Chapitre_8_statistiques

- 1 - Chapitre 8 : 1ère ES
Chapitre 8
STATISTIQUES
L’objet des statistiques est le recueil et l’analyse de données quantitatives ou qualitatives. Une
série statistique est déterminée par un tableau comme suit :
Valeurs
x1
x2
…
xp
Total
Effectifs
n1
n2
...
np
n
fréquences
f1
f2
...
fp
1
On rappelle que fi =
Error!
I Moyenne, variance, écart-type
A] Mesure de la concentration d’une série : la moyenne
Définition :
La moyenne de cette série statistique est donnée par la valeur :
x =
Error!
=
Error!
Error!
=
Error!
Remarque :
La moyenne est le barycentre des nombres pondérés (x1;n1), ... , (xp ;np).
Exemple :
La série statistique 14, 25, 36, 45, 52, 68 a pour moyenne 40.
Propriété :
Soient a et b deux réels.
Pour tout i de 1 à p, on effectue l’opération suivante : yi = axi + b.
Ainsi y = a x + b.
Démonstration :
y =
Error!
Error!
=
Error!
Error!
=
Error!
Error!
+
Error!
Error!
= a
Error!
Error!
+
Error!
bn = a
Error!
Error!
+ b
= a x + b.
Donc y = a x + b.
Exercice 25p63.
B] Mesure de la dispersion : Variance et écart type
Utilité :
Si on a deux classes avec les notes suivantes : 10 , 10, 10, 10, 10, 10, 10 et 15, 5, 15, 5, 15, 5.
Ces deux classes ont toutes les deux la même moyenne 10, mais elles n’ont pas du tout le
même profil. On va donc mesurer la dispersion.
Définition :
La variance de la série statistique est la valeur suivante :
V =
Error!
Error!
=
Error!
Error!
=
Error!
.

- 2 - Chapitre 8 : 1ère ES
Exemple :
En reprenant l’exemple initial, on trouve V =
Error!
.
Propriété :
 V O.
 V = 0 SSI x1 = x2 = … = xp.
Démonstration :
Pour tout i de 1 à p, ni 0 et ( ) xi – x2 0.
Ainsi pour tout i de 1 à p on a ni ( ) xi – x2 0, donc
Error!
0.
C’est pourquoi
Error!
Error!
0.
D’où V 0.
V = 0 SSI pour tout i de 1 à p, ( ) xi – x2 = O.
SSI pour tout i de 1 à p, xi – x = 0.
SSI pour tout i de 1 à p, xi = x.
SSI x1 = x2 = … = xp = x.
Propriété :
V =
Error!
Error!
–
Error!
2 =
Error!
–
Error!
2.
Remarque :
On dit que la variance est égale à la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne.
Démonstration :
V =
Error!
Error!
.
V =
Error!
Error!
.
V =
Error!
Error!
– 2
Error!
Error!
Error!
+
Error!
2
Error!
Error!
; car n =
Error!
.
V =
Error!
Error!
– 2
Error!
2 +
Error!
Error!
.
V =
Error!
Error!
–
Error!
2.
Exemple :
En reprenant l’exemple initial, on trouve V =
Error!
.
Définition :
L’écart type de la série statistique est défini par  = V ; cette valeur existe bien car V 0,
d’après la propriété précédente.
Exemple :
D’après la série statistique précédente, on trouve  =
Error!
.
Propriété :
Soient a et b deux réels.
On effectue l’opération suivante pour tout i de 1 à p, yi = axi + b.
Alors Vy = a2Vx et y = a x.
Démonstration :
Vy =
Error!
Error!
=
Error!
Error!
.
Vy =
Error!
Error!
.
Vy =
Error!
Error!
.
Vy = a2
Error!
Error!
.
Vy = a2 Vx.
Donc y = a2Vx = a x.

- 3 - Chapitre 8 : 1ère ES
Exercices 7, 8p60.
II Médiane et quartiles
A] Mesure de la tendance centrale : la médiane
Définition :
On range toutes les valeurs de la série statistique d’effectif p dans l’ordre croissant :
x1 x2 x3 … xp.
 Si
Error!
est un entier alors la médiane est x
Error!
.
 Si
Error!
n’est pas un entier alors la médiane est la valeur de l’indice qui suit le
Error!
.
Remarque :
On a 50% des valeurs du caractère qui sont supérieures à la médiane M et 50% qui lui sont
inférieures.
Exemple :
Dans notre exemple la médiane vaut 45.
Propriété :
Si pour tout i de 1 à p, on a yi = axi + b, alors My = aMx + b.
Démonstration :
Pour ces deux séries c’est le terme de même rang. Donc le résultat est clair.
B] Mesure de la répartition : les quartiles
Définition :
Les valeurs d’une série statistique d’effectif p sont rangés dans l’ordre croissant :
x1 x2 x3 … xp
 Si
Error!
est un entier, alors le 1er quartile est Q1 = x
Error!
et Q3 le 3ème quartile est
x
Error!
.
 Si
Error!
n’est pas un entier, alors le 1er quartile est la valeur xj où j est le plus petit
entier supérieur ou égal à
Error!
et le 3ème quartile est la valeur xk où k est le plus
petit entier supérieur ou égal à
Error!
.
Remarques :
 25% des valeurs sont inférieures ou égales à Q1.
 75% des valeurs sont inférieures ou égales à Q3.
Remarques :
Lorsque la série est donnée par classes :
 Q1 est la valeur correspondant à la fréquence cumulée croissante égale à 0,25.
 Q3 est la valeur correspondant à la fréquence cumulée croissante égale à 0,75.
Remarque :
On définit les déciles D1 et D9 de la même façon en remplaçant 25% et 75% par 10% et 90%.
Exemple :
Dans notre série statistique Q1 = 25 et Q3 = 52.
Propriété :
Soient a et b deux réels tel que a > 0.
Pour tout i de 1 à p, on a, yi = axi + b.
Ainsi Q1y = aQ1x + b et Q3y = aQ3x + b.
Soient a et b deux réels tel que a < 0.

- 4 - Chapitre 8 : 1ère ES
Ainsi Q1y = aQ3x + b et Q3y = aQ1x + b.
Démonstration :
C’est clair car pour tout i on a yi = axi + b.
Définition :
L’intervalle interquartile est l’intervalle [Q1 ;Q3]. L’écart intervalle interquartile est la valeur
Q3 – Q1.
Remarques :
Environ 50% de l’effectif est dans l’intervalle interquartile.
Plus l’intervalle est petit plus la dispersion est faible.
Exemple :
Dans notre exemple, l’écart intervalle interquartile est 27 et l’intervalle interquartile est
[25 ;52].
Propriété :
Soient a et b deux réels.
Pour tout i de 1 à p, on a, yi = axi + b tel que a > 0.
L’intervalle interquartile change et l’écart interquartile est multiplié par a .
Démonstration :
Q3y – Q1x = ( ) aQ3x + b – ( ) aQ1x + b = a ( ) Q3x – Q1x .
Exercice 1, 2, 12p60.
Exercice 19p62.
C] Diagramme en boite ou boite à moustaches
Définition :
On trace le diagramme suivant :
xmin Q1 Med Q3 xmax
Exercices 4, 5p60.
Exercices 15, 16, 17p61.
Exercice 20p62.
D] Résumé
Soit a > 0 et b un réel.
Valeur de la
série
Moyenne
Variance
Ecart type
Quartile
Ecart
interquartile
xi
x
V
Q1 Q3
Q3 – Q1
axi + b
ax + b
a2V
a
aQ1 + b aQ3 + b
a( ) Q3 – Q1
Soit a < 0 et b un réel.

- 5 - Chapitre 8 : 1ère ES
Valeur de la
série
Moyenne
Variance
Ecart type
Quartile
Ecart
interquartile
xi
x
V
Q1 Q3
Q3 – Q1
axi + b
ax + b
a2V
a
aQ3 + b aQ1 + b
a( ) Q1 – Q3