Champs et Forces

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On débutera l’étude de cette section avec un peu de l’historique derrière l’étude des
mouvements célestes. Les lois de Kepler et de Newton finalement formeront la base de ce
qui est nécessaire pour notre compréhension des mouvements planétaires.
1. L’antiquité :
a) Naissance de la plus ancienne des sciences : l’astronomie; aucune autre accumule
une quantité de données aussi considérable et pendant une période aussi
prolongée.
b) Distinction est faite entre « étoile » et « planète ».
c) Observations faites sur le mouvement des astres.
(i) l’immobilité de l’étoile polaire.
(ii) le mouvement circulaire des étoiles autour de l’étoile polaire.
d) Les astres errants, le Soleil, la Lune, Mercure, Vénus, Mars, Jupiter et Saturne
font la base de l’astrologie.
2. Les grecs : élaboration d’un système géocentrique pour la description du
mouvement des planètes.
a) Platon (427 – 347 av. J.C.) : Les planètes décrivent des mouvements circulaires
parfaits.
b) Eudoxe (400 – 347 av. J.C.) : Élève de Platon; réalise que les mouvements
planétaires actuels n’étaient pas ceux d’objets traçant des cercles parfaits; propose
une théorie (pour sauver celle de Platon) de sphères concentriques dans lequel
chaque sphère est attaché par ses axes à la sphère plus grande; devient le premier
grec à produire une carte des étoiles.
c) Hipparque (190-120 av. J.C.) : Le plus grand des astronomes grecs; calcule
correctement la distance de la Lune à la Terre par la méthode de parallaxe;
améliore la carte des étoiles par Eudoxe; développe l’idée que les planètes se
déplacent en un cercle autour d’un point qui décrit un cercle autour de la Terre.
d) Ptolémée (100 – 170 ap. J. C.) : Développe un système qui prédit très bien la
position des planètes dans le futur.
3. Copernic, Nicolas (polonais, 1473 – 1543) : Commence la « Révolution
Scientifique » qui détrône la « science » grecque.
a) Description du mouvement des planètes par un système héliocentrique où toutes
les planètes sont en orbite autour du Soleil.
b) Les étoiles sont sur une grande sphère immobile.
c) La Lune est en orbite autour de la Terre.
d) Objections à la théorie copernicienne :

(i) Si la Terre tourne rapidement sur son axe, elle éclatera.
(ii) Si l’oiseau lâche la branche, il ne pourra pas suivre la Terre.
(iii) Les objets tombent vers la Terre et non vers le Soleil.
(iv) Tout a été créé par l’homme; comment ne serait-il pas le centre de
l’univers?
e) La théorie copernicienne fut dénoncée comme « fausse et totalement opposée aux
Saintes Écritures ».
4. Brahe, Tycho (danois, 1546 – 1601) :
a) Retourne au système géocentrique.
b) Observations incroyablement précises de 177 étoiles et de la position des planètes
pendant plus de 20 ans.
c) Peu de goûts pour les mathématiques.
5. Kepler, Johannes (allemand, 1571- 1630) :
a) Expérimentateur maladroit mais mathématicien doué.
b) Un convertit de la théorie de Copernic.
c) En utilisant les observations de Brahe, il produit les trois lois de Kepler pour
décrire la cinématique des mouvements planétaires.
(i) Chaque planète se déplace en suivant une trajectoire
elliptique dont le Soleil occupe un des foyers.
(ii) La droite joignant n’importe quelle planète au Soleil balaie
des aires égales en des temps égaux.
(iii) Le rapport T2/ R3 est le même pour toutes les planètes.
6. Newton, Isaac (anglais, 1642 – 1727) :
a) Newton essaya de comprendre pourquoi les planètes demeurent en
orbite plutôt que de continuer en ligne droite. C’est en observant une
pomme tomber qu’il réalisa que la force exercée par le Terre sur la
pomme est la même que celle qui donne à la Terre son accélération
centripète. C’est une force universelle qui existe entre tous les objets.
b) La loi générale de la gravitation universelle : Newton utilisa la
cinématique des mouvements planétaires élaborée par Kepler pour
élaborer une dynamique (explication du mouvement en fonction des
forces qui agissent) pour ces mêmes mouvements.
Dérivation de la loi : Si on assume un mouvement circulaire
uniforme d’une planète autour du Soleil, alors la force centripète
retenant la planète sur son orbite autour du Soleil est :
Fc = 42mR (1) où m = masse de la planète,
T2 R = rayon de l’orbite et
T = période de révolution

Selon la troisième loi de Kepler, T2 = C (une constante)
R3
ou T2 = CR3 (2).
Remplaçons (2) dans (1).
Alors Fc = 42mR = 42mR = 42 m (3)
T2 CR3 C R2
Donc, selon cette dernière équation, la force centripète maintenant une
planète dans son orbite est directement proportionnelle à la masse de la
planète et inversement proportionnelle à sa distance du Soleil au carré.
Mais d’où provient cette force? Du Soleil.
En somme, on peut démontrer que l’attraction d’un corps pour un autre
est une propriété de la quantité de matière dans les deux corps (celui au
centre aussi bien que celui en orbite). Puisque m, la masse de la planète en
orbite parait déjà dans l’équation (3), la constante 42/C doit dépendre de
la quantité de matière du corps au centre de l’orbite. On remplace donc la
constante 42/C par la masse du corps au centre (symbole M) de l’orbite
(le Soleil) et une nouvelle constante G. Donc, 42/C = GM. Substituant
dans (3), notre force centripète devient donc Fc = GMm .
R2
Puisque cette force centripète est vraiment due au fait que l’objet au
centre (le Soleil) et l’objet en orbite (la planète) ont une masse, on dit que
la force centripète est due à la force gravitationnelle d’attraction entre
leurs masses. Donc Fc = Fg = GMm .
R2
De cette équation assez spécifique, Newton généralise pour dire :
Tout corps dans l’univers attire tout autre corps avec une force qui
est (a) directement proportionnelle au produit de leurs masses et (b)
inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare (en
supposant que toute leur masse en leur centre).
Fg = Gm1m2
R2
où G est la constante de la gravitation universelle valant
6,67 x 10-11 N m2 kg-2.

De ceci, on peut aussi trouver l’accélération due à la gravité aussi
appelée l’intensité du champ gravitationnel (représenté par le symbole
g).
Puisque Fg = mg et que Fg1 = Fg2 selon la 3e loi de Newton.
alors Fg1 = m1g2 ( attraction de m1 par m2 dans le champ gravitationnel de m2)
et Gm1m2 = m1g2 donc g2 = Gm2
R2 R2
ainsi que Fg2 = m2g1 ( attraction de m2 par m1 dans le champ gravitationnel de m1)
et Gm1m2 = m2g1 donc g1 = Gm1
R2 R2
où g est la valeur de l’intensité du champ gravitationnel à une distance R
de m.
Le champ gravitationnel d’une masse sphérique m est radial et peut être
représenté comme ci-dessous :
Exercices :
Équations importantes :
T2/R3 = constante F
g
g
g
= Gm1m2 g = Gm
R2 R2
Constantes :
G = 6,67 x 10-11 Nm2 RTerre = 6,38 x 106 m
kg2 RUranus = 2,67 x 107 m
MTerre = 5,98 x 1024 kg RMercure = 2,57 x 106 m
MUranus = 14,6 MTerre Distance Terre-Lune = 3,84 x 108 m
MMercure = 0,055 MTerre
MLune = 7,34 x 1022 kg
A. Problèmes se rapportant à la 3e loi de Kepler :
1. Un satellite artificiel tourne autour de la Terre à une altitude équivalente à 9,00
rayons terrestres. Quelle est la période du satellite en jours si on sait que la Lune
orbite autour de la Terre en 28 jours et que le rayon de cette orbite est 60 rayons
terrestres?
2. La période de révolution de la Terre autour du Soleil est 3,16 x 107 s et le rayon
moyen de son orbite est 1,49 x 1011 m. Estime le rayon moyen de l’orbite d’une autre
planète dont la période de révolution est 3,74 x 108 s.

B. Problèmes se rapportant à la loi de la gravitation universelle :
3. Calcule la force gravitationnelle exercée par la Terre sur un satellite de 1200 kg dont
le rayon orbital est de 2,0 x 1012 m.
4. a) Trouve le poids d’un homme de 110 kg situé sur Uranus.
b) Trouve le poids du même homme sur Terre. Solutionne le problème de deux
façons.
c) Trouve l’attraction gravitationnelle entre ce même homme et une femme de 65 kg à
1,00 m l’un de l’autre.
5. Détermine la force d’attraction que la Terre exerce sur la Lune.
6. Qu’arrive-t-il à g et à G à mesure que l’on s’éloigne de la surface de la Terre?
7. Un satellite est en orbite à une distance R du centre de la Terre. On veut placer en
orbite un second satellite ayant une masse quatre fois plus grande. À quelle distance
du centre de la Terre doit-on le placer pour qu’il soit sous l’influence d’une attraction
de la même grandeur?
8. Une personne pèse 900 N à la surface de la Terre. Que pèsera-t-elle à une distance de
3,0 rayons terrestre de la surface de la Terre?
9. Le poids d’une pomme près de la surface de la Terre est 1,00 N. Quel est le poids de
la Terre dans le champ gravitationnelle de la pomme?
10. Trouve l’intensité du champ gravitationnel d’une planète 10 fois plus massive que la
Terre et avec un rayon 20 fois plus grand.
11. Démontre que l’intensité du champ gravitationnel à la surface d’une planète de masse
volumique ρ a une grandeur g = 4GπρR/3. Note que ρ = m/V et que V d’une sphère =
4πR3/3.
12. Deux étoiles ont la même densité mais étoile A a le double du rayon de l’étoile B.
Détermine le rapport de leur intensité de champ gravitationnel à la surface de chaque
étoile.
Problèmes se rapportant à des satellites en orbite :
13. Que doit être la vitesse d’un satellite poursuivant une orbite circulaire à une altitude
de 0,50 rayons terrestres?
14. Un « skylab » tourne autour de la Terre à une altitude de 350 km. Calculer la période
à laquelle il orbite sachant que le rayon de la Terre est de 6380 km.
15. À quelle altitude devra orbiter un satellite de télécommunication géostationnaire
(restant toujours au même point au dessus de la Terre et donc ayant une période de
révolution de 24,0 heures comme la Terre)?