Surréservation aérienne

Un exemple d’utilisation de l’approximation de la loi binomiale par la loi
normale
Surréservation aérienne
Il arrive assez souvent que le nombre de réservations pour une liaison aérienne soit supérieur au
nombre de passagers se présentant effectivement le jour du vol. Cela est dû à des empêchements
imprévisibles de certains passagers et à une politique systématique de certains d’entre eux qui
réservent des places sur plusieurs vols de façon à choisir au dernier moment celui qui leur
convient le mieux (en raison de la concurrence, les compagnies ne pénalisent pas les clients qui
se désistent et ne font payer effectivement que ceux qui embarquent).
Etudions un exemple : Pour compenser le manque à gagner, une compagnie aérienne exploitant
un avion de 300 places décide de faire de la surréservation (surbooking) en prenant pour chaque
vol un nombre n > 300 de réservations. S’il se présente plus de 300 passagers à l’embarquement,
les 300 premiers arrivés prennent leur vol et les autres sont dédommagés financièrement.
On considère que les passagers sont mutuellement indépendants et on évalue statistiquement la
probabilité de désistement de chacun d’eux à 10%. On note n le nombre de réservations prises par
la compagnie pour un vol donné et Sn le nombre (aléatoire) de passagers se présentant à
l’embarquement pour ce vol. On se propose de chercher la valeur maximale de n telle que : P(Sn
300) 0,99.(en clair, on voudrait avoir 99% de chances de ne pas avoir à payer de
dédommagement à des passagers) Le théorème de De Moivre-Laplace, (id. le TLC au final)
permet de donner une solution approchée à ce problème.
La variable aléatoire Sn suit la loi binomiale B( n ; 0,9) , de moyenne
nnpm9,0
, et d’écart
type :
nnnpq 3,01,09,0 
. Cette loi peut être approchée par la loi normale
N(
n9,0
;
n3,0
). Il s’agit de trouver la plus grande valeur de n vérifiant : P(Sn 300) 0,99 .
La variable
n
nS
Tn
n3,0
9,0
peut être approximée par la loi normale centrée réduite. C’est ici le
cœur du théorème
Sn 300 équivaut à :
n
n
n
nSn3,0
9,0300
3,0
9,0 
, c’est-à dire à :
n
n
Tn3,0
9,0300
. (L’énoncé du
TML donne directement cette phase)
Or une table de la loi normale centrée réduite (ou une calculatrice) donne précisément la
probabilité de l’évènement
tTn
selon les valeurs de t avec un pas de 1/100. Cette probabilité
dépasse 0.99 à partir de t=2,33.
Il suffit donc de choisir n de façon à ce que :
33,2
3,0
9,0300 
n
n
.
Cette équation s’écrit :
0300699,09,0  nn
.
La solution positive de l’équation :0,9x2 + 0,699x – 300 = 0 est 17,87, au centième près, et son
carré est : 319,45, toujours au centième.
Si on prend jusqu’à 319 réservations, sous les hypothèses de notre modélisation, le nombre de
passagers se présentant à l’embarquement ne dépassera pas 300 au risque maximum de 1%. (Le

mot « au risque » n’est pas clair pour un non initié aux tests d’hypothèse : peut être parler de
probabilité ?)
En remplaçant 0,9 par p, on obtient une formule compliquée, mais qu’un tableur permet d’utiliser
sans difficulté :
L’équation trouvée plus haut s’écrit :
0300.)1(33,2  npppn
, et en posant
nx 
de discriminant
ppp 1200)1(33,2 2
ce qui équivaut à :
p
pp
n2
1200)1(33,2)1(33,2 2
(exact)
On a gardé ici un résultat non entier pour obtenir une courbe continue.
Peut être rappeler le problème, ici de paramètre n et p : On cherche, appelant p la probabilité
q’un passager NE SE DESISTE PAS, quelle nombre de réservation accepter pour que l’on ait
99% de chances de ne pas avoir à payer de dédommagement à des passagers)
On voit que le résultat varie beaucoup en fonction de la valeur donnée à p ! Selon qu’on évalue p
à 0,90 ou à 0,85, le nombre de surréservation acceptable passe de 19 à 35 !
On conçoit que la validité de ce type de calcul soit sujette à discussion ! en tous cas on voit bien
qu’avec une proba de désistement de 50% , on peut surbooker de presque 90%...
p
rac(n)
n
0,35
27,73239
769,085454
0,4
25,996444
675,815103
0,45
24,5640362
603,391873
0,5
23,357586
545,576825
0,55
22,3249475
498,403283
0,6
21,4296844
459,231375
0,65
20,645572
426,239642
0,7
19,9533391
398,135741
0,75
19,3386939
373,985084
0,8
18,7911756
353,10828
0,85
18,3037042
335,025588
0,9
17,8732147
319,451803
0,95
17,5052068
306,432264
1
17,3205081
300