Chapitre III Calcule thermodynamique III.1. Etude thermodynamique de la compression du gaz: D'après la thermodynamique [3], la quantité d'énergie fournie au gaz à savoir le travail dW et la quantité de chaleur dQ peuvent être exprimées par la variation de l'enthalpie dH et celle de l'énergie cinétique d ( 2 ) pour l'unité de masse m 1 Kg . 2 2 dW dQ dH d ( ) 2 (III.1) : Vitesse d’angulaire du gaz en [rad/s]. Cette équation représente une des formes de l'équation du premier principe de la thermodynamique relatif à l'écoulement du gaz. La chaleur est toujours négative pour les compresseurs et la vitesse (d 0) car les vitesses du gaz à l'entrée et la sortie d'un compresseur sont approximativement égales et le travail nécessaire à la compression du gaz peut être calculé de la forme suivante: On a: d( et donc : 2 )0 2 (III.2) dH dW dQ (III.3) dW dH dQ (III.4) L’étude thermodynamique de la compression effectuée souvent à l’aide des diagrammes (H, S) permet de déterminer la variation de l'enthalpie ( H H 2 H1 ) dans le compresseur figure. III.1 H 3 ∆HP 2 4 ∆H ∆Hr 5 1 S Figure III.1 Variation de l’enthalpie H en fonction de l’entropie S Mémoire fin d’étude Page 39 Chapitre III Calcule thermodynamique la compression adiabatique réversible dans un compresseur idéal sans perte d'énergie est représentée par la droite (1-2) parce que dans ce cas (Q 0) et la variation de l’entropie (S 2 S1 0) . dH W (III.5) la compression réelle sans refroidissement à lieu suivant la courbe (1-3) et elle est toujours accompagnée des pertes H p ainsi que l'augmentation de l’entropie dS 0 . la compression avec refroidissement (1-4) pour laquelle d'après l'équation ( III.3) est : H W Q (III.6) Pour les gaz parfaits H se calcule à partir de la chaleur spécifique à pression constante W H C p (T2 T1 ) (III.7) Où: T1 - température d'aspiration; T 2 - température de refoulement; C p - chaleur spécifique. Il est plus commandé parfois d'analyser le fonctionnement des compresseurs à l'aide d'un diagramme (P, V) parce que l'aire dans ce diagramme correspond à la valeur du travail voir figure. III.2 P 4 5 4' 2 3 P2 T = Cte γ = Cte n = Cte P1 6 1 Figure III.2 Variation de la pression P en fonction du volume Mémoire fin d’étude V Page 40 Chapitre III Calcule thermodynamique Afin d'exprimer le travail W en fonction de la pression P et du volume spécifique du gaz V on doit utiliser la relation pour l'enthalpie. D'où H U PV (III.8) Le différentiel total exact de l’enthalpie est : dH dU PdV VdP (III.9) D'après l'équation du premier principe de la thermodynamique pour un système à volume variable telle que ; pression constante. On a: dH dU PdV (III.10) En rapportant l’équation (III.9) et (III.10) dans l’équation (III.7) on obtient : dW VdP (III.11) En intégrant l’équation (III. 11) on trouve : W VdP (III.12) Et donc le travail est représenté dans le diagramme (P, V) par l'aire qui est limitée par la courbe de transformation thermodynamique. pour la compression adiabatique (1-2) le travail W correspond à l'aire (1-2-5-6-1) qui se trouve entre l'adiabatique (1-2) avec l'exposant adiabatique ( cst ) et les deux droites (1-6) et (2-5). La compression réelle accompagnée des pertes interne est effectuée avec l'exposant polytropique. la compression isothermique est représentée par l'isotherme (1-4). III.1.1 Travail de compression des gaz Dans les turbocompresseurs, on utilise généralement la compression adiabatique sans refroidissement du corps de la machine, le travail adiabatique peut être calculé à partir de l'expression ( III.7) pour les gaz parfaits. Mémoire fin d’étude Page 41 Chapitre III Calcule thermodynamique Mais il est plus commandé parfois d'exprimer la valeur de W en fonction de taux de compression qui est habituellement connu. P2 P1 (III.13) Dans le cas de la transformation adiabatique on a: T2 P ( ( 2) T1 P1 1 ) (III.14) En remplaçant les expressions (III.13) et (III.14) dans l'expression (III.7), on trouve : Wad Z .C p .T1 ( ( 1 ) 1) (III.15) Z - coefficient de compressibilité ; C p - peut être calculé à partir de l'équation de Mayer ; La relation de Mayer est : C p Cv R (III.16) R - constante de gaz parfaits. et Cp (III.17) Cv Cp ( )R 1 (III.18) En remplaçant l’équation (IV.18) dans l’équation (IV.15) on trouve : 1 ( ) Wad ( ).R.Z .T1 ( 1) 1 (III.19) Cette équation permet de calculer le travail adiabatique de la transformation réversible et sans pertes internes dit: " Travail isentropique ". En remplaçant l'exposant adiabatique par l'exposant polytropique n on peut utiliser toutes les équations adiabatiques pour calculer les transformations polytropiques. Il en ressort que le travail polytropique d'une transformation réversible sans pertes d'énergie avec (n var iable ) se calcule à partir de l'équation suivante: Mémoire fin d’étude Page 42 Chapitre III Calcule thermodynamique ( n Wp ( ).R.Z .T1 ( n 1 n 1 ) n 1) (III.20) Le travail adiabatique réel Wr d'une transformation irréversible avec (n var iable ) suivant l'expression ( III.7) est égal à: Wr C p (T2 r T1 ) (III.21) Où: : Température réelle de gaz au refoulement. Si l'on sait que l'exposant n C te du polytropique (1-3) figure (III.2), qui passe par le point 3 correspond à la compression réelle nous pouvons écrire: ( T2 r ( T1 n 1 ) n ) (III.22) En rapportant les équations ( III.18) et ( III.22) à l'équation ( III .21) on obtient la formule finale du travail réel: ( Wr ( ).R.Z .T1 ( 1 n 1 ) n 1) (III.23) III.1.2. Rendement thermodynamique d'un compresseur Afin de calculer le travail réel Wr nécessaire à comprimer 1 Kg de gaz, on utilise un des rendements thermodynamiques du compresseur: th Wth Wr (III.24) Où : Wth - Travail thermodynamique du compresseur. Il doit être adapté selon les particularités de la compression réelle. Pour les turbocompresseurs qui sont souvent dépourvus de refroidissement du corps, on emploie généralement le travail adiabatique Wad et rendement adiabatique ad . Mémoire fin d’étude Page 43 Chapitre III Calcule thermodynamique Le rendement adiabatique est donné par la formule suivante : Wad Wr ad (III.25) Le rendement isotherme est donné par l’expression suivante: iso Wiso Wr (III.26) Et finalement le rendement polytropique s’écrit sous la forme suivante. pol W pol Wr (III.27) Ce rendement polytropique ne tient pas compte exactement des pertes réelles mais il caractérise seulement la différence entre le travail réel et le travail thermodynamique avec n C te . Les relations (III.19), (III.21) et (III.25) pour les compresseurs sans refroidissement, on a le rendement adiabatique s’écrit : ad ( ( n 1 ) n 1) T ( 2 r 1) T1 (III.28) D'après les équations (III.20), ( III.23) et ( III.27) on trouve la nouvelle expression du rendement polytropique : p ( n 1 ) /( ) n 1 (III.29) Dans la pratique l'exposant polytropique n'est pas connu et il doit être remplacé par le taux de compression et la température réelle de refoulement , à l’aide de la relation (III.22) on peut trouver une relation de l’exposant polytropique : Mémoire fin d’étude Page 44 Chapitre III Calcule thermodynamique ( n log ) T n 1 log 2 r T1 (III. 30) Finalement le rendement polytropique est : p ( 1 log ) T log 2 r . T1 (III.31) III.2. Application thermodynamique: Le calcul thermodynamique a pour but la détermination des performances du compresseur ; pour obtenir des résultats réalistes nous avons utilisé les paramètres de fonctionnement relevés sur site et qui sont résumés dans les tableaux ci-dessous : - Paramètres de fonctionnement Tableau III.1 paramètres du donnée fixe. Donnée fixe Pression d’aspiration ; en [bars] Température d’aspiration ; en [K] Nombre de roues Coefficient de compressibilité Coefficient adiabatique Vitesse de rotation ; en [tr/min] Poids moléculaire : g/mole Mémoire fin d’étude Pa =22.98+1.013= 23.99 Ta = 55.60+273.15=328.75 N = 6 Z = 0,963 =1.287 N =9030 M =17.84 Page 45 Chapitre III Calcule thermodynamique Tableau III.2 paramètres du donnée courbe. Donnée courbe Pression de refoulement ; en [bars] Température de refoulement ; en [K] Débit volumique ; en [m3/h] Puissance absorbe : en [kw] Taux de compression Rendement polytropique Hauteur polytropique : en [m] Pr =87 Tr = 449.15 Qv = 16800 P =20000 3.60 Rp = 0.840 Hp = 23000 - Caractéristiques du gaz : Le tableau III.3 montre les caractéristique du gaz aspirer et refouler de Ouhanet vers Tiguentourine. Tableau III.3 caractéristiques du gaz Composantes Concentration moléculaire Y% N2 0.51 28,02 1,621 126,2 33,92 CO2 1.69 44,01 1,031 304,1 73,84 CH4 88.32 16,04 2,204 190,56 45,96 C2H6 8.65 30,07 1,714 305,33 48,72 C3H8 isoC4H10 0.80 0,01 44,09 58,12 1,624 1,678 369,85 407,85 42,48 36,41 normoC4H10 0.01 58,12 1,620 425,16 37,97 Mémoire fin d’étude Masse molaire (M) [kg/K°.mol] Chaleur spécifique à pression constant Cp [kJ/kg.K°] Température pseudocritique [K°] cri Pression pseudocritique [bars] cri Page 46 Chapitre III Calcule thermodynamique III.2.1 Calcul des caractéristiques thermodynamiques : III.2.1.1 Détermination de la constante spécifique du gaz : r R / M =8.314*10-3/17.84*10-3=0.466 kJ/kg.K avec : M= 17.84 g/mole= 17.84 *10-3 kg/mole et R 8.314 * 10 kj / mole.K 3 III.2.1.2 Coefficient adiabatique : 1.287 III.2.1.3 Taux de compression : Pr 87 3,626 Pa 23.99 III.2.1.4 Coefficient polytropique : n log log log Tr Ta log 3,626 1,319 449.15 log 3,626 log 328.75 III.2.3 Calcul des travaux : III.2.3.1 Travail adiabatique : 1 Z .r.Ta 1 1 1, 2871 1,287 Wad 0,963 0,466 328.75 3,626 1, 287 1 220.143 kJ / kg 1,287 1 Wad III.2.3.2 Travail polytropique : Wp Wp n 1 n .Z .r.Ta . n 1 n 1 1, 3191 1,319 0,963 0,466 328.75 3,626 1,319 1 222.967kJ / kg 1,319 1 Mémoire fin d’étude Page 47 Chapitre III Calcule thermodynamique III.2.3.3 Travail réel : nn1 Wr .Z .r.Ta . 1 1 1, 3191 1,287 Wr 0,963 0,466 328.75 3,626 1,319 1 241.815 kJ / kg 1,287 1 III.2.4 Calcul les hauteur : III.2.4.1 Hauteur adiabatique : H ad R.Z .T1 ( ( ). ( 1 M .g 1 ) 1) 1.287 8.314 0.963 328.75 H ad 3.626 . 3 1.287 1 17.84 *10 9.81 1.2871 1.287 1 22442.2314m R 8.314 j / mole.K , g =9.81 m/s2 III.2.4.2 Hauteur polytropique : Hp ( Hp ( n R.Z .T1 ) ( n 1 M .g n 1 ) n 1) 1.319 1 1.319 8.314 0.963 328.75 1.319 22730.1102m 3 . 626 1 17.84 * 10 3 9.81 1.319 1 R 8.314 j / mole.K , g =9.81 m/s2 III.2.5 Calcul des rendements : III.2.5.1 rendement adiabatique : ad Wad 220.143 0,91037 ad 91.037 0 0 Wr 241.815 III.2.5.2 rendement polytropique : Mémoire fin d’étude Page 48 Chapitre III Calcule thermodynamique p Wp Wr 222.967 0,92205 p 92.205 0 0 241.815 III.2.6 Calcul de puissance : III.2.6.1 La masse volumique du mélange au condition normale : (PN= Patm =1.01325bar et temp=0°C) ρ = D. ρair avec : d= Mg/Mair =Mg/28.964 = 17.84 /28.964=0.615 avec ρ air : masse volumique de l’air = d : densité réelle du gaz = 0.615 ρ N = 0,615.1,29 kg/m3 = 0,794 kg/m3 III.2.6.2 La masse volumique du gaz aux conditions d’aspiration : asp P1. N .TN 23,99.0,794.273 15.618kg / m 3 PN .T1 1,013.328,75 III.2.6.3 Puissance adiabatique : Qv =16800 et 1h=3600s Qv=16800/3600= 4,666 m3 / s Qm= Qv. ρasp = 4,666 .15,618 = 72,884 kg / s Qv: débit volumique m3 / h , voir tableau III.2. pad Qm .Wad Où : III.2.6.4 Puissance polytropique: p p Qm .W p p p 72.884 222.967 16250.73kw III.2.6.5 Puissance réel : pr Qm .Wr pr 72.884 241.815 17624,44 kw III.2.7.1Calcul rendement mécanique: Mémoire fin d’étude Page 49 Chapitre III Calcule thermodynamique ηmec = Pr/ Pab ηme = 17624.44/ 20000 = 0.881222 ηme = 88.1222 % avec : Pab la puissance absorbée du compresseur et Pr: puissance réel . III.2.8 Calcul des pressions intermédiaires : Connaissant le taux de compression, on pourra calculer facilement les pressions intermédiaires par la formule suivante : Pi+1= ξ Pi I : numéro de l’étage ; Pi : pression de l’étage i ; Pi+1 : pression dans l’étage i+1. Les résultats de calcul sont portés sur le tableau ci-dessous : III.2.8.1 Taux de compression de chaque étage : n 6 3.626 1.239 avec = P2 / P1 Les résultats de calcul sont portés sur le tableau ci-dessous Pressions en bar Pasp P1 23.993 29.727 P2 P3 36.832 45.635 P4 P5 Pref 56.54 70.055 86.798 Tableau III.4 les pressions intermédiaires Mémoire fin d’étude Page 50 Chapitre III Calcule thermodynamique III.2.9 : Calcul des températures intermédiaires : Pi 1 Ti 1 P Ti i n 1 n Ti+1 : température dans l’étage i+1 ; Ti : température de l’étage i. Les résultats de calcule sont portés sur le tableau ci-dessous : Tasp T1 328.750 346.237 Températures en °k T2 T3 T4 364.656 384.054 404.481 T5 Tref 426 448.661 Tableau III.5 les températures intermédiaires III.2. Validation des résultats : Afin de permettre de valider nos calculs thermodynamiques précédents, on a comparé les résultats tels que : pression et température de refoulement, puissance absorbée, hauteur et rendement poly tropiques avec celles du constructeur du compresseur (Nouvo Pignon compagnie) tirés des courbes dans les figure III.3, III.4, III.5, avec débit volumique de 16800 m3/h . On constate que nos résultats sont en bonne concordance avec celles du constructeur comme l'indique le tableau . Pression de refoulement Température de refoulement Taux de compression puissance absorbée Hauteur polytropiques Rendement polytropiques Calculs thermodynamique 86.798 bar 448.661 K 3,626 17624.44 kW 22730.11 m 0.92 Données du constructeur 87 bar 449 k 3.60 20000 kW 23000 m 0.84 Tableau III.6 . comparaison des résultats thermodynamiques avec ceux du constructeur Mémoire fin d’étude Page 51 Chapitre III Calcule thermodynamique Figure III.3 : courbes de la pression de refoulement et de la puissance absorbée. Mémoire fin d’étude Page 52 Chapitre III Calcule thermodynamique Figure III.4 : courbe du taux de compression et de la température de refoulement. Mémoire fin d’étude Page 53 Chapitre III Calcule thermodynamique Figure III.5 : courbe de la hauteur et rendement polytropiques. Mémoire fin d’étude Page 54