3 Modélisation très simplifiée de la vibration d’une corde de violon
On considère un archet de masse ma frottant sur une corde de violon de masse mc.
La force verticale exercée sur la corde est le poids de l’archet et on suppose qu’elle
ne se déforme pas vers le bas. Dans le sens du mouvement, la corde est assimilable
à un ressort de constante de raideur K. On notera ks et kd les coefficients de
frottements statique et dynamique. On néglige le poids de la corde.
1. La corde est tout d’abord sur sa position de référence. L’archet entraîne celle-ci
vers la droite en régime de frottement statique. Si l’on suppose que l’archet a une
vitesse constante va, quel est le mouvement de la corde dans ce régime ? Pour
quelle valeur x0 de la position passe t’on en régime de frottement dynamique ? Au
bout de combien de temps y arrive t’on ? On notera cette durée T0.
On choisit maintenant l’origine des temps au début du régime dynamique.
2. Donner l’équation différentielle du mouvement de la corde en régime dynamique.
3. Déduire la position x(t) dans ce régime, compte tenu des condition initiales
(vitesse de l’archet, x0). Quelle serait la fréquence de la corde si elle oscillait
librement ? Est-ce raisonnable pour un violon
4. A quel instant T1 la vitesse de la corde s’annule t’elle pour la première fois?
Quelle est alors la valeur extrême atteinte par x dans ce cas (à droite), notée x1 ?
Passe t’on alors en régime statique ou non ?
5. A quel instant T2 la vitesse s’annule t’elle une seconde fois et quelle est la valeur
de x, notée x2 , correspondante? Passe t’on également en régime statique ou
non ?
6. Tracer schématiquement x(t) sur une période.
Valeurs : g=10 m/s2, ma=75g, mc=1g, K=7643, ks=0.5,kd=0.1, va = 0.1 m/s
Position de référence –ressort non tendu- (x=0)
Déplacement de l’archet « tiré »