La mécanique de Newton

La mécanique de Newton
C’est en voyant tomber une pomme que Newton aurait découvert le concept de gravitation universelle,
universelle car elle concernerait le monde des cieux autant que celui d’ici-bas. Il a également énoncé les
trois lois qui régissent le mouvement des corps.
Isaac Newton (1642–1727) vu par Gotlib dans ses Rubriques à brac dans les années 1970. Le génial
touche-à-tout britannique aurait eu une révélation sur la gravitation en voyant une pomme tomber. D’ici à
attraper mal à la tête, c’est peut-être un peu fort…
1 – Mouvement du centre d’inertie d’un solide
1.1 – Quelques rappels
Nous nous limitons au lycée à la mécanique du point matériel, c’est-à-dire à l’étude du mouvement
d’un point de masse m dans l’espace et le temps. Au mieux pourrons nous qualifier le mouvement de
l’ensemble de points immobiles les uns par rapport aux autres et constituant un solide indéformable.
Nous ne pourrons pas, pour le moment, parler du mouvement des solides déformables.
Le référentiel est le solide par rapport auquel on étudie le mouvement d’un système. Il est indispensable
à toute étude mécanique, puisque la nature du mouvement d’un point dépend du référentiel dans lequel
on l’étudie.
 Observer : mouvement de la balle lâchée du vélo, rétrogradation des planètes, etc…
On associe le plus souvent au référentiel
 un repère d’espace
; , ,O i j k
choisi de telle sorte que la description du mouvement soit la
plus simple possible
 un repère de temps, dont l’origine des dates est souvent choisie afin de coïncider avec le
début du mouvement ou d’une phase caractéristique
Quand un solide est en mouvement de chute, il existe un point de ce solide qui décrit le plus souvent un
mouvement plus simple que les autres : ce point est le centre d’inertie du solide, on le note G.
 Observer : beret.avi
Le centre d’inertie d’un solide homogène est confondu avec son centre de symétrie (s’il en possède
un !). Tout système matériel pouvant être ramené à un ensemble de particules A1, A2, …, AN de masses
respectives m1, m2, …, mN, on peut trouver la position du centre d’inertie G par la techniques des
barycentres,
1 1 2 2 0 NN
m GA m GA m GA   
ou encore
1 1 2 2
12
NN
N
m OA m OA m OA
OG m m m
Term S – Physique
Chapitre 9

2
1.2 – Vecteur position
La position du centre d’inertie d’un système peut être repérée à chaque instant par le vecteur position
OG
.
Dans le repère d’espace attaché au référentiel d’étude (cartésien ou orthonormal direct le plus souvent),
il s’écrit
OG xi y j zk  
Si le solide est en mouvement, les coordonnées x, y et z sont des fonctions du temps : c’est pour quoi on
les note de manière générale x(t), y(t) et z(t).
L’ensemble des positions occupées successivement par le point G au cours du temps constitue la
trajectoire de ce point.
1.3 – Vecteur vitesse
A l’aide d’un mobile autoporteur, il est possible d’obtenir la chronophotographie d’un mouvement
simple en faisant abstraction des forces de frottements ; en effet, le dispositif éclateur de ce système livre
un enregistrement que l’on peut exploiter facilement.
 Observer : TP « Etude expérimentale de la 2ème loi de Newton »
Sur ce type d’enregistrement, on peut définir le vecteur vitesse d’un point G de manière approchée.
Le document présenté est à l’échelle ½ ; l’intervalle d’éclatement τe entre 2 étincelles est τe = 45 ms.
Prenons l’exemple du point M8. Le vecteur vitesse en ce point se définit par
79
82e
MM
v
La valeur de la vitesse est
1
7 8 8 9
82 0,80 0,85 37 .
2 2 0,045
e
M M M M
v cms
.
Pour définir rigoureusement ce vecteur à l’instant tn quelconque, nous supposons connue la position de
G à chaque instant t et nous la notons G(t).
Le vecteur
n
n
G t G t
tt
est d’autant plus proche du vecteur vitesse en G(tn),
Gn
vt
, que l’intervalle de
temps
n
t t t  
est petit. A la limite,
lim lim
nn
nn
Gn t t t t
nn
G t G t OG t OG t
vt t t t t
ce que nous pourrons encore nous permettre de noter
0
lim
Gn t
OG
vt t
Cette limite est la dérivée du vecteur position par rapport au temps,
G n n
dOG
v t t
dt
Dans le référentiel choisi pour étudier le mouvement, le vecteur vitesse du centre d’inertie G du solide à
l’instant t est égal à la dérivée par rapport au temps du vecteur position
OG
à cet instant
G(t)
z
x
y
O
i
k
j

3
GdOG
vt dt
Le vecteur vitesse est alors porté par la tangente à la trajectoire à l’instant t et orienté dans le sens du
mouvement.
Expression du vecteur vitesse en coordonnées cartésiennes
En coordonnées cartésiennes, les vecteurs unitaires étant constants, le vecteur vitesse a pour expression
()
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
()
x
G x y z y
z
dx
vt dt
dy
v t v t i v t j v t k v t dt
dz
vt dt
L 0
L
P
M1
M2
M3
M4
M5
M6
M7
M8
M9
M10
M11
M12
M13
M14
M15
M16
M17
M18
M19
P
8
v

4
Mouvements particuliers
Si le vecteur vitesse est constant, le point décrit un mouvement rectiligne uniforme.
Si SEULE la valeur de la vitesse est constante, le mouvement est uniforme, mais la trajectoire reste
queclconque.
1.4 – La notion de force
Le concept mathématique de vecteur est encore d’un grand secours pour modéliser les actions
mécaniques. Un vecteur force se caractérise par
 Un point d’application
 Une direction
 Un sens
 Une norme ou intensité, exprimée en newtons
et ces quatre caractéristiques permettent de représenter des actions telles que
 Le poids
 Les frottements
 La poussée d’Archimède
 La force de rappel élastique
Nous détaillerons ces forces ultérieurement. Rappelons que la notion de force est indépendante du
référentiel utilisé pour la description du mouvement d’un solide.
2 – Première et troisième lois de Newton
2.1 – Première loi de Newton : principe d’inertie
Dans un référentiel galiléen, si la somme vectorielle des forces extérieures qui s’exercent sur un solide
est nulle (solide pseudo-isolé), le vecteur vitesse du centre d’inertie est un vecteur constant, et
réciproquement.
0
xt G
F v Cste  
Le centre d’inertie d’un solide soumis à des forces qui se compensent doit donc être soit immobile
0
G
v
, soit animé d’un mouvement rectiligne uniforme.
La première loi de Newton ne s’applique qu’au centre d’inertie du solide. Elle ne dit rien sur le
mouvement des autres points.
v
v

5
Dans la suite du cours, nous ne nous intéresserons plus qu’au mouvement du centre d’inertie.
Le principe d’inertie ne s’applique que dans certains référentiels appelés référentiels galiléens. Avant
de résoudre un problème de mécanique, il faut s’assurer que le référentiel choisi pour étudier le
mouvement du centre d’inertie est galiléen. C’est le cas, par exemple, du référentiel géocentrique ou du
référentiel héliocentrique pour nos expériences quotidiennes.
Le référentiel terrestre n’est pas galiléen, mais on peut le considérer comme tel pour les mouvements de
courte durée.
1
Si la feuille est immobile, le référentiel envisagé, celui de la feuille, est un référentiel terrestre : G a
alors un mouvement rectiligne et uniforme.
Lors d’un déplacement de la feuille, en revanche, le référentiel de la feuille n’est plus galiléen : le
mouvement de G est alors radicalement modifié…
2.2 – Troisième loi de Newton : le principe des actions réciproques
Deux corps sont en interaction si le mouvement ou le repos de l’un dépend de l’existence de l’autre.
C’est un cas très fréquent dans la vie de tous les jours : lorsqu’on s’assoit quelque part, etc…
1
En réalité, un référentiel n’est galiléen qu’avec une certaine approximation. La qualité de cette approximation est fonction
de la durée des expériences réalisées : le référentiel terrestre est un bon référentiel galiléen si la durée de l’expérience menée
est négligeable devant celle de la rotation diurne de la Terre (soit environ 24 h)… Ce n’est pas le cas, par exemple, si l’on
étudie le mouvement de Mars (d’où la formation d’épicycles de rétrogradation).