CHAPITRE 2 TRIANGLE ET CERCLE CIRCONSCRIT. I- Inégalité triangulaire. a) Distance entre trois points. On considère trois points A, B et C. Si le point C n’appartient pas au segment [AB] , alors on a l’inégalité : AB < AC + BC. On considère trois points A, B et C. Si le point C appartient au segment [AB], alors on a l’égalité : AB = AC + BC. b) Inégalité triangulaire. Soient trois points distincts A, B et C. Si on a : AB + AC > BC AC + BC > AB AB + BC > AC Alors le triangle ABC est constructible et non plat. Exemples : AB = 7 cm ; AC = 8 cm et BC = 13 cm. Ce triangle est constructible car 8 + 7 > 13 ; 7 + 13 > 8 ; 8 + 13 > 7 ! AB = 16 cm ; AC = 5 cm ; BC = 7 cm. Ce triangle n’est pas constructible car 7 + 5 < 16 ! AB = 4 cm ; AC = 5 cm ; BC = 9 cm. Ce triangle existe mais il est plat car 4 + 5 = 9 ! Définition : Quand il y a une égalité, on dit que le triangle est plat. Les trois sommets sont alignés. 1 Méthode : Afin d’éviter de vérifier les trois inégalités, on prend les deux plus petits côtés et on les additionne. Le résultat doit être supérieur à la mesure du plus grand des côtés. Je reprends le premier exemple : AB = 7 cm ; AC = 8 cm et BC = 13 cm. Il me suffit de faire 8 + 7 > 13 et je sais que le triangle est constructible ! La somme des deux plus petits côtés est supérieure au plus grand côté. II- Construction de triangles particuliers a) On me donne trois côtés. A chaque construction, je commence par vérifier l’inégalité triangulaire ! Par exemple, je veux construire le triangle ABC tel que : AB = 6 cm ; AC = 7 cm ; BC = 12 cm. (6 + 7 > 12, le triangle est constructible) 1- Je commence par tracer le plus grand des côtés au milieu de ma page. BC = 12 cm. 2- Je prends mon compas et je mesure 6 cm. Je le pointe en B et je trace un arc de cercle. 3- Je mesure maintenant 7 cm et je pointe mon compas en C. Je trace un arc de cercle. 4- L’intersection des deux arcs de cercle me donne mon point A. Règle :Plus grand côté. Compas : je le pointe sur un point et je trace un arc de cercle. Je change de point et je trace un autre arc de cercle. 2 b) On me donne deux côtés et un angle. Je veux construire le triangle ABC tel que : AB = 5 cm ; AC = 6 cm et BAC = 55°. 1- Je prends ma règle et je trace le plus grands des côtés. AC = 6 cm. 2- Je prends mon rapporteur et je le place sur le sommet A. Je trace l’angle de mesure 55° et de sommet A. On me donne BAC donc le sommet est A. 3- Je prends mon compas et je mesure 5 cm. 4- Je le pointe sur A et je trace un arc de cercle qui coupe le deuxième côté de mon angle. 5- J’obtiens le point B. Règle : je trace le plus grand des côtés. Rapporteur : je trace l’angle. Je fais très attention au sommet !!! Compas : arc de cercle avec la deuxième mesure donnée. Je fais attention où je le pointe ! 3 c) On me donne deux angles et un côté. Je veux construire le triangle ABC tel que : AB = 8 cm ; ABC = 60° ; BAC = 45°. 1- Je prends ma règle et je trace AB = 8 cm. 2- Je prends mon rappporteur, je le place sur B. Je mesure l’angle de 60° de sommet B. 3- Je change de sommet. Je prends A. Je mesure l’angle de 45° et de sommet A. 4- L’intersection des deux côtés me donne le point C. Règle : je trace le côté donné. Rapporteur : je repère un sommet d’angle et je le trace. Rapporteur : je change de sommet et je trace l’autre angle. 4 III- Somme des angles dans un triangle. Dans un triangle la somme des angles fait 180°. Cette propriété est très souvent utilisée : en 5°, 4° et 3° !!!!! IV- Médiatrice et cercle circonscrit. a. Médiatrice. Définition : La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire au segment, passant par le milieu du segment. Utilisation de la définition : Quand un exercice me dit que j’ai une médiatrice, je peux en conclure que j’ai des droites perpendiculaires et un milieu. Propriété : Si un point appartient à la médiatrice d’un segment alors il est équidistant des extrémités du segment. Utilisation de la propriété : Cette propriété me permet de dire que j’ai des triangles isocèles. Réciproque de la propriété : Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors il appartient à la médiatrice du segment. Utilisation de la réciproque : Cette réciproque me permet de construire la médiatrice grâce au compas. 5 b. Cercle circonscrit. Dans un triangle les trois médiatrices sont concourantes. Leur point d’intersection est appelé : centre du cercle circonscrit. Il permet de construire un cercle passant par les trois sommets du triangle. METHODE : Pour construire le cercle circonscrit d’un triangle il suffit de construire uniquement deux médiatrices. V- Hauteurs. Définition : Dans un triangle, une hauteur est une droite passant par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé. Propriété : Dans un triangle, les trois hauteurs sont concourantes en un point appelé l’orthocentre du triangle. Figure : ATTENTION les hauteurs et l’orthocentre peuvent sortir du triangle ! VI- Médianes. 6 Définition : Dans un triangle, une médiane est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé. Propriété : Dans un triangle, les trois médianes sont concourantes en un point appelé centre de gravité du triangle. Figures : Les médianes d’un triangle se coupent obligatoirement dans le triangle, c’est pourquoi dans beaucoup de livres seul le segment est tracé et non la droite. VII- Les triangles particuliers. 7 a. Triangle équilatéral. Dans un triangle équilatéral les trois angles sont de même mesure. ˆ B ˆ. ˆ C On a donc : A Mais comme la somme des angles fait 180° on obtient : Dans un triangle équilatéral les trois angles mesurent ____________. b. Triangle isocèle. Dans un triangle isocèle les angles de base sont égaux. Cette propriété va souvent être utilisée pour calculer les mesures des angles d’un triangle isocèle. Exemple : On me donne ABC isocèle en A et l’angle  = 35°. Déterminer les angles B̂ et Ĉ . c. Triangle rectangle. 8 Rappel : le plus grand côté d’un triangle rectangle est appelé ___________. Le centre du cercle circonscrit d’un triangle ___________________________ ___________________________________________ 9