Chapitre_7_transformee_de_Laplace

- 1 - Chapitre 7 : BTS 2 électrotechnique
Chapitre 7
Transformation de Laplace
I Préliminaires
A] Intégrales généralisées ou impropres
Définition :
Soit I(x) =
Error!
dt , avec f une fonction continue sur [a ;+ [ et x ] a ;+ [.
Si I(x) admet une limite finie lorsque x tend vers + , alors que l’intégrale
Error!
dt converge,
et on pose
Error!
dt =
Error!
Error!
dt.
Dans le cas contraire, on dit que
Error!
dt diverge.
Remarque :
Les propriétés de l’intégrale restent valables.
Exemples :
Dire si les intégrales suivantes convergent ou divergent :
* I =
Error!
dt.
* J =
Error!
dt.
B] Les fonctions causales
1) Définition d’une fonction causale
Définition :
Une fonction f ( ou un signal) de la variable réelle t est dite causale si pour tout t strictement
négatif f(t) = 0.
2) Exemples de fonctions causales
La fonction de Heaviside ou fonction échelon unité :
La fonction de Heaviside ou fonction échelon unité, notée U, est définie sur IR par :
U(t) =
Error!
.
Remarques :
* La fonction U n’est pas continue en 0 ; elle est continue seulement à droite en
0.
* On rend une fonction causale en la multipliant par cette fonction U.
La fonction rampe unité :
La fonction rampe unité est définie sur IR par :
f(t) =
Error!
Remarque :
f(t) = t U(t) est une autre façon d’obtenir la fonction rampe unité.
La fonction retardée :
Rappel :

- 2 - Chapitre 7 : BTS 2 électrotechnique
Si f est une fonction numérique, alors la fonction g définie par g : x
Error!
f(x+a) est dite en
avance de a et la fonction h définie par h :x
Error!
h(x–a) est dite retardée de a. La courbe de
g est obtenue par une translation de vecteur a
Error!
dans un repère (O ;
Error!
;
Error!
).
Faire un graphe.
Exemple :
La fonction échelon retardé de 3 est définie par U(t–3).
La fonction créneau
Soient a et b deux réels tels que 0 < a < b et k un réel.
La fonction créneau est définie par f(t) = k ( ) U(t–a) – U(t–b) .
Ainsi f(t) =
Error!
En effet on a :
U(t–a)
–U(t–b)
f(t)
t<a
0
0
0
t  [a ;b[
1
0
k
t  [b ;+[
1
–1
0
II Transformation de Laplace
A] Définition
Définition :
La transformée de Laplace d’une fonction causale f est la fonction F de la variable réelle ou
complexe p définie par F(p) = ( ) Lf(p) =
Error!
t dt.
Remarque :
F existe SSI
Error!
t dt converge.
B] Transformée de Laplace des fonctions usuelles
1) Transformée de Laplace de la fonction de Heaviside
Propriété :
La transformée de Laplace de la fonction de Heaviside est définie pour p > 0 et on a
( )
LU (p) =
Error!
. On écrit généralement par abus de langage : L
Error!
=
Error!
.
Démonstration :
Calculer
Error!
dt =
Error!
dt.
2) Transformée de Laplace de la fonction rampe : t
Error!
t U(t)
Propriété :
Transformée de Laplace de la fonction rampe t
Error!
t U(t) est définie pour tout p > 0 et on
a :
L( ) tU(t) (p) =
Error!
.
Démonstration :
On pose I(x) =
Error!
dt pour tout x > 0.
Si p = 0, alors on a
Error!
dt =
Error!
. Donc l’intégrale diverge.
Si p 0, alors on procède à l’aide d’une intégration par parties.
On pose g ‘ (t) = e –pt g(t) = –
Error!
e –pt
h(t) = t h ‘(t) = 1.
Ainsi I(x) =
Error!
0x –
Error!
dt. = –
Error!
x e –px +
Error!
Error!
0x
Donc I(x) = –
Error!
x e –px –
Error!
Error!
.
C’est pourquoi si p < 0 l’intégrale diverge et si p > 0 l’intégrale converge.

- 3 - Chapitre 7 : BTS 2 électrotechnique
En outre pour p > 0, on a
Error!
dt =
Error!
.
3) Transformée de Laplace de t
Error!
tn U(t) pour n
Error!
Propriété :
Transformée de Laplace de t
Error!
tn U(t) pour n
Error!
est définie pour tout p > 0 et on
a :
L[ ] tnU(t) (p) =
Error!
Démonstration :
Il nous faut calculer
Error!
dt =
Error!
dt In.
Posons, pour tout x > 0 et tout n IN : In(x) =
Error!
dt.
Si p = 0, alors In(x) =
Error!
dt =
Error!
x.
Donc l’intégrale diverge.
Si p 0.
On pose alors In =
Error!
dt.
Si p > 0, alors on constate que
Error!
In(x) = In.
On sait déjà que I0 =
Error!
et I1 =
Error!
.
On procède à l’aide d’une intégration par parties sur In(x).
On pose : g’(t) = e –pt g(t) = –
Error!
e –pt
Et h(t) = tn h’(t) =n tn–1
Ainsi In(x) = –
Error!
xn e –px +
Error!
Error!
dt = –
Error!
xn e –px +
Error!
In–1(x).
C’est pourquoi lorsque x tend vers + , on a : In =
Error!
In–1.
Ainsi I2 =
Error!
I1 =
Error!
; I3 =
Error!
I2 =
Error!
; ... ; In =
Error!
.
En outre si p < 0, comme In(x) = –
Error!
xn e –px +
Error!
In–1(x), l’intégrale diverge !!!
4) Transformée de Laplace de t
Error!
e –at U(t) avec a
Error!
Propriété :
Si Re(p) > Re(a), alors L[ ] e –at U(t) (p) =
Error!
.
Démonstration :
Il nous faut calculer
Error!
dt =
Error!
dt.
Pour cela posons I(x) =
Error!
dt.
Si p+a = 0, alors on I(x) =
Error!
dt = x et donc l’intégrale diverge.
Si p+a 0, alors I(x) =
Error!
0x =
Error!
–
Error!
e –
Error!
x.
Ecrivons alors le nombre p+a sous forme algébrique.
Ainsi on pose  = Re(p+a) et  = Im(p+a).
Donc on a e –( )
p+a x = e –x e –i . Donc
e –( )
p+a x
= e –x.
Si  < 0, alors l’intégrale diverge.
Si  > 0, alors, comme
Error!
e –x = 0, l’intégrale converge. En outre
Error!
I(x) =
Error!
.
Remarque :
Dans la pratique et pour la suite on ne précise pas les valeurs de p pour lesquelles F(p) existe.
C] Propriétés de la transformation de Laplace
1) La linéarité
Théorème :
Soient f et g deux fonctions dont les transformées de Laplace sont L[ ] f et L[ ] g et k un réel.
 L[ ] f+g = L[ ] f + L[ ] g.
 L[ ] kf = k L[ ] f.

- 4 - Chapitre 7 : BTS 2 électrotechnique
Démonstration :
On utilise uniquement la linéarité de l’intégrale.
Propriété :
Pour tout  IR, on a L [ ] cos( ) t U(t) (p) =
Error!
et L
Error!
(p) =
Error!
.
Démonstration :
On utilise les formule d’Euler.
En effet cos t =
Error!
et sin t =
Error!
.
Ainsi L [ ] cos( ) t U(t) (p) =
Error!
dt.
=
Error!
Error!
.
Ainsi L [ ] cos( ) t U(t) (p) =
Error!
Error!
.
=
Error!
Error!
. Si p > Re(i) et p > Re ( –i).
Donc L [ ] cos( ) t U(t) (p) =
Error!
si p > 0.
On procède exactement de la même manière pour sinus.
2) Théorème du retard
On regarde ce qui se passe si le signal au lieu de commencer à l’instant t = 0, commence à
l’instant t =  avec >0.
Théorème du retard :
Soit  IR.
Si F(p) = L[ ] f(t) (p), alors L[ ] f(t– )U(t–) (p) = e –p F(p).
Démonstration :
On calcule L[ ] f(t– )U(t–) (p) =
Error!
dt.
Posons I(x) =
Error!
dt pour tout x IR+*.
On a que f(t–)U(t–) = 0 pour t < .
Donc I(x) =
Error!
dt.
On effectue alors le changement de variable y = t–, d’où dt = dy.
C’est pourquoi I(x) =
Error!
dy.
Donc I(x) = e–p
Error!
dy.
Donc, en faisant tendre x vers + , on obtient L[ ] f(t– )U(t–) (p) = e –p F(p).
3) Effet d’un changement d’échelle sur la variable
Théorème :
Soit  IR*+.
Si F(p) = L[ ] f(t)U(t) (p), alors L[ ] f(t)U(t) (p) =
Error!
F(
Error!
).
Démonstration :
F(p) = L[ ] f(t)U(t) (p) =
Error!
dt.
On pose, pour tout x > 0, I(x) =
Error!
dt.
On effectue le changement de variable y = t, d’où dy = dt.
Ainsi I(x) =
Error!
.
On en déduit que I(x) =
Error!
Error!
dy.
En faisant tendre x vers + , on en déduit que I(x) tend vers F(
Error!
).
C’est pourquoi on a bien : L[ ] f(t)U(t) (p) =
Error!
F(
Error!
).
4) Effet de la multiplication par e–at avec a IR
Théorème :
Soit a IR.

- 5 - Chapitre 7 : BTS 2 électrotechnique
Si F(p) = L[ ] f(t)U(t) (p), alors L[ ] f(t)e–atU(t) (p) = F(p+a).
Démonstration :
L[ ] f(t)e–atU(t) (p) =
Error!
dt.
=
Error!
t dt
= F(p+a).
Exemple :
5) Transformée d’une dérivée
Théorème :
Soit f une fonction continue sur IR+*, dérivable par morceaux sur IR+* et dont la dérivée est
continue par morceau sur IR+*.
Si F(p) = L[ ] f(t)U(t) (p), alors L[ ] f ‘ (t)U(t) (p) = pF(p) – f(0+).
Remarque :
On note f(0+) la limite à droite en 0 de f.
Démonstration :
On suppose que f est de classe C1 sur IR+*.
L[ ] f ‘ (t)U(t) (p) =
Error!
dt.
On pose pour tout x > 0, I(x) =
Error!
dt.
On procède à l’aide d’une intégration par parties :
On pose g’(t) = f’(t) g(t) = f(t)
h(t) = e –pt h’(t) = –
Error!
e–pt
Ainsi I(x) = [ ] f(t) e –pt 0x +
Error!
Error!
dt =
Error!
+
Error!
Error!
dt.
On a
Error!
f(x) e–px = 0 car sinon on peut démontrer que
Error!
x est divergente.
Ainsi
Error!
I(x) =
Error!
L
Error!
(p) – f(0+).
Théorème :
Soit f une fonction de classe C2 sur IR+* admettant une transformée de Laplace.
Alors L[ ] f’’(t)U(t) (p) = p2F(p) – pf(0+) – f ‘(0+).
Démonstration :
On sait que f ‘’ = ( ) f ‘ .
Posons g = f’. Donc g est de classe C1 sur IR+*. On peut donc lui appliquer le théorème
précédent.
Ainsi L[ ] g’(t)U(t) (p) = pL[ ] g(t)U(t) (p) – g(0+).
Or g’(t) = f ‘’(t) ; on peut alors écrire L[ ] f ‘’(t)U(t) (p) = pL[ ] f ’(t)U(t) (p) – f ’(0+).
Mais p L[ ] f ’(t)U(t) (p) = p ( ) pF(p) – f(0+) .
Ainsi L[ ] f’’(t)U(t) (p) = p2F(p) – pf(0+) – f ‘(0+).
6) Dérivée d’une transformation de Laplace
Théorème :
Si F(p) = L[ ] f(t)U(t) (p), alors F’(p) = L[ ] –tf(t)U(t) (p).
Démonstration :
ADMIS
Exemple :
Soit f la fonction définie sur IR par t
Error!
t sint U(t).
L[ ] f(t) (p) = – L[ ] –t sint U(t) (p) = –
Error!
’ =
Error!
. En effet L
Error!
(p) =
Error!
.
7) Transformée d’une intégrale
Théorème :
Si F(p) = L[ ] f(t)U(t) (p) et si (t) =
Error!
du,