Modèle mathématique.

Exercice 1
question 1
REPONSE
z = 2 i.
AIDE
Reconnaître une égalité remarquable et utiliser le fait que i ² -1
REPONSE
z = ( 1 + i ) ² = 1 + 2 i + i ² = 1 + 2 i – 1 = 2 i
question 2
REPONSE
a) z1 = 2 (cos
Error!
+ i sin
Error!
)
z2 = 2 ( cos
Error!
+ i sin
Error!
)
b)
REPONSE
Error!
=
Error!
( cos
Error!
+ i sin
Error!
)
AIDE
quand on divise deux nombres complexes, les modules se divisent et les arguments se soustraient.
CORRIGE
quand on divise deux nombres complexes, les modules se divisent et les arguments se soustraient.
Error!
=
Error!
= [
Error!
,
Error!
– (-
Error!
)] = [
Error!
,
Error!
+
Error!
] = [
Error!
,
Error!
] =
2 ( cos
Error!
+ i sin
Error!
]
question 3
REPONSE
la deuxième solution est la conjuguée de la première, c'est-à-dire -1 + i 3
AIDE
Dans une équation du second degré à coefficients réels :
si le discriminant est nul, il y a une solution réelle.
si le discriminant est strictement positif, il y a deux solutions réelles.
si le discriminant est négatif, il y a deux solutions complexes conjuguées.
CORRIGE
Dans une équation du second degré à coefficients réels :
si le discriminant est nul, il y a une solution réelle.
si le discriminant est strictement positif, il y a deux solutions réelles.
si le discriminant est négatif, il y a deux solutions complexes conjuguées.

la deuxième solution est la conjuguée de la première, c'est-à-dire -1 + i 3
Exercice 2
question 1
REPONSE
G(x) = x 3 –
Error!
+ x + C ,
AIDE
g(x) est la somme de 3 termes, on calcule séparément trois primitives et on ajoute.
une primitive de x n avec n différent de – 1:
Error!
+ C
CORRIGE
G(x) = 3
Error!
–
Error!
+ x + C = x3 –
Error!
+ x + C C constante réelle.
question 2 a
AIDE
f (x) est de la forme
Error!
avec u = x + 1 et v = e x.
la dérivée de
Error!
est
Error!
.
CORRIGE
f (x) est de la forme
Error!
avec u = x + 1 et v = e x.
la dérivée de
Error!
est
Error!
.
u ' = 1 et v' = e x.
f ' (x) =
Error!
=
Error!
=
Error!
=
Error!
question 2 b
AIDE
quel est le signe de e x ?
CORRIGE
e x étant strictement positif, f ' (x) est du signe de – x.
f ' (x) est donc strictement positif sur ] - ; 0[,
f ' (x) est nul en 0
f ' (x) est donc strictement négatif sur ] 0 ; + [
question 2 c
CORRIGE
x
-  0 + 
f '(x)
+ 0 –
f (x)
1
question 2 d

REPONSE
Error!
f (x) = -
AIDE
Il faut calculer séparément les limites du numérateur et du dénominateur.
Error!
e x = 0 +.
CORRIGE
Error!
(x + 1 ) = -
Error!
e x = 0 +
donc
Error!
f (x) = -
QUESTIONS SUPPLEMENTAIRES
ex 1
REPONSE
-1 – i 3 a pour module 2 et pour argument
Error!
.
-1 + i 3 a pour module 2 et pour argument
Error!
.
AIDE
si  est le module de a + i b et  un argument alors  = a ² + b ² et
cos  =
Error!
et sin  =
Error!
.
CORRIGE
si  est le module de a + i b et  un argument alors  = a ² + b ² et
cos  =
Error!
et sin  =
Error!
.
- 1 – i 3
ici a = - 1 et b = - 3 donc  = (-1) ² + (- 3) ² = 4 = 2
cos  = -
Error!
et sin  =
Error!
donc  =
Error!
+ 2 k  avec k entier relatif
donc - 1 – i 3 = [ 2 ;
Error!
] et sous forme exponentielle, - 1 – i
Error!
= 2 e
Error!
- 1 + i 3 est le conjugué de - 1 – i 3 son module est donc 2 et son argument est
Error!
.
donc - 1 + i 3 = [ 2 ;
Error!
] et sous forme exponentielle, - 1 + i
Error!
= 2 e
Error!
complément ex 1 b
REPONSE AOB est isocèle
AIDE
calcule OA, OB et AB

CORRIGE
OA = zA = 2 OB = zB = 2
z
Error!
= zB – zA = -1 + i
Error!
– (-1 – i
Error!
) = -1 + i
Error!
+ 1 + i
Error!
=2 i
Error!
AB = 2 3
Donc AOB est isocèle en O