Surréservation aérienne

Un exemple d’utilisation de l’approximation de la loi binomiale par la loi
normale
Surréservation aérienne
Il arrive assez souvent que le nombre de réservations pour une liaison aérienne soit supérieur au
nombre de passagers se présentant effectivement le jour du vol. Cela est dû à des empêchements
imprévisibles de certains passagers et à une politique systématique de certains d’entre eux qui
réservent des places sur plusieurs vols de façon à choisir au dernier moment celui qui leur
convient le mieux (en raison de la concurrence, les compagnies ne pénalisent pas les clients qui
se désistent et ne font payer effectivement que ceux qui embarquent).
Etudions un exemple : Pour compenser le manque à gagner, une compagnie aérienne exploitant
un avion de 300 places décide de faire de la surréservation (surbooking) en prenant pour chaque
vol un nombre n > 300 de réservations. S’il se présente plus de 300 passagers à l’embarquement,
les 300 premiers arrivés prennent leur vol et les autres sont dédommagés financièrement.
On considère que les passagers sont mutuellement indépendants et on évalue statistiquement la
probabilité de désistement de chacun d’eux à 10%. On note n le nombre de réservations prises par
la compagnie pour un vol donné et Sn le nombre (aléatoire) de passagers se présentant à
l’embarquement pour ce vol. On se propose de chercher la valeur maximale de n telle que : P(S n
 300)  0,99.(en clair, on voudrait avoir 99% de chances de ne pas avoir à payer de
dédommagement à des passagers) Le théorème de De Moivre-Laplace, (id. le TLC au final)
permet de donner une solution approchée à ce problème.
La variable aléatoire Sn suit la loi binomiale B( n ; 0,9) , de moyenne m  np  0,9n , et d’écart
type :   npq  n  0,9  0,1  0,3 n . Cette loi peut être approchée par la loi normale
; 0,3 n ). Il s’agit de trouver la plus grande valeur de n vérifiant : P(Sn  300)  0,99 .
S  0,9n
La variable Tn  n
peut être approximée par la loi normale centrée réduite. C’est ici le
0,3 n
cœur du théorème
S  0,9n 300  0,9n
300  0,9n
Sn  300 équivaut à : n
, c’est-à dire à : Tn 
. (L’énoncé du

0,3 n
0,3 n
0,3 n
TML donne directement cette phase)
Or une table de la loi normale centrée réduite (ou une calculatrice) donne précisément la
probabilité de l’évènement Tn  t selon les valeurs de t avec un pas de 1/100. Cette probabilité
dépasse 0.99 à partir de t=2,33.
300  0,9n
 2,33 .
Il suffit donc de choisir n de façon à ce que :
0,3 n
N( 0,9n
Cette équation s’écrit : 0,9n  0,699 n  300  0 .
La solution positive de l’équation :0,9x2 + 0,699x – 300 = 0 est 17,87, au centième près, et son
carré est : 319,45, toujours au centième.
Si on prend jusqu’à 319 réservations, sous les hypothèses de notre modélisation, le nombre de
passagers se présentant à l’embarquement ne dépassera pas 300 au risque maximum de 1%. (Le
mot « au risque » n’est pas clair pour un non initié aux tests d’hypothèse : peut être parler de
probabilité ?)
En remplaçant 0,9 par p, on obtient une formule compliquée, mais qu’un tableur permet d’utiliser
sans difficulté :
L’équation trouvée plus haut s’écrit :
pn  2,33 p(1  p). n  300  0 , et en posant x  n de discriminant 2,332 p(1  p)  1200 p
ce qui équivaut à :
n
 2,33 (1  p)  2,332 (1  p)  1200
2 p
(exact)
On a gardé ici un résultat non entier pour obtenir une courbe continue.
Peut être rappeler le problème, ici de paramètre n et p : On cherche, appelant p la probabilité
q’un passager NE SE DESISTE PAS, quelle nombre de réservation accepter pour que l’on ait
99% de chances de ne pas avoir à payer de dédommagement à des passagers)
On voit que le résultat varie beaucoup en fonction de la valeur donnée à p ! Selon qu’on évalue p
à 0,90 ou à 0,85, le nombre de surréservation acceptable passe de 19 à 35 !
On conçoit que la validité de ce type de calcul soit sujette à discussion ! en tous cas on voit bien
qu’avec une proba de désistement de 50% , on peut surbooker de presque 90%...
p
0,35
0,4
0,45
0,5
0,55
0,6
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
1
rac(n)
27,73239
25,996444
24,5640362
23,357586
22,3249475
21,4296844
20,645572
19,9533391
19,3386939
18,7911756
18,3037042
17,8732147
17,5052068
17,3205081
n
769,085454
675,815103
603,391873
545,576825
498,403283
459,231375
426,239642
398,135741
373,985084
353,10828
335,025588
319,451803
306,432264
300