Etape 1
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TP 7 : Acoustique-Série de Fourier L’objectif de ce TP est de comprendre les phénomènes acoustiques (timbre, hauteur, intensités…) et d’introduire ainsi la notion de signal complexe c’est-à-dire constitué de plusieurs fréquences. Pour terminer, nous introduirons les séries de Fourier en appliquant cette notion de signal complexe à l’électronique. I- Acoustique : 1- Présentation générale : L’acoustique est la science qui étudie les phénomènes sonores. La première expérience à faire pour comprendre le son, consiste à mettre sa main devant sa bouche lorsque l’on parle. On s’aperçoit alors que le son s’accompagne d’un mouvement d’air. En fait lorsque l’on parle, on comprime la tranche d’air qui est proche du larynx (zone où se trouve les cordes vocales). Cette tranche d’air va vouloir se détendre en comprimant la tranche d’air voisine. Le mécanisme se répète alors jusqu’à nos oreille : Prenons l’exemple d’un coup de marteau donné dans un tuyau. On peut comprendre ce phénomène avec un schéma représentant le profil du tuyau avec ses tranches d’air : Tranches d’air au repos Excitation de la première tranche d’air suite au coup de marteau Détente de la première tranche et donc compression de la deuxième Détente de la deuxième tranche et donc excitation de la troisième… On voit donc que la surpression apportée par le marteau, se propage de proche en proche. On parle de phénomène ondulatoire c’est-à-dire d’une grandeur physique (ici la surpression) qui se propage sans transport de matière (il est évident que l’aire de la première tranche est déplacée mais pas transportée jusqu’au bout du tuyau) et observable à instant t et un instant plus tard t+dt On peut donner d’autres exemples de phénomènes ondulatoires : - - la ola dans les stades de foot : en effet on a une « vague » qui se propage autour du stade lié au mouvement du public qui se met en mouvement mais qui n’est pas emporté par l’onde…A noter que dans ce cas, l’onde et les gens effectuent des mouvements transverses : on parle d’onde transversale Les vagues de la mer Une excitation donné à un ressort Il faut voir également qu’une onde acoustique a nécessairement besoin d’un support pour se déplacer. En effet, si on travaille dans le vide, aucune compression et détentes ne peuvent se produire et ainsi aucun signal ne peut se propager. (mise en évidence par l’expérience) Ainsi, on peut conclure que l’oreille ou un microphone sont des capteurs de pression qui convertissent l’onde sonore en une tension électrique analysable par le cerveau ou par un circuit électrique. 2- Caractéristiques du son : Il faut également avoir à l’esprit que si l’on excite une tranche d’air à une certaine fréquence (c’est-à-dire si l’on impose des variations périodiques de pression), alors ces variations vont se propager jusqu’à nos oreilles qui vont alors les convertirent en signaux électriques de même fréquences. Donc la fréquence de variation de la pression traduit la fréquence d’un son. La hauteur : On définit alors la hauteur d’un son par sa fréquence : plus un son est aigu et plus sa fréquence est grande. Plus un son est grave et plus la fréquence de vibration des tranches d’air est faible. A noter que notre oreille ne perçoit pas toutes les fréquences, il existe un domaine audible compris approximativement entre 20Hz et 20000Hz au-dessus, ce sont les ultrasons et au-dessous, ce sont les infrasons. A noter que le musicien a baptisé les vibrations de fréquence 440Hz : le La3 Le timbre : On peut se poser une question : Pourquoi sommes-nous capable de distinguer le La3 d’un piano du La3 d’un violon alors que c’est la même note !!! En fait lorsque ces deux instruments jouent cette note ils n’émettent pas que le 440Hz mais de nombreuses autres fréquences appelés harmoniques ( ces harmoniques correspondent à des fréquences qui sont des multiples du fondamental) qui viennent donner le couleur au son. C’est à cause de ces harmoniques, qui diffèrent d’un instrument à l’autre, que nous pouvons distinguer deux instruments différents jouant pourtant la même note. On retiendra qu’un son pur est constitué d’une fréquence (c’est le cas du diapason) et qu’un son complexe est constitué d’un fondamental et de plusieurs harmoniques correspondant à des fréquences qui sont des multiples du fondamental. Utilisez l’amplificateur et un microphone et obtenez le spectre du diapason et celui d’un guitare en jouant le La1 (repérez le fondamentale et les harmoniques sur le spectre) Joindre les spectres. Rq : Pourquoi avoir utilisé des amplificateurs en tension ? L’intensité- le niveau acoustique : Les surpressions susceptibles d’être détectées par une oreille varient de 100 Pa (son douloureux) à 10-5 Pa (on donne pour comparaison la valeur de la pression atmosphérique en Pascal :105 Pa). A cette mise en mouvement de l’air on associe une énergie de mise en mouvement (grandeur qui quantifie la modification de l’état des tranches d’air) et donc aussi une puissance acoustique. A noter que cette puissance est rayonnée dans tout l’espace alors que nos oreilles occupent une certaine surface, on définit alors l’intensité acoustique I qui est la puissance acoustique par unité de surface en W/m2 En outre, l’oreille est un détecteur logarithmique c’est-à-dire sensible au logarithme de l’intensité sonore. I On définit alors le niveau sonore L en dB acoustique par : L(dB) 10 Log ( 12 ) 10 Cette échelle permet de comprendre certain phénomène : Par exemple, quand on additionne deux sources sonores, alors le niveau sonore n’est pas multiplié par deux. En effet prenons l’exemple d’un violon responsable d’un niveau sonore I L1 10 Log ( 112 ) 64dB 10 Si on rajoute un violon identique alors le niveau sonore I devient : Ltotal 10 Log ( 112 ) * 2 10 Log (2) L1 3dB L1 10 On ne fait donc que rajouter 3dB (le niveau sonore n’a donc pas doublé). Déterminez alors combien il faut de violon pour avoir le niveau sonore d’un avion c’est-à-dire 140dB. On peut également remarquer que l’oreille possède une sensibilité qui dépend de la fréquence : Le domaine d’audition est défini, d’une part par les limites en fréquences et, d’autre part par les seuils de perception et de douleur. Ce domaine est traversé par les courbes isosones correspondant à une même sensation auditive 3- Production des ondes acoustiques : L’objectif, pour créer des ondes sonores, est de mettre en mouvement des tranches d’air. La première solution consiste donc à utiliser un « saladier » que l’on va faire osciller : c’est le Haut-Parleur a) Présentation du Haut-parleur : Un haut parleur est système qui va convertir un tension électrique E(t) (image d’une information sonore issue d’un microphone par exemple) en une onde acoustique. Le haut parleur est constitué : - d’un aimant fixe qui va générer un champ magnétique B constant dans son entrefer. - D’une bobine de N spires de rayon a, mobile, solidaire de la membrane et qui sera alimentée par le signal à convertir x - D’un ressort rappelant la bobine vers sa position d’équilibre (pris comme référence sur l’axe x) par l’intermédiaire de sa force de rappel : kxe x - D’une membrane qui permettra de mettre en mouvement l’air avoisinant. Cette mise en mouvement se traduit par une force de frottement de l’air sur la membrane définit telle que : fve x Le haut-parleur utilise deux phénomènes magnétiques : l’induction/auto-induction et les forces de Laplace (ces deux phénomènes n’en faisant qu’un en réalité). - Lorsqu’un courant va venir alimenter la bobine baignant dans un champ magnétique, alors cette dernière sera soumise à des forces de Laplace. Cette force, caractéristique du courant, s’exprime par F 2IaNBex - Parallèlement, si on envoie un courant variable, la bobine va créer une f.e.m d’autodi (t ) induction e(t) : e(t ) L dt - Une fois le circuit en mouvement en présence de champ magnétique, on a alors création d’une tension induite e’. On montre que cette tension induite s’écrit e' 2NBav : C’est ce dernier phénomène qui est responsable du couplage entre le mouvement mécanique et les phénomènes électriques. On peut obtenir alors deux équations caractérisant notre HP : - une équation électrique : E(t) Lbobine 1) Expliquez cette modélisation électrique du HP 2) Appliquez la loi des mailles. e'(t) Rbobine - une équation mécanique : 3) Montrez, par application du Principe fondamentale de la dynamique, que l’on obtient dv(t ) kx(t ) fv(t ) 2 NaBi (t ) l’équation différentielle suivante : m dt 4) Réécrivez les deux équations précédentes en notation complexe (notation valable car nous supposerons l’excitation sinusoïdale). E 5) On définit l’impédance de notre haut-parleur par : Z . Montrez que cette i 2 2 2 2 4N a B impédance s’écrit : Z R jL . k f j (m ) 6) Une étude théorique montre que l’impédance passe par un maximum pour une pulsation donnée. A cette pulsation le terme jL est négligeable. Donnez alors l’expression de la pulsation de résonance. 7) On se propose de vérifier notre étude en retrouvant expérimentalement la fréquence de résonance du HP (cette fréquence est de l’ordre de 200Hz). Pour cela on réalise un générateur de courant grâce au circuit suivant : R 2000 GBF On a effectivement un générateur de courant car EGBF E I GBF Cte . En apprécient la tension R Z HP R aux bornes du HP, on étudie l’impédance du HP. Faire varier la fréquence et par wobulation retrouvez la fréquence de résonance. A noter qu’il existe des HP qui font aussi microphones. En effet, un microphone effectue exactement le travail inverse d’un HP c’est-à-dire que l’onde acoustique met en mouvement le saladier et engendre ainsi un signal électrique. b) Présentation des émetteurs à ultrasons : Ce type d’émetteur transforme directement l’énergie électrique en énergie mécanique. Ils sont constitués d’une plaque de céramique (ou utilise aussi du quartz) dont 2 faces opposées sont métallisées. Ces faces permettent l’application de la tension excitatrice. Sous l’effet de cette tension, la plaque entre en vibration. Les vibrations de la plaquette sont alors communiquées au fluide qui l’entoure et une onde acoustique est émise. Ce phénomène s’appelle l’effet piézo-électrique (un matériau se déforme sous l’action d’un signal électrique). Dans le cas de plaque céramique on obtient typiquement des ondes de 40kHz et dans la cas de quartz 1MHz On peut effectuer une modélisation électrique de cet émetteur. Cette dernière modélisation est valable pour une plaque céramique (la tension V1 représente le générateur de tension): 1V ac 0V dc V1 I L1 0.3H I C1 50pF R1 1k Us 0 V C2 1n Effectuer la simulation qui permet d’obtenir le graphe suivant : 16K 12K 8K 4K 0 30KHz V(Us)/ I(V1) 50KHz Frequency 1) Repérez et donnez alors les fréquences de résonance et d’anti-résonance 2) Puis effectuez le câblage suivant afin de retrouver les fréquences de résonance et d’anti-résonance à l’aide d’une wobulation correctement paramétrée (précisez d’ailleurs votre protocole): R 1M GBF On retiendra que pour optimiser l’émission on travaille à la fréquence de résonance. Le système d’émission précédent peut également servir de récepteur. Un récepteur ultrasonore fonctionne avec l’effet piézo-électrique inverse, c’est-à-dire que l’onde acoustique va créer des déformations sur la lame céramique qui va ensuite générer un signal électrique caractéristique de l’onde acoustique. Comme pour l’émetteur, le système de réception sera à faire travailler à la fréquence de résonance. Ainsi l’ensemble émetteur-récepteur devra être accordé sur la même fréquence. Les ondes ultrasonores sont largement utilisées ; Par exemple dans le domaine de la médecine pour les échographies mais aussi pour les sonars afin de sonder les fonds marins en envoyant un signal et en déterminant la durée qui sépare l’instant de sa détection après l’instant d’émission. Pour ce dernier exemple, il faut bien comprendre que durant sa propagation le signal se voit atténué et que la réception seule ne permet pas de faire une analyse correcte de la distance à calculer. Il faut en effet remettre en forme le signal ; l’amplifier, le filtrer… On se propose ici d’étudier le principe d’un capteur d’onde ultrasonore d’un bateau avec son système de traitement. R3 R5 4 - OUT + OUT 1 3 D + R7 1 10k C3 R4 1k 0.1µF 8 8 3 10k V+ 2 - 8 + 1 V+ OUT 2 V- 1k 3 4 1k V+ - V- 4 2 V- R2 R6 0 100k 0 Récepteur ultrasonore Amplificateur de tension-inverseur Redressement mono-altrenance Amplification de tension filtrage L’objectif de cette partie est de réaliser le montage ci-dessus et de vérifier que les fonctions sont bien vérifiées. Joindre alors les oscillogrammes associés à la fonction de chaque étage. Le récepteur recevra l’onde acoustique émise par un émetteur à 40kHz (accordé avec le récepteur) alimenté par un GBF à cette fréquence. 3) Retour sur la notion d’onde acoustique : Revenons sur la notion d’onde. Un phénomène ondulatoire courant est la propagation des vagues. Deux phénomènes périodiques sont observables : - En se plaçant à un endroit donnée de la plage, on peut en prenant un chronomètre mesurer les instants séparant l’arrivée de deux vagues : c’est la période temporelle T (en seconde) - Parallèlement, on peut aussi se placer sur un hélicoptère et prendre une photographie de la mer. On s’aperçoit alors que la distance entre deux vagues est, elle aussi, périodique. La distance entre ces deux maximums est la longueur d’onde : c’est la période spatial (en mètre) Si T est le temps pour la vague pour parcourir alors on peut exprimer la vitesse c de propagation de l’onde : c (en m/s) T Dans le cas d’une onde sonore dans l’air cette double périodicité spatiale et temporelle est observable. On peut d’ailleurs calculer la vitesse de propagation du son dans l’air : cons tan te 1,4 1 1 RT R : cons tan te 8,314 J .K .kg par : c où : M T : température( K ) M : masse.molaire.de.l ' air 28.10 3 kg.mol 1 1) Calculez alors la vitesse de propagation du son dans la classe après avoir relevé sa température. 2) Alimentez un système émetteur à ultrasons avec un GBF à 40kHz et effectuez le montage suivant : d Récepteurs reliés à ‘oscilloscope émetteur Lorsque d n avec n entier alors les signaux des deux récepteur sont en phases. Proposez alors une méthode pour obtenir la longueur d’onde expérimentalement. 3) Comparez votre valeur théorique par rapport à la valeur expérimentale. 4) On va déterminer expérimentalement la vitesse de propagation du son à l’aide d’un système permettant de délivrer des salves. Proposez un protocole pour déterminer la vitesse de propagation du son. II- Série de Fourier : Nous avons vu qu’en général, les signaux acoustiques n’étaient pas purs, et qu’ils contenaient plusieurs fréquences. En ce qui concerne les signaux périodiques utilisés en électronique : signal carré, triangulaire, nous pouvons dire que se sont également des signaux complexes. C’est-à-dire que leurs spectres sont constitués d’un fondamental et de plusieurs harmoniques (fréquence multiples du fondamental) . Ainsi un signal périodique quelconque peut être vue comme une somme de sinusoïde dont les fréquences vont du fondamental à l’harmonique la plus élevée. Ce résultat a été énoncé par un mathématicien français : Fourier 1) énoncé : Tout signal périodique ou non est décomposable en une somme de sinus et de cosinus. 2 Pour un signal s(t) périodique de période T avec une composante continue So (ou valeur moyenne) on a : n n n 1 n 1 s(t)=So + an cos( nt ) bn sin( nt ) 1 Avec :So= T T 0 s (t )dt =Valeur moyenne de s(t) 2 T s (t ) cos( nt )dt T O 2 T bn= s(t ) sin( nt )dt T O Avec n entier positif strictement. an= Remarque 1 : A noter que si l’on a effectué le calcul de Fourier pour un signal périodique quelconque et que l’on rajoute à ce dernier un offset. Alors il suffira juste de recalculer la valeur moyenne car les coefficients an et bn ne sont pas modifiés Remarque 2 : La définition générale peut être simplifiée en remarquant que le signal est pair ou impair : T 4 2 -Si signal pair : bn=0 ; an= s(t ) cos( nt )dt le signal ne comporte que des termes en cosinus T O T 4 2 -Si signal impair : an=0 ; bn= s(t ) sin( nt )dt le signal ne comporte que des termes en sinus T O Remarque 3 : Si à un signal pair ou impair, on affecte une translation horizontale (en gros un retard ou une avance) alors on ne change pas la décomposition de Fourier (en fait, on joue juste sur la phase à l’origine) Remarque 4 : Dans le cas d’un signal non périodique, on utilise la transformée de Fourier qui permet à partir du spectre de s(t) (noté S( )) de retrouver l’expression de s(t) et vis versa. 1 s(t)= s( ) exp( jt )d 2 1 S( )= s(t ) exp( jt )dt 2 2) Vérification : Nous allons calculer la décomposition de Fourier du signal suivant: On rappelle que la période T d’un signal périodique se définit telle 2 que : T S(t) E t 0 T/2 T -E 1) Montrez que s(t), si on se limite au quatre premières harmoniques, 4E 4E 4E 4E 4E sin( t ) sin( 3t ) sin( 5t ) sin( 7t ) sin( 9t ) s’écrit : s(t ) 3 5 7 9 On remarquera que la pulsation du fondamental correspond à la pulsation du signal !!! 2) Afin de valider notre calcul, nous allons effectuer une simulation sur orcad en prenant E=2,5V et une période de 1ms. V3 V 1k FREQ = 1000 V A MPL = 3.2 V OFF = 0 V4 V2 V OFF = 0 V A MPL = 1.1 FREQ = 3000 R8 FREQ = 5000 V A MPL = 0.64 V OFF = 0 V5 FREQ = 7000 V A MPL = 0.45 V OFF = 0 V6 FREQ = 9000 V A MPL = 0.35 V OFF = 0 0 3) Conclusion. 4) Faire également la FFT à l’aide d’Orcad pour vérifier la présence de toutes les harmoniques. 5) Reprendre la décomposition de Fourier pour : - le même signal carré mais avec un offset de 2,5V le même signal carré mais décalé temporellement de T/2 3) Aspect expérimentale : Les oscilloscopes fournissent, eux-aussi, la FFT du signal acquis. Cependant, il fournissent en ordonnée une grandeur notée en dBV (c’est encore une échelle logarithmique). Cette unité est coefficient.de.Fourier définit telle que : Amplitude(dBV ) 20 Log ( ) 2 Ainsi retrouvez les coefficients théoriques calculés précédemment en alimentant l’oscilloscope avec un GBF fournissant un signal carré de 1kHz et d’amplitude max 2,5V. Conclusion. ANNEXE TP7 1- LE MAGNETISME : Expérience 1 : Si l’on prend deux aimants, on peut observer un phénomène d’attraction (ou de répulsion) entre ceux-ci. Cette attraction diminue d’ailleurs avec la distance .Tout se passe comme si il existait une région de l’espace où ces phénomènes sont observables d’où le nom de champ magnétique (champ région de l’espace). A) Le champ magnétique : On voit donc que le champ magnétique engendré par un aimant est caractérisé par : - son intensité (qui dépend de la position par rapport à la source) mais aussi par sa direction et son sens d’où l’utilisation de vecteur ! On parle alors de vecteur champ magnétique : B (La norme de B est exprimée en Tesla (T)) Expérience 2 : Mise en évidence de la topographie du champ magnétique engendré par un aimant Les morceaux de Fer permettent de donner l’évolution spatiale du champ magnétique (ils définissent les lignes de champ , par définition, B est toujours colinéaire à ces lignes de champs) B) Les sources de B Le champ magnétique peut être produit par : -Les aimants(ce sont des matériaux dits ferromagnétiques) -Les courants Expérience 3 :Expérience d’Oersted Cette expérience met en évidence que, comme les aimants, les courants modifient l’orientation d’une boussole. Initialement, la bobine s’oriente suivant le champ magnétique terrestre et lorsque l’on alimente le circuit, la boussole s’oriente suivant le B engendrée par la bobine(qui est plus fort que B terrestre) Expérience 4:Mise en évidence du champ créé par une bobine parcourue par un courant constant. Ce système permet de visualiser les lignes de champ générée par la bobine(On montre que B est % au courant) C) explication microscopique : On a vu que la matière pouvait se modéliser par : Les matériaux ferromagnétiques (les aimants et autres matériaux tel que le Fer) sont caractérisés par une organisation particulière des atomes en domaines (appelés domaines de Weiss). En absence de source magnétique extérieure, ces domaines créent des champs magnétiques qui s’annulent entre eux. En revanche, si l’on applique un champ magnétique à ces matériaux, alors chacun de ces domaines s’oriente dans le même sens de manière à ce que tous les B de ces différents domaines s’additionnent pour avoir au final un champ magnétique important. On alors aimanté un matériau Expérience 5 : - - application pour les bobines :on place un morceau de Fer dans le champ d’une bobine Btotal = Bbobine + BFer ce qui permet d’augmenter le champ magnétique total et en même temps l’inductance de la bobine. Application pour les relais : On a vu que le fer devient aimant si on le plonge dans un B . De plus on sait que deux aimants peuvent s’attirer. Les relais utilisent cette propriété en faisant circuler un courant dans une bobine à proximité d’un interrupteur en fer. Le passage du courant engendre un champ magnétique qui attire alors l’interrupteur et le ferme. D) Les forces de Laplace : On peut écrire cette force sous deux formes : Expérience 6 :Mise en évidence de cette force dF idl B d l ->élément de la barre qui bouge B ->champ magnétique engendré par l’aimant On utilise la règle de la main droite ( ou du Yoh !) pour déterminer l’orientation de cette force. Cette force permet de comprendre la mise en mouvement de la barre. On peut aussi exprimer la force de Laplace subie par une particule chargée (de charge q) en mouvement (avec une vitesse v )dans un champ magnétique par: F qv B Expérience 7 :Déflexion magnétique des télévisions On fabrique un faisceau d’électron (comme pour un oscilloscope)et on dévie ce faisceau en jouant sur la valeur de B engendré par des bobines(pour jouer sur B on joue sur le courant qui traverse les bobines) II- LA MECANIQUE CLASSIQUE La mécanique classique ou de Newton est une discipline qui a pour objectif de déterminer le devenir d’un système (projectile, balle…..) - Etape 1 : Dans un premier temps on précise toujours le système étudié (un masselotte , un projectile……) - Etape 2 : On précise où l’on étudie le mouvement du système (exemple avec les voitures…) On définit un référentiel d’étude (souvent le laboratoire car c’est là où on travaille le plus souvent) - Etape 3 : On étudie les différentes forces qui agissent sur le système . On fait ce que l’on appelle un bilan de force . Rq : La force :C’est une action modélisée par un sens , une direction ,une intensité donc par un vecteur !(exemple en bougeant un crayon) La norme d’une force est exprimée en Newton (N) On va étudier quelques exemples de forces : Les forces électrostatiques Les forces gravitationnelles Les forces de rappel d’un ressort Les forces de frottements fluide Les forces magnétiques La poussée d’Archimède - Etape 4 : On applique le principe fondamental de la dynamique :
