La mécanique de Newton

Term S – Physique
Chapitre 9
La mécanique de Newton
C’est en voyant tomber une pomme que Newton aurait découvert le concept de gravitation universelle,
universelle car elle concernerait le monde des cieux autant que celui d’ici-bas. Il a également énoncé les
trois lois qui régissent le mouvement des corps.
Isaac Newton (1642–1727) vu par Gotlib dans ses Rubriques à brac dans les années 1970. Le génial
touche-à-tout britannique aurait eu une révélation sur la gravitation en voyant une pomme tomber. D’ici à
attraper mal à la tête, c’est peut-être un peu fort…
1 – Mouvement du centre d’inertie d’un solide
1.1 – Quelques rappels
Nous nous limitons au lycée à la mécanique du point matériel, c’est-à-dire à l’étude du mouvement
d’un point de masse m dans l’espace et le temps. Au mieux pourrons nous qualifier le mouvement de
l’ensemble de points immobiles les uns par rapport aux autres et constituant un solide indéformable.
Nous ne pourrons pas, pour le moment, parler du mouvement des solides déformables.
Le référentiel est le solide par rapport auquel on étudie le mouvement d’un système. Il est indispensable
à toute étude mécanique, puisque la nature du mouvement d’un point dépend du référentiel dans lequel
on l’étudie.
 Observer : mouvement de la balle lâchée du vélo, rétrogradation des planètes, etc…
On associe le plus souvent au référentiel
 un repère d’espace O ; i, j, k choisi de telle sorte que la description du mouvement soit la



plus simple possible
un repère de temps, dont l’origine des dates est souvent choisie afin de coïncider avec le
début du mouvement ou d’une phase caractéristique
Quand un solide est en mouvement de chute, il existe un point de ce solide qui décrit le plus souvent un
mouvement plus simple que les autres : ce point est le centre d’inertie du solide, on le note G.
 Observer : beret.avi
Le centre d’inertie d’un solide homogène est confondu avec son centre de symétrie (s’il en possède
un !). Tout système matériel pouvant être ramené à un ensemble de particules A1, A2, …, AN de masses
respectives m1, m2, …, mN, on peut trouver la position du centre d’inertie G par la techniques des
barycentres,
m1 GA1  m2 GA2   mN GAN  0
ou encore
m OA  m2 OA2   mN OAN
OG  1 1
m1  m2  mN
2
1.2 – Vecteur position
La position du centre d’inertie d’un système peut être repérée à chaque instant par le vecteur position
OG .
z
G(t)
k
x
i
O
j
y
Dans le repère d’espace attaché au référentiel d’étude (cartésien ou orthonormal direct le plus souvent),
il s’écrit
OG  x i  y j  z k
Si le solide est en mouvement, les coordonnées x, y et z sont des fonctions du temps : c’est pour quoi on
les note de manière générale x(t), y(t) et z(t).
L’ensemble des positions occupées successivement par le point G au cours du temps constitue la
trajectoire de ce point.
1.3 – Vecteur vitesse
A l’aide d’un mobile autoporteur, il est possible d’obtenir la chronophotographie d’un mouvement
simple en faisant abstraction des forces de frottements ; en effet, le dispositif éclateur de ce système livre
un enregistrement que l’on peut exploiter facilement.
 Observer : TP « Etude expérimentale de la 2ème loi de Newton »
Sur ce type d’enregistrement, on peut définir le vecteur vitesse d’un point G de manière approchée.
Le document présenté est à l’échelle ½ ; l’intervalle d’éclatement τe entre 2 étincelles est τe = 45 ms.
Prenons l’exemple du point M8. Le vecteur vitesse en ce point se définit par
M M
v8  7 9
2 e
M 7 M 8  M 8 M 9 2   0,80  0,85 

 37 cm.s 1 .
2 e
2  0, 045
Pour définir rigoureusement ce vecteur à l’instant tn quelconque, nous supposons connue la position de
G à chaque instant t et nous la notons G(t).
La valeur de la vitesse est v8 
G  tn  G  t 
est d’autant plus proche du vecteur vitesse en G(tn), vG  tn  , que l’intervalle de
t  tn
temps t  t  tn est petit. A la limite,
Le vecteur
G  tn  G  t 
OG  t   OG  tn 
 lim
t tn
t tn
t  tn
t  tn
ce que nous pourrons encore nous permettre de noter
OG
vG  tn   lim
t 0 t
Cette limite est la dérivée du vecteur position par rapport au temps,
dOG
vG  tn  
 tn 
dt
Dans le référentiel choisi pour étudier le mouvement, le vecteur vitesse du centre d’inertie G du solide à
l’instant t est égal à la dérivée par rapport au temps du vecteur position OG à cet instant
vG  tn   lim
3
dOG
dt
Le vecteur vitesse est alors porté par la tangente à la trajectoire à l’instant t et orienté dans le sens du
mouvement.
vG  t  
P
P
L0
L
M19
M18
M17
M16
M15
M14
M1
M13
M12
M2
M11
v8
M3
M10
M9
M5
M8 M 7 M6
M4
Expression du vecteur vitesse en coordonnées cartésiennes
En coordonnées cartésiennes, les vecteurs unitaires étant constants, le vecteur vitesse a pour expression
dx

 vx (t )  dt

dy

vG (t )  vx (t ) i  v y (t ) j  vz (t ) k  v y (t ) 
dt

dz

 vz (t )  dt

4
Mouvements particuliers
Si le vecteur vitesse est constant, le point décrit un mouvement rectiligne uniforme.
v
Si SEULE la valeur de la vitesse est constante, le mouvement est uniforme, mais la trajectoire reste
queclconque.
v
1.4 – La notion de force
Le concept mathématique de vecteur est encore d’un grand secours pour modéliser les actions
mécaniques. Un vecteur force se caractérise par
 Un point d’application
 Une direction
 Un sens
 Une norme ou intensité, exprimée en newtons
et ces quatre caractéristiques permettent de représenter des actions telles que
 Le poids
 Les frottements
 La poussée d’Archimède
 La force de rappel élastique
Nous détaillerons ces forces ultérieurement. Rappelons que la notion de force est indépendante du
référentiel utilisé pour la description du mouvement d’un solide.
2 – Première et troisième lois de Newton
2.1 – Première loi de Newton : principe d’inertie
Dans un référentiel galiléen, si la somme vectorielle des forces extérieures qui s’exercent sur un solide
est nulle (solide pseudo-isolé), le vecteur vitesse du centre d’inertie est un vecteur constant, et
réciproquement.
 Fxt  0  vG  Cste
Le centre d’inertie d’un solide soumis à des forces qui se compensent doit donc être soit immobile
vG  0 , soit animé d’un mouvement rectiligne uniforme.


La première loi de Newton ne s’applique qu’au centre d’inertie du solide. Elle ne dit rien sur le
mouvement des autres points.
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Dans la suite du cours, nous ne nous intéresserons plus qu’au mouvement du centre d’inertie.
Le principe d’inertie ne s’applique que dans certains référentiels appelés référentiels galiléens. Avant
de résoudre un problème de mécanique, il faut s’assurer que le référentiel choisi pour étudier le
mouvement du centre d’inertie est galiléen. C’est le cas, par exemple, du référentiel géocentrique ou du
référentiel héliocentrique pour nos expériences quotidiennes.
Le référentiel terrestre n’est pas galiléen, mais on peut le considérer comme tel pour les mouvements de
courte durée.1
Si la feuille est immobile, le référentiel envisagé, celui de la feuille, est un référentiel terrestre : G a
alors un mouvement rectiligne et uniforme.
Lors d’un déplacement de la feuille, en revanche, le référentiel de la feuille n’est plus galiléen : le
mouvement de G est alors radicalement modifié…
2.2 – Troisième loi de Newton : le principe des actions réciproques
Deux corps sont en interaction si le mouvement ou le repos de l’un dépend de l’existence de l’autre.
C’est un cas très fréquent dans la vie de tous les jours : lorsqu’on s’assoit quelque part, etc…
En réalité, un référentiel n’est galiléen qu’avec une certaine approximation. La qualité de cette approximation est fonction
de la durée des expériences réalisées : le référentiel terrestre est un bon référentiel galiléen si la durée de l’expérience menée
est négligeable devant celle de la rotation diurne de la Terre (soit environ 24 h)… Ce n’est pas le cas, par exemple, si l’on
étudie le mouvement de Mars (d’où la formation d’épicycles de rétrogradation).
1
6
Le tir à la corde !
On considère deux corps A et B en interaction. FA / B est la force exercée par A sur B, et FB / A la force
exercée par B sur A. Quel que soit l’état de mouvement ou de repos des deux corps, les deux forces
vérifient toujours l’égalité vectorielle
FA / B   FB / A
Quelques illustrations
Le chariot à réaction, avec un ballon de baudruche  Observer : ballon.gif
L’allumette  Observer : allumette.gif
Sur l’eau  Observer : bateaurouge.gif
La troisième loi de Newton est vraie que le référentiel soit galiléen ou non.
Le principe des actions réciproques permet d’expliquer la propulsion : c’est la force exercée par le sol
sur les roues motrices, opposée à la force exercée par les roues sur le sol, qui propulse le véhicule vers
l’avant.
3 – Deuxième loi de Newton : le principe fondamental de la dynamique
En classe de 1ère S, nous avons vu que, dans un référentiel galiléen, si le vecteur vitesse vG du centre
d’inertie d’un solide varie, la somme vectorielle
F
ext
des forces qui s’exercent sur le solide n’est pas
nulle, et réciproquement. De plus, le vecteur  Fext et le vecteur vG calculé sur un très petit intervalle
de temps ont la même direction et le même sens.
3.1 – Etude expérimentale
 voir Etude expérimentale de la 2ème loi de Newton.doc
 vG
Les vecteurs  Fext et
sont à chaque instant proportionnels, le coefficient de proportionnalité étant
2 e
la masse m du solide.
7
vG
2
Pour une même force appliquée, plus la masse est grande, plus la variation du vecteur vitesse pendant Δt
= 2 τe est petite. La masse caractérise donc l’inertie du solide, c’est-à-dire la difficulté qu’on a à modifier
son mouvement. Pour cette raison, m peut être qualifiée de masse inertielle2.
 vG
Le vecteur
rend compte de la variation de vitesse par rapport au temps : on l’appelle plus
2 e
couramment accélération.
F
ext
 m
3.2 – Vecteur accélération
De même que v4  v  G5   v  G3  est la limite du vecteur
aG est la limite quand t  0 du vecteur
OG
quand t  0 , le vecteur accélération
t
 vG
t
 vG
t  0 t
Cette limite est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse.
aG  lim
Dans un référentiel donné, le vecteur accélération aG du centre d’inertie G d’un solide à l’instant t est la
dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse vG à cet instant
aG  t  
d vG
dt
Cherchons la dimension de l’accélération.
1
 vG  L.T
a


 L.T 2
 G  
T
 t 
Dans le système international d’unités, l’accélération s’exprime donc en mètres par seconde au carré,
m.s–2.
Expression en coordonnées cartésiennes
On rappelle que les vecteurs unitaires du repère cartésien sont constants au cours du temps. Par
conséquent,
dvx

 ax (t )  dt

dv

aG  t   ax (t ) i  a y (t ) j  az (t ) k  a y (t )  y
dt

dvz

 az (t )  dt

dOG
d  dOG  d 2 OG
Comme vG  t  
, nous pouvons aussi écrire que aG  t   
. Ainsi,

dt
dt  dt 
dt 2
2
On peut en effet distinguer la masse inertielle intervenant dans cette relation et dans les caractéristiques dynamiques du
mouvement du solide, et sa masse grave qui intervient dans l’expression de son poids (résultat de l’interaction
gravitationnelle entre le solide et la Terre, le plus souvent). Dans les conditions classiques (ie. non relativistes), masse grave
et inertielle sont équivalentes.
8

d x
 ax (t )  dt 2

d2y

aG  t   a y (t )  2
dt


d 2z
a
(
t
)

 z
dt 2

2
v
v
a
a
av  0
av  0
mouvement accéléré
mouvement retardé
3.3 – Enoncé de la deuxième loi de Newton
La relation
F
ext
 m
vG
2 e
devient, à la limite, la deuxième loi de Newton,
F
ext
 m  aG
Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide est égale
au produit de la masse du solide par le vecteur accélération de son centre d’inertie,
 Fext  m  aG
Comme la première loi, la seconde loi de Newton ne s’applique qu’au mouvement du centre d’inertie ; la
relation qu’elle annonce n’est valable que dans les référentiels galiléens.
Remarque : cette relation implique une équivalence dimensionnelle riche de sens.
  Fext    m aG   M .L.T 2
Le newton peut donc être vu comme la valeur de la force qui, appliquée à une masse de 1 kg, lui
communique une accélération de 1 m.s–2.
Remarque : de l’inertie
Pour une force de caractéristiques données, l’effet diffère selon la masse du système qui subit l’action.
Prenons le cas trivial où une force F apparaît comme cause du comportement du système : l’accélération
aG caractérise alors l’effet de l’action. En écrivant
aG 
F
m
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On voit que pour une force F d’intensité fixée, l’accélération est d’autant plus faible que la masse du
système est grande. On dit que la masse du système a un rôle inertiel : elle s’oppose à l’évolution du
mouvement (résistance) ; ce caractère est parfois différencié du rôle grave de la masse (gravitation).
4 – Application à la chute verticale d’un solide dans un fluide
4.1 – Etude expérimentale
On considère l’exemple simple de la chute d’une bille dans un liquide visqueux. Les outils informatiques
de pointage et le tableur nous permettent d’exploiter les vidéos du phénomène.
Cette courbe montre l’existence de deux régimes,
 Un régime initial ou régime transitoire, pendant lequel la vitesse augmente d’abord
rapidement puis de plus en plus lentement. Pendant cette première phase, le mouvement de la
bille est accéléré.
 Un régime asymptotique ou régime permanent, pendant lequel la vitesse est constante, la bille
ayant atteint une vitesse limite. Pendant cette seconde phase, le mouvement de la bille est
uniforme.
Le temps caractéristique τ de la chute est le temps qui correspond au passage d’un régime à l’autre. On
le définit comme l’abscisse du point d’intersection de l’asymptote avec la tangente à l’origine.
4.2 – Forces exercées sur le solide
Pour modéliser cette chute, rappelons les caractéristiques des forces exercées sur la bille.
Diagramme objets-interactions
frottements
Liquide
Poussée
d’Archimède
Terre
Bille
poids
Le poids
Le poids ou force de pesanteur est la force qui modélise l’action de la Terre sur un corps. C’est une force
verticale, dirigée vers le bas. En un lieu donné, sa valeur est proportionnelle à la masse m
P=m×g
avec P : poids en newton (N)
m : masse en kilogramme (kg)
g : intensité du champ de pesanteur en newton par kilogramme (N.kg–1)
La poussée d’Archimède
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Un solide immergé dans un fluide est soumis de la part de celui-ci à une action mécanique appelée
poussée d’Archimède. Cette action est modélisée par une force verticale, dirigée vers le haut. Sa valeur
est égale au poids du fluide déplacé
 = fluide × V × g
avec
 : poussée d’Archimède en newton (N)
fluide : masse volumique du fluide en kilogramme par mètre-cube (kg.m–3)
V : volume du solide immergé en mètre-cube (m3)
G : intensité du champ de pesanteur en newton par kilogramme (N.kg–1)
La force de frottement
Un solide en mouvement dans un fluide est soumis à des forces réparties en surface qui dépendent de la
nature du liquide, de la forme du solide et de la rugosité de la surface. La valeur de ces forces augmente
avec la vitesse du solide.
Dans le cas d’une boule en chute verticale, la somme vectorielle de toutes ces forces est une résultante
verticale, opposée au mouvement : on l’appelle force de frottement fluide.
Son expression en fonction de la vitesse est complexe, sauf dans deux cas particuliers,
 aux faibles vitesses (on parle d’un écoulement laminaire), la valeur de la force de frottement
est proportionnelle à la vitesse,
f=kv
 aux grandes vitesses (on parle d’un écoulement turbulent), la valeur de la force est
proportionnelle au carré de la vitesse,
f = k’ v²
Dans les deux cas, f est opposé à v .
4. 3 – Application de la deuxième loi de Newton
La bille étudiée est soumise aux trois forces étudiées précédemment,
 le poids P
 la poussée d’Archimède 
 la force de frottement f  k v que l’on considèrera proportionnelle à la vitesse puisque la
vitesse de chute est faible
Le mouvement est étudié dans le référentiel terrestre, supposé galiléen pendant la durée de la chute. La
deuxième loi de Newton à la bille :
P    f  maG
On choisit un axe (Oz) orienté vers le bas. Puisque les vecteurs  et f sont orientés en sens contraire
de l’axe vertical (Oz) choisi (disons par exemple orienté vers le bas), l’égalité vectorielle devient
dv
m z  m g   fluide V g  k vz (t )
dt
Après division par m, on obtient finalement
V k
 
dvz
 g 1  fluide   vz (t )
dt
m  m

Notion de vitesse limite
dv
Lorsque la vitesse limite est atteinte, la bille chute à vitesse constante, donc z  0 . La relation
dt
précédente entraîne alors
V k
 
g 1  fluide   vz ,lim (t )  0
m  m

d’où l’on tire
11
vz ,lim 
g
 m   fluide V 
k
Cette égalité peut être mise sous la forme
g
 bille   fluide V
k
Cette expression montre que la vitesse limite augmente si
 la masse volumique de la bille augmente
 la masse volumique du liquide diminue
vz ,lim 
4.4 – Résolution de l’équation différentielle par la méthode d’Euler
La méthode d’Euler permet d’obtenir une solution approchée de l’équation différentielle en remplaçant
vz(t) par son approximation affine locale.
Nous noterons Δt le pas de calcul ; la relation d’Euler s’écrit
 dvz 
vz  tn 1   vz  tn   
  t
 dt t tn
L’équation différentielle établie au 4.3 peut se mettre sous la forme
dvz
 A  B vz (t )
dt
dans laquelle A et B sont des constantes.
La relation d’Euler devient
vz  tn1   vz  tn    A  B vz tn    t
La connaissance de la vitesse à l’instant to = 0 s (ici vz(0) = 0) permet de calculer vz(t1) avec t1 = to + Δt,
et ainsi de suite.
L’équation différentielle est résolue de proche en proche en répétant le même calcul : c’est une méthode
numérique itérative.
Cette méthode est fondée sur une approximation. Le résultat est d’autant plus proche du résultat
théorique que le pas de calcul est petit. Dans le cas de la chute dans un fluide, on considère que le
résultat est correct lorsque le pas de calcul est très inférieur au temps caractéristique : Δt << τ.
4.5 – Validation du modèle
Pour valider le modèle choisi pour la force de frottement (f = kv ou f = kv²), on confronte les résultat
obtenus par la méthode d’Euler et l’expression de f choisie avec les résultats expérimentaux.
 Le régime asymptotique donnant la vitesse limite permet de calculer la valeur de k
 Si la courbe expérimentale et la courbe d’Euler se superposent pendant le régime transitoire,
le modèle choisi est correct. Dans le cas contraire, il faut poser une nouvelle hypothèse pour
l’expression de f et recommencer les calculs
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