonal en fer à cheval (donné pour 5mT) - Fréquencemètre - Stroboscope - Ampèremètre -
Oscilloscope - Masses marquées (0,5 à 2kg) - Supports-statifs (4) - Noix et pinces - Poulie - ficelle - mètre à ruban (3m).
2) Réglages:
L'intensité efficace est de 1A (0,7A pour le fil de 0,2mm). L'ampli débite sur une impédance très faible, celle du fil d'acier,
l'oscilloscope permet de contrôler que le signal reste sinusoïdal.
Toute la longueur d'une paillasse est utile pour tendre le fil sur 2,00m, veiller à bien immobiliser les supports fixes aux deux
extrémités.
Une tige fixée sur un support mobile permet de faire varier la longueur utile de fil.
L'aimant est maintenu par la pince d'un support mobile; il est placé là où un ventre de vibration doit se former.
Les résonances sont aiguës: prévoir les fréquences à afficher.
Le fil doit être bien rectiligne, sans plis, pour éviter la superposition de différents modes.
3) Réalisation et observations:
Ce dispositif permet à la fois d'observer les différents modes de vibration caractérisés par le nombre de fuseaux n pour une corde
donnée et l'influence des paramètre pertinents: longueur L, tension due à la masse accrochée m et masse linéique de la corde  ou
plutôt ici son diamètre D.
La plus grande fréquence des éclairs du stroboscope qui donne l'immobilité apparente de la corde est la fréquence de vibration. Le
ralenti stroboscopique permet d'identifier les noeuds et ventres de déplacement, respectivement ventres et noeuds de torsion.
Pour le mode fondamental les ventres ont environ 3cm "d'épaisseur".
4) Résultats:
a) Modes de vibration:
fil de diamètre D= 0,50mm - masse m = 1,00kg - longueur L = 2,00m
L'aimant est placé à une distance d d'une extrémité telle que d = L.(2k+1)/2n (avec k<n) pour être sur un ventre.
corde
oscilloscope
aimant
fréquencemètre
GBF
A
masse

nombre de fuseaux 1 2 3 4 5 6
fréquence (Hz) 20 41 61 81 102 123
éclairs/min 1200 2440 3660 4880 6135
d(cm) 100 50 100 75 100 83
modes de vibration
0
20
40
60
80
100
120
140
0 5 10
f (Hz)
n
Série1
b) Influence de la tension donc de la masse suspendue:
D = 0,5mm - L = 2,00m - mode fondamental n =1
masse m
(kg)
0,5
1
1,5
2
f (Hz)
15
21
26
29
éclairs/mi
n
888
1237
149
8
171
8
vm (vkg)
0,71
1
1,22
1,41
c) Influence de la longueur:
D = 0,5mm - m = 1,00kg - n =1
L(m)
2
1,6
1,4
1,2
1
0,8
f (Hz)
21
26
30
36
42
52
1/L (m-1)
0,5
0,625
0,74
0,833
1
1,25