Chapitre_4_derivee

- 1 - Chapitre 4 : 1ère S
Chapitre 4
Dérivée d'une fonction
I. Nombre dérivé d'une fonction en a (a I;R)
A] Définitions
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et Cf sa courbe représentative dans un repère (O;
Error!
;
Error!
).
Soit a un nombre réel de l'intervalle I et A le point de Cf
d'abscisse a.
Soit h un réel non nul tel que a + h I.
Définition :
Le taux d'accroissement de f entre a et a + h est le rapport
t(h) =
Error!
(ce nombre dépend de h)
Sur le graphique, t(h) est le coefficient directeur d'une sécante
(AM) à Cf.
Remarque :
En cinématique, la variable est le temps et f est la loi horaire (qui donne la distance parcourue par
un mobile M à l'instant t depuis l'instant origine). t(h) est alors la vitesse moyenne d'un mobile entre
les instants a et a + h.
Définition :
Si t(h) tend vers un nombre réel quand h tend vers 0, on dit que f est dérivable en a et on appelle ce
nombre le nombre dérivé de f en a. Ce nombre est noté f '(a).
Si h prend des valeurs de plus en plus proches de 0, on dit que l'on cherche la limite de t(h) quand h
tend vers 0. On écrit alors (si cette limite est finie) : f '(a) =
Error!
Error!
(on lit " limite de
Error!
lorsque h tend vers 0").
En cinématique, la variable étant le temps t, ce nombre f '(a) est la vitesse instantanée du mobile à
l'instant a.
f est dérivable en a SSI
Error!
Error!
= f ' (a) (
Error!
).
B] Exemples
Dans la pratique, pour obtenir la limite de
Error!
lorsque h tend vers 0, on procède à des
transformations d'écritures de ce rapport.
Calculer un nombre dérivé :
 Démontrer que la fonction f : x
Error!
– 5x + 2 est dérivable en a = 2 et donner son nombre
dérivé en 2.
Pour tout réel h 0,
Error!
=
Error!
=
Error!
= – 5. Ce rapport ne dépend pas de h, on a alors :
Error!Error!
= – 5. On en déduit que f est dérivable en 2 et f '(2) = – 5.
 Calculer le nombre dérivé pour la fonction f : x
Error!
x2 + x en a = – 1.
Pour tout réel h 0, on a :

- 2 - Chapitre 4 : 1ère S
Error!
=
Error!
= h – 1.
La limite de ce taux lorsque h tend vers 0 est – 1. Donc f '( –1) = – 1.
Calculer une vitesse instantanée :
Un immeuble mesure 100 mètres de haut. On lâche une bille du haut de cet immeuble à la date t =
0. La loi horaire du déplacement est donnée par d(t) = 5t2 (avec d(t) en mètres et t en secondes).
Calculer la vitesse instantanée de la bille à l'instant t = 3 s.
La vitesse moyenne de la bille entre les instants 3 et 3 + h (avec h 0 et 3 + h 0) est
Error!
.
Error!
=
Error!
= 5h + 30.
Lorsque h tend vers 0, 5h + 30 tend vers 30. Donc d'(3) = 30. La vitesse instantanée à l'instant t = 3s
est de 30 m.s-1.
Exercices 9, 10, 12, 15p71.
II. Tangente et approximation affine
A] Tangente à la courbe représentative d'une fonction
f est une fonction définie sur un intervalle I et dérivable en a I. A
et M sont les points de Cf d'abscisses a et a + h (h 0). Le
coefficient directeur de la droite (AM) est
Error!
=
Error!
.
Lorsque h tend vers 0,
Error!
tend vers f '(a) et géométriquement la
droite (AM) a pour position "limite" la droite T qui passe par A et
de coefficient directeur f '(a).
Définition :
f est une fonction dérivable sur un intervalle I et a I.
Cf est la courbe représentant f.
La tangente à Cf au point A(a ; f(a)) est la droite T qui passe par A et de coefficient directeur f '(a).
Une équation de cette tangente est : y = f '(a)(x – a) + f(a)
Démonstration : triviale.
B] Approximation affine de f en un point
Graphiquement, au voisinage de du point A, la courbe est très proche de la tangente en A.
A
M
f(a + h)
f(a)
aa + h
f(a)
a
A
T
C
O

- 3 - Chapitre 4 : 1ère S
Error!
est très proche de f '(a).
Autrement dit : f(a + h) – f(a) h f '(a) ou encore, f(a + h) = f(a) + h f '(a).
La fonction affine h
Error!
f(a) + h f '(a) est appelée approximation affine de f au voisinage de a.
Exemple :
Le nombre dérivé de la fonction carrée en tout nombre réel a est 2a. Une valeur approchée de (a +
h)2 pour h petit (voisin de 0) est : a2 + 2ah.
Par exemple, 1,032 12 + 2 1 0,3 soit 1,06. Or 1,032 = 1,0609. L'approximation affine effectuée
conduit donc à une erreur de 9 10-4.
III. Dérivée des fonctions usuelles
A] Fonction dérivée
B] Dérivée des fonctions usuelles
f(x) =
f '(x) =
f est dérivable sur ...
k (constante)
0
I; R
x
1
I; R
x2
2x
I; R
xn (n entier
2)
nxn-1
I; R
Error!
–Error!
] –
; 0[ ou ]0 ; +
[
x
Error!
]0 ; +
[
Démonstration pour la fonction inverse :
Soit a un réel non nul; pour tout réel h 0, tel que a + h 0,
Error!
=
Error!
=
Error!
. Lorsque h tend vers 0,
Error!
tend vers
Error!
.
f est dérivable en a et f '(a) =
Error!
.
Exercices 18, 19, 22, 24p71.
Exercices 65, 69p73.
C] Opérations sur les fonctions dérivables
1) Dérivées et opérations
Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.
Définition :
Une fonction est dérivable sur un intervalle I si et seulement si elle est dérivable en tout nombre réel
de I. La fonction qui a tout nombre réel x de I associe le nombre dérivée f '(x) est appelée fonction
dérivée de f et est notée f '.

- 4 - Chapitre 4 : 1ère S
Si f = u + v alors f est dérivable sur I et f ' = u' + v'.
Si f = ku (k I; R) alors f est dérivable sur I et f ' = ku'.
Si f = uv alors f est dérivable sur I et f ' = u'v + uv'.
(cas particulier v = u, u2 est dérivable sur I et f ' = 2uu').
Si f = un (n I; N*) alors f est dérivable sur I et f ' = n un – 1 u'.
Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I et v(x) 0 pour tout x I.
Si f =
Error!
alors f est dérivable sur I et f ' =
Error!
.
Si f =
Error!
alors f est dérivable sur I et f ' =
Error!
;
Démonstration :
u et v sont deux fonctions et on veut démontrer que uv est dérivables sur I et (uv)' = u'v + uv'.
Pour tout réel a et a + h de I, avec h 0,
Error!
=
Error!
.
=
Error!
v(a + h) +
Error!
u(a).
Or lorsque h tend vers 0,
Error!
tend vers u'(a) et
Error!
tend vers v'(a) et on admet que v(a + h) tend
vers v(a).
Alors
Error!
Error!
= u'(a)v(a) + u(a)v'(a).
Pour la dérivée d'un inverse,
soit v une fonction qui ne s'annule pas sur I et qui est dérivable sur I.
On pose u =
Error!
et on considère le produit uv.
On a uv = 1, d'où (uv)' = 0 i.e uv' + u'v = 0. Par suite, u'v = – uv' = –
Error!
v'.
On en déduit que u' =
Error!
.
La fonction
Error!
(dont la dérivabilité sur I a été admise) a pour dérivée
Error!
.
2) Exemples
 Soit f : x
Error!
x +
Error!
définie sur I = ]0 ; + [.
f est la somme de deux fonctions u et v définies sur I par u(x) = x et v(x) =
Error!
.
Ces fonctions sont dérivables sur I, avec pour tout x de I , u'(x) = 1 et v'(x) =
Error!
.
f est donc dérivable sur I comme somme de deux fonctions dérivables sur I et on a pour tout x de I :
f '(x) = u'(x) + v'(x) = 1 –
Error!
=
Error!
.
 Soit g : x
Error!
x2
Error!
définie sur I = ]0 ; + [.
g est dérivable sur I car g est le produit de deux fonctions u et v dérivables sur I.
On a u(x) = x2 et v(x) = x.
g'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) = 2x * x + x2 *
Error!
=
Error!
, pour tout x de I.
Attention !!
Si f = u v, f ' u' v'.
 Soit h : x
Error!
Error!
définie sur
Error!
.

- 5 - Chapitre 4 : 1ère S
La fonction v définie sur I; R par v(x) = x2 + 1 est dérivable sur I; R puisque c'est une fonction
polynôme, et de plus, v(x) n'est jamais nul.
La fonction h est donc dérivable sur I; R (comme l'inverse d'une fonction dérivable sur qui ne
s'annule pas sur I; R) et : h '(x) = –
Error!
= –
Error!
.
 Soit k : x
Error!
Error!
définie sur I = ]0 ; + [.
Les fonctions u et v définies sur I par u(x) = x et v(x) = x + 1 sont dérivables sur I et v ne s'annule
pas sur I. On en déduit que la fonction k est dérivable sur I (comme quotient de deux fonctions
dérivables sur I et dont le dénominateur ne s'annule pas sur I) et on a :
k'(x) =
Error!
=
Error!
=
Error!
.
Exercice 8p70.
Exercices 26, 27, 29, 30, 31, 33, 34p71.
Exercice 39p72.
Exercices 72p73.
Exercices 76, 78, 79p74.
3) Théorème : dérivation de x
Error!
u(ax + b)
Soit x
Error!
ax + b, une fonction affine appliquant l'intervalle I sur J et u une fonction dérivable sur
J.
Alors la fonction f : x
Error!
u(ax + b) est dérivable sur I et pour tout réel x de I :
f '(x) = a u'(ax + b).
En particulier si f(x) = ax + b alors f '(x) =
Error!
(avec ax + b > 0).
Exemple :
Soit la fonction f définie sur [
Error!
; + [ par f(x) =
Error!
.
On peut écrire f(x) = g(3x – 5), la fonction g étant définie sur [0 ; + [ par g(x) = x.
Pour x > 0, on a g'(x) =
Error!
d'où g'(3x – 5) =
Error!
, pour x >
Error!
.
Par suite, sur ]
Error!
; + [, f '(x) = 3 g'(3x – 5) =
Error!
.
Exercices 51, 56p72-73.
Exercice 64p73.
Exercices 93, 95p75.