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Terminales S
Compléments québécois
Corrigé du test N°1
Durée: 2 h
Jeudi 20 novembre 2008
L'usage d'une calculatrice et de tout autre document est interdit.
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1.
Étudier la convergence des séries numériques suivantes:
2n 3

a)
 e n 3 . Cette série est une série à termes réels positifs divergente car son terme général un = exp(
n 1
Error!) ne tend pas vers zéro quand n tend vers + .
En effet , un= f(n) avec f(x)= exp ( Error! ) , Error!(Error!)= 2 et Error!exp(x) = exp 2 .Par
composition
;limf(x) = exp(2).
x +
On en déduit que
;lim un = exp(2).
n +
n²  n  1
Le terme général de cette série, un a la forme du quotient de deux polynômes ,P et Q de
4
 n²  1
n 0
degrés respectifs 2 et 4 : un = Error!.
D’après le test du polynôme la série converge si et seulement si le degré de Q est strictement supérieur à ( degré
de P + 1 ).
Ici degré de P = 2 et degré de Q = 4. la série est donc convergente.

b)
n
d)

n2
n
n0 2

Cette série est une série à termes réels positifs dont le terme général un est égal à
Error!.
Pour conclure à la convergence ou à la divergence de cette série, appliquons le test de D’Alembert.
Error! = Error!. Error! Error! = Error!.Comme Error! < 1 , on en conclut que la série est
convergente.

e)
 n3 
 n²  3 

n 0 

n
Cette série est une série à termes réels positifs dont le terme général un est égal à (
Error!)Error! .
Pour conclure à la convergence ou à la divergence de cette série, appliquons le test de la racine n e de Cauchy.
n;un = Error! et Error!Error! = Error!Error! = Error! Error! = 0 et 0 < 1 , donc la série est une
série convergente.

f)
sin n  2
n!
n 1

Pour tout n  N , -1 sin n  1 ; on en déduit que pour tout n  N , 1Â2 – sin n  3
et par suite : 0< Error! Â Error!
La série de terme général Error!est une série à termes réels positifs convergente (il suffirait de lui appliquer
le test de D’Alembert :
;lim. ( Error! × Error! ) = 0 < 1
n +
La série de terme général Error! est une série à termes réels positifs convergente selon le test de
comparaison.
Error! = - Error!. Si la série de terme général un est une série convergente alors la série de terme général k
un est elle-même convergente, où k est une constants quelconque.
En appliquant ce résultat avec k = - 1 , on en conclut que la série de terme général Error! est convergente.

n 1
g)
(1)n

n²  1
n 0
C’est une série alternée dont le terme général est de la forme (-1)n un , avec un = Error! .
Considérons la série des valeurs absolues. .Cette série de terme généralError! est une série divergente
selon le test du polynôme.
Considérons maintenant la série alternée . Pour vérifier si les termes un vont en décroissant ,
étudions la fonction f définie sur R+ par f(x) = Error! .
La dérivée f ‘(x)= Error! est négative sur [1; +  [ : les termes un vont en décroissant pour n à 1. de
;lim un =
;lim Error! = 0 .
n  +
n  +
Donc la série converge d’après le théorème de Leibniz.
plus ,
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
2.
La série numérique
 sin
n
1 est-elle convergente ou divergente ?Justifier votre réponse et, en cas de
n 0
convergence, calculer la somme de cette série
Il s’agit ici d’une série géométrique dont le terme général un = sin 1 appartient à l’intervalle ]0,1[.
En effet , 1  ]0; Error![donc son sinus appartient à l’intervalle ]0,1[.
Nous savons qu’une série géométrique, dont le terme général un = qn vérifie :-1<q<1, est une série convergente
dont la somme S = Error!.
La somme de cette série est donc égale à S = Error!
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3.
Déterminer l'intervalle de convergence des séries suivantes:

x
n3  
3
n 0

a)
n
Soit un le terme général de cette série, un = n3 (Error!)Error! = Error! × xError! = a n xError!. C’est
une série entière en x . Déterminons son intervalle de convergence.
;lim | Error! | = Error!( Error!)Error! × 3 = 3 .
n  + 
La série converge lorsque |x| < 3 , c’est-à-dire lorsque - 3 < x < 3 . La série diverge pour x < - 3 ou x > 3.

Pour x =- 3 , la série devient
 (1)
n
n 3 Cette série diverge puisque son terme général ne tend pas vers
n 0
zéro.

Pour x = 3 , la série devient
n
3
Cette série diverge puisque son terme général ne tend pas vers zéro.
n 0
L’intervalle de convergence est l’intervalle ] -3 ; 3 [

b)
n 1
 n²  1 ( x 1)
n 0
n
Posons y = x – 1 .Soit un le terme général de cette série, un = Error! yError! = a n yError! . C’est une
série entière en y . Déterminons son intervalle de convergence.
;lim | Error! | = Error!| Error! × Error! | = Error! Error! = 1 .
n  + 
La série converge lorsque |y | < 1 , c’est-à-dire lorsque - 1 < x -1 < 1, c’est-à-dire lorsque 0 < x < 2 . La
série diverge pour x < 0 ou x > 2.

Pour x = 0 , la série devient
 (1)
n 0
n
n 1
. Nous retrouvons la série du 1) g) qui est convergente Pour x
n2 1
= 0 , la série devient

Pour x = 2 , la série devient
n 1
qui est une série divergente selon le test du polynôme .
2
1
n
n 0
L’intervalle de convergence est l’intervalle [ 0 ; 2 [


(1)n x 2n
. Posons y = x2 . Le terme général de la série s’écrit alors : Error! = an yError! .
n
2
n 0
C’est une série entière en y .
;lim | Error! | = Error!Error! = 2 . La série converge lorsque |y | < 2 , c’est-à-dire lorsque n  + 
2 < x2 < 2 c’est-à-dire lorsque - 2 < x < 2 .
La série diverge pour x < - 2 ou x > 2
c)

Pour x = - 2 ou x = - 2 , la série devient :
 (1)
n
. Le terme général de cette série ne tend pas vers
n 0
zéro donc cette série numérique est divergente.
L’intervalle de convergence est l’intervalle ] - 2 ; 2 [.
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Développer en série entières la fonction f définie par f(x) = Error! et préciser l'intervalle de validité de ce
développement.
f(x) = Error! = Error! × Error!.
Nous savons que pour -1 < Error! < 1 , c’est-à-dire -2 < x < 2 ,
Error!= 1 + Error! + ( Error! )
3.
2 + …………+ ( Error! )Error! + ……..
Donc par produit pour -2 < x < 2 , f(x) = Error! = Error! ×( 1 + Error! + ( Error! )Error! +
…………+ ( Error! )Error! + …….. ) = Error! + Error! + Error! + ……….+ Error! +………
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5.
La fonction f est définie sur ]-3 ; +[ par: f(x) = ArctanError!.
a)
Calculer les limites de la fonction f en -3 et en +.
Nous savons que
;limarctanx = - Error! et que Error! arctanx = Error!.
x  - 
;lim Error! = -  , donc par composition Error! f(x) = - Error!
+
x  -3
;limError! = 1 , donc par composition
x  + 
b)
Error! f(x) = Error!
Calculer la dérivée de la fonction f sur ]-3 : +[. En déduire le sens de variation de cette fonction.
La fonction f est de la forme arctan o u , avec u(x) = Error! .
D’après le théorème sur la dérivation d’une fonction composée , f ‘ (x) =
Error! × u’(x) = Error! avec x
 ] -3; +  [.
Pour tout x  ] -3; +  [, f ' (x) > 0 donc f est une fonction strictement croissante sur l’intervalle ] -3; +  [.
c)
Soit a = f(9). Trouver les nombres: tan a, sin a, cos a, sec a, csc a, cot a.
a = f(9) = arctanError! . On en déduit quea  ] 0; Error! [, tan a = Error! et cot a =
Error!.
Considérons
le triangle
rectangle
tracé cicontre.
Appelons x la
mesure de
l’hypoténuse
dans ce
triangle.
Selon le théorème de Pythagore, x = 13
sina = Error! , cosa = Error! , seca = Error! csca = Error!