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Terminales S
Compléments québécois
Corrigé du test N°1
Durée: 2 h
Jeudi 20 novembre 2008
L'usage d'une calculatrice et de tout autre document est interdit.
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1. Étudier la convergence des séries numériques suivantes:
a)
23
3
1
n
n
ne
. Cette série est une série à termes réels positifs divergente car son terme général un = exp(
Error!
) ne tend pas vers zéro quand n tend vers + .
En effet , un= f(n) avec f(x)= exp (
Error!
) ,
Error!
(
Error!
)= 2 et
Error!
exp(x) = exp 2 .Par
composition x +;limf(x) = exp(2).
On en déduit que n +;lim un = exp(2).
b)
4
0
²1
²1
n
nn
nn
Le terme général de cette série, un a la forme du quotient de deux polynômes ,P et Q de
degrés respectifs 2 et 4 : un =
Error!
.
D’après le test du polynôme la série converge si et seulement si le degré de Q est strictement supérieur à ( degré
de P + 1 ).
Ici degré de P = 2 et degré de Q = 4. la série est donc convergente.
d)
0
2
2n
n
n
Cette série est une série à termes réels positifs dont le terme général un est égal à
Error!
.
Pour conclure à la convergence ou à la divergence de cette série, appliquons le test de D’Alembert.
Error!
=
Error!
.
Error!
Error!
=
Error!
.Comme
Error!
< 1 , on en conclut que la série est
convergente.
e)
0
3
²3
n
n
n
n
Cette série est une série à termes réels positifs dont le terme général un est égal à (
Error!
)
Error!
.
Pour conclure à la convergence ou à la divergence de cette série, appliquons le test de la racine ne de Cauchy.
n;un =
Error!
et
Error!Error!
=
Error!Error!
=
Error!
Error!
= 0 et 0 < 1 , donc la série est une
série convergente.
f)
1
sin 2
!
n
n
n
Pour tout n  N , -1 sin n  1 ; on en déduit que pour tout n  N , 1Â2 – sin n  3
et par suite : 0<
Error!
Â
Error!
La série de terme général
Error!
est une série à termes réels positifs convergente (il suffirait de lui appliquer
le test de D’Alembert : n + ;lim. (
Error!
×
Error!
) = 0 < 1
La série de terme général
Error!
est une série à termes réels positifs convergente selon le test de
comparaison.
Error!
= -
Error!
. Si la série de terme général un est une série convergente alors la série de terme général k
un est elle-même convergente, où k est une constants quelconque.

En appliquant ce résultat avec k = - 1 , on en conclut que la série de terme général
Error!
est convergente.
g)
0
1
( 1) ²1
n
n
n
n
C’est une série alternée dont le terme général est de la forme (-1)n un , avec un =
Error!
.
Considérons la série des valeurs absolues. .Cette série de terme général
Error!
est une série divergente
selon le test du polynôme.
Considérons maintenant la série alternée . Pour vérifier si les termes un vont en décroissant ,
étudions la fonction f définie sur R+ par f(x) =
Error!
.
La dérivée f ‘(x)=
Error!
est négative sur [1; +  [ : les termes un vont en décroissant pour n à 1. de
plus , n  + ;lim un = n  + ;lim
Error!
= 0 .
Donc la série converge d’après le théorème de Leibniz.
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2. La série numérique
0
sin 1
n
n
est-elle convergente ou divergente ?Justifier votre réponse et, en cas de
convergence, calculer la somme de cette série
Il s’agit ici d’une série géométrique dont le terme général un = sin 1 appartient à l’intervalle ]0,1[.
En effet , 1  ]0;
Error!
[donc son sinus appartient à l’intervalle ]0,1[.
Nous savons qu’une série géométrique, dont le terme général un = qn vérifie :-1<q<1, est une série convergente
dont la somme S =
Error!
.
La somme de cette série est donc égale à S =
Error!
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3. Déterminer l'intervalle de convergence des séries suivantes:
a)
3
03
n
n
x
n
Soit un le terme général de cette série, un = n3 (
Error!
)
Error!
=
Error!
× x
Error!
= a n x
Error!
. C’est
une série entière en x . Déterminons son intervalle de convergence.
n  +  ;lim |
Error!
| =
Error!
(
Error!
)
Error!
× 3 = 3 .
La série converge lorsque |x| < 3 , c’est-à-dire lorsque - 3 < x < 3 . La série diverge pour x < - 3 ou x > 3.
Pour x =- 3 , la série devient
0
3
)1(
n
nn
Cette série diverge puisque son terme général ne tend pas vers
zéro.
Pour x = 3 , la série devient
0
3
nn
Cette série diverge puisque son terme général ne tend pas vers zéro.
L’intervalle de convergence est l’intervalle ] -3 ; 3 [
b)
0
1( 1)
²1 n
n
nx
n

Posons y = x – 1 .Soit un le terme général de cette série, un =
Error!
y
Error!
= a n y
Error!
. C’est une
série entière en y . Déterminons son intervalle de convergence.
n  +  ;lim |
Error!
| =
Error!
|
Error!
×
Error!
| =
Error!
Error!
= 1 .
La série converge lorsque |y | < 1 , c’est-à-dire lorsque - 1 < x -1 < 1, c’est-à-dire lorsque 0 < x < 2 . La
série diverge pour x < 0 ou x > 2.
Pour x = 0 , la série devient
021
1
)1(
n
nn
n
. Nous retrouvons la série du 1) g) qui est convergente Pour x
= 0 , la série devient
Pour x = 2 , la série devient
021
1
nn
n
qui est une série divergente selon le test du polynôme .
L’intervalle de convergence est l’intervalle [ 0 ; 2 [
c)
2
0
( 1)
2
nn
n
n
x
. Posons y = x2 . Le terme général de la série s’écrit alors :
Error!
= an y
Error!
.
C’est une série entière en y .
n  +  ;lim |
Error!
| =
Error!Error!
= 2 . La série converge lorsque |y | < 2 , c’est-à-dire lorsque -
2 < x2 < 2 c’est-à-dire lorsque - 2 < x < 2 .
La série diverge pour x < - 2 ou x > 2
Pour x = - 2 ou x = - 2 , la série devient :
0)1( n
n
. Le terme général de cette série ne tend pas vers
zéro donc cette série numérique est divergente.
L’intervalle de convergence est l’intervalle ] - 2 ; 2 [.
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3. Développer en série entières la fonction f définie par f(x) =
Error!
et préciser l'intervalle de validité de ce
développement.
f(x) =
Error!
=
Error!
×
Error!
.
Nous savons que pour -1 <
Error!
< 1 , c’est-à-dire -2 < x < 2 ,
Error!
= 1 +
Error!
+ (
Error!
)
2 + …………+ (
Error!
)
Error!
+ ……..
Donc par produit pour -2 < x < 2 , f(x) =
Error!
=
Error!
×( 1 +
Error!
+ (
Error!
)
Error!
+
…………+ (
Error!
)
Error!
+ …….. ) =
Error!
+
Error!
+
Error!
+ ……….+
Error!
+………
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5. La fonction f est définie sur ]-3 ; +[ par: f(x) = Arctan
Error!
.
a) Calculer les limites de la fonction f en -3 et en +.
Nous savons que x  - ;limarctanx = -
Error!
et que
Error!
arctanx =
Error!
.
x  -3+;lim
Error!
= -  , donc par composition
Error!
f(x) = -
Error!
x  + ;lim
Error!
= 1 , donc par composition
Error!
f(x) =
Error!
b) Calculer la dérivée de la fonction f sur ]-3 : +[. En déduire le sens de variation de cette fonction.

La fonction f est de la forme arctan o u , avec u(x) =
Error!
.
D’après le théorème sur la dérivation d’une fonction composée , f ‘ (x) =
Error!
× u’(x) =
Error!
avec x
 ] -3; +  [.
Pour tout x  ] -3; +  [, f ' (x) > 0 donc f est une fonction strictement croissante sur l’intervalle ] -3; +  [.
c) Soit a = f(9). Trouver les nombres: tan a, sin a, cos a, sec a, csc a, cot a.
a = f(9) = arctan
Error!
. On en déduit quea  ] 0;
Error!
[, tan a =
Error!
et cot a =
Error!
.
Considérons
le triangle
rectangle
tracé ci-
contre.
Appelons x la
mesure de
l’hypoténuse
dans ce
triangle.
Selon le théorème de Pythagore, x = 13
sina =
Error!
, cosa =
Error!
, seca =
Error!
csca =
Error!