Texte complet - Eglise catholique et société

Bernard Bolzano : La question de l’infini
Bernard Bolzano est connu de tous les étudiants en mathématique ou en
physique, puisque, dès leur première année d’études universitaires, ils apprennent le théorème
de Bolzano-Weierstrass, porte d’entrée dans les « mathématiques modernes ». La plupart
ignorent que Bolzano est né à Prague le 5 octobre 1781 et décédé dans la même ville le 18
décembre 1848. Entré à l’Université de Prague en 1796 pour étudier les mathématiques, la
physique et la philosophie, à l’encontre de la volonté de son père, Bolzano décida de devenir
prêtre et entreprit des études de théologie sans renoncer à ses études scientifiques, puisqu’il a
présenté sa thèse de mathématiques en 1804. Ordonné prêtre le 7 avril 1805, il soutenu un
doctorat en philosophie sitôt après le 17 avril. Il a obtenu un poste d’enseignant à l’Université
de Prague en mathématiques et en science des religions. Élu doyen de la faculté de
philosophie en 1818, il a été nommé à la Société Royale des Sciences de Bohême en 1819.
En étudiant l’œuvre de Bolzano, et son apport décisif à la question mathématique de
l’infini
1
, il paraît clairement que la racine de son œuvre et l’unité de toutes ses parties sont le
fruit d’un grand amour pour la vérité et d’une vive conscience de l’unité de l’esprit, comme il
écrit au début des Paradoxes de l’infini : « Les paradoxes mathématiques [sur l’infini]
méritent toute notre attention, puisque la solution de questions très importantes de plusieurs
autres sciences, comme la métaphysique ou la physique, dépend d’une réfutation satisfaisante
de leur apparente contradiction »
Une vie engagée
Le jeune et brillant professeur de l’Université de Prague s’impose par ses travaux
mathématiques. Pourtant, la chaire qu’il reçoit est intitulée « science des religions », à
l’initiative de l’empereur François-Joseph qui voulait contrer l’influence néfaste des idées
« révolutionnaires » venues de France.
Une morale politique
Si Bolzano a été choisi pour ses compétences multiples, il était sans doute le moins
qualifié pour cette tâche, puisque, dans son enseignement et dans sa prédication à Prague,
Bernard Bolzano promeut les idées de liberté et d’égalité, au fondement de la vie sociale. Ces
idées qui héritent ouvertement des Lumières contredisent l’absolutisme impérial et suscitent
l’enthousiasme des étudiants tchèques. Aussi, par décret impérial, il est démis de ses fonctions
universitaires en 1819. Son enseignement est cependant connu, parce que des étudiants
rassemblent notes et documents pour composer un livre publié en Allemagne en 1834 – quatre
volumes sous le titre Lehrbuch der Religionwissenschaft – Manuel de science de la religion
2
.
Bolzano vit son état de prêtre dans un engagement social. Dans un ouvrage intitulé,
Pour le meilleur État, la question abordée est d’ordre social : comment lutter contre le mal et
diminuer la souffrance humaine. Bolzano constate que bien des maux sont dus à la mauvaise
1
Ne sont accessibles au lecteur français que deux ouvrages : Bernard BOLZANO, Les Paradoxes de l’infini,
introduction et traduction par Hourya Sinaceur, « Les sources du savoir », Paris, Seuil, 1993, et De la méthode
mathématique & Correspondance Bolzano-Exter, traduction française Carole Magné et Jean Sebestik, Paris,
Vrin, 2008. Il ne s’agit ici que des fondements des mathématiques.
2
Une édition complétée sera publiée après sa mort, Dr. Bernhard Bolzano’s Erbauungsreden an die
Akademische Jugend, 4 vol., Prague et Vienne, 1849-1852, une traduction partielle est faite en anglais, Selected
Writings on Ethics and Politics, Amsterdam-New-York, Rodopi, 2007.

organisation de l’État. Il puise dans la tradition chrétienne une motivation pour une éducation
qui forme à la « vertu », c’est-à-dire enseignement et rigueur morale. Il propose des solutions
pratiques pour le logement des pauvres, pour l’élimination de la misère, pour l’organisation de
l’entraide caritative et pour l’accueil des enfants abandonnés
3
. L’exposé très systématique
s’appuie sur les principes de la liberté et de l’égalité. Bolzano récuse la censure. Il aborde la
question de la propriété et des impôts. Dans ces textes, Bolzano aborde aussi la question des
nationalités - en Bohême la question est bien complexe et vive
4
. Ainsi son ministère de prêtre
fait de lui un témoin fondateur de la doctrine sociale chrétienne.
Le statut des religions
Bolzano fait davantage. Il réfléchit sur la nature de la religion et par là il contribue à la
construction d’une science des religions. Il entend le terme de religion dans le sens subjectif
d’engagement de la conscience. Cet engagement de la personne est à la source de la morale et
donc de l’action évoquée plus haut. Bolzano reconnaît l’existence d’une religion naturelle. La
reconnaissance de l’existence de Dieu est partagée par les religions et cela repose sur une
conclusion de la raison et universellement soucieuse de mener l’humanité dans la voie du
bien. La religion naturelle reconnaît l’absolue perfection de Dieu et cela donne un fondement
universel. Bolzano reprend la preuve cosmologique traditionnelle selon laquelle l’ordre du
monde atteste l’action d’un créateur. Dans ces pages, on voit que le souci de Bolzano est de
mettre la pratique religieuse en accord avec la raison et la morale. La quête spirituelle n’est
pas réservée à l’ordre de l’intime, car elle fonde une démarche de la raison, comme le montre
le traité consacré à l’immortalité de l’âme, publié anonymement en 1827 et repris ensuite en
1838 sous son nom.
Esthétique
Bolzano est vraiment philosophe dans la mesure où il aborde d’autres thèmes. Les
éléments esthétiques sont une partie importante du rapport au réel. Un traité de 1843
Abhandunge zur Aesthetik. Ueber den Begriff des Schönen (Traité d’esthétique : sur le
concept de beauté) est consacré à cette question. Il y a dans son traité une discussion avec
Hegel, fondateur de la discipline dite esthétique. Il est intéressant de noter que dans ce traité,
Bolzano fait droit à la subjectivité.
L’esthétique implique la subjectivité humaine, car elle relève des facultés de la
connaissance sensible. Pour Bolzano, ceci n’exclut pas que l’on puisse parler d’une beauté
objective, en particulier dans la nature, œuvre de Dieu. Ainsi Bolzano tient une voie moyenne
entre subjectivité humaine et objectivité de l’œuvre qui doit avoir sa consistance – les
éléments d’ordre, de symétrie et de proportion sont essentiels à ses yeux. L’esthétique est une
manière de renouer avec un souci de réalisme – qui est au cœur de sa critique spécifiquement
philosophique de l’idéalisme allemand. *
La Philosophie de Bolzano
3
Les textes publiés reprennent des conférences faites aux étudiants de l’Université de Prague. Ueber die
Wohlthätigkein. Dem Wohle der Leidenden Meshchheit gewidmet von einem Mehnschenfreunde, 1847 et
Vorschläge zur Behebung des unter einem beträchtlichen Theile der Bewohner Prags dermal um sich greifenden
Nothstandes, 1847.
4
Ueber das Verhältnis der beiden Volkstämme in Böhmen, 1847 ; après sa mort : Was ist Vaterland und
Vaterlandsliebe ? Eine rede an die akademische Jugend im Jahre 1810 beantwortet, 1850.

Dans la retraite imposée par sa mise à l’écart de l’Université, Bolzano, consacre ses
forces à l’écriture de l’ouvrage Philosophie des sciences ou Théorie des sciences (en allemand
Wissenschaftlehre), une œuvre philosophique majeure
5
. Elle reste en lien avec les travaux
mathématiques qui demeurent la base de son activité
6
.
La logique
Bolzano est un des pionniers de la logique moderne
7
. La notion de logique est alors
plus large qu’aujourd’hui ; elle désigne le mode rationnel de penser. La perspective de
Bolzano s’inscrit dans une option réaliste, en ce sens que les concepts ne dépendent pas de
l’esprit qui pense.
1. Le premier point de sa manière de construire la logique est de poser qu’il existe des
vérités en soi (Wahrheit an sich). L’expression désigne des affirmations qui sont vraies
indépendamment du fait d’être pensées ou crues. Ainsi dire que la terre tourne sur elle-même
et autour du soleil est une vérité en soi ; c’était vrai même quand on pensait le contraire ; une
formule mathématique est vraie quel que soit le mathématicien qui la formule. Il faut
distinguer la vérité d’une proposition d’avec la croyance en la vérité d’une proposition.
2. La deuxième étape de la philosophie impliquée dans cette présentation de la vérité
des propositions est la question de la réalité. Sur cette question, il faut noter que Bolzano
emploie deux termes, wirklich et wirksam. Le premier terme renvoie à une existence réelle; le
second terme renvoie à l’action. Ainsi la vérité d’une proposition logique se tient dans l’ordre
de la déduction logique – pas dans l’existence physique ou mentale.
3. La logique étudie les propositions, les phrases construites pour elles-mêmes. Il
considère les différentes manières de construire une proposition et leur valeur de vérité. Le
cœur de la question est le rapport entre le sujet de la proposition et le prédicat attribué au
sujet. Il examine les divers modes des propositions : avec affirmation, avec négation,
subjonctives ou disjonctives, propositions particulières. Ces divers statuts des propositions
sont classés à différents niveaux ; toutes ont une valeur d’affirmation d’existence (es gibt – il
y a).
4. Les propositions ont un contenu (Inhalt) ; ce sont les idées que Bolzano étudie
comme telles. Il y a des idées simples qui n’ont pas de parties et des idées complexes qui sont
composées de plusieurs parties. Les idées ont un objet. Il y a des idées sans objet ou vides,
quand elles sont contradictoires (gegenstandlos) ou imaginaires (un cheval ailé). Une idée
peut avoir un contenu (gegenständlich) singulier ou général. À ce propos, Bolzano introduit la
considération de l’extension (Umfang). Bolzano étudie les relations entre les idées en les
5
L’œuvre fut méconnue en son temps. Bolzano en était conscient quand il écrivait : « Si les vues exposées dans
ce livre sont justes, elles feront la révolution dans plus d’une science : à savoir en métaphysique, en morale et en
droit, en esthétique, en mathématique, dans la partie rationnelle de la physique, dans la théorie philosophique du
langage et (Dieu nous garde) aussi en théologie », Correspondance Bolzano-Fesl, cité par J. SEBESTIK,
Mathématique et théorie de la science chez Bolzano, Thèse, Paris, 1974, citée par Jacques LAZ, op. cit., p. 21.
6
Le travail de Bolzano mathématicien est bien connu. Il fit au début de sa carrière de la géométrie, mais sa
remise en cause des éléments euclidiens alors reçus comme incontestables n’est pas suivie d’un
travail systématique ; ses collègues Lobatchevski et Bolayi y travailleront avec Riemann. Bolzano a publié des
études en analyse par un traité sur les séries convergentes (en 1817 – avant les travaux de Cauchy de 1821). Dans
son étude de 1817 se trouve le célèbre théorème dit de Bolzano-Weierstrass. Le nom de Weierstrass est apparu à
ce propos ; en effet l’œuvre de l’Allemand a été connue avant celle de Bolzano ; le théorème a été présenté sous
son nom, jusqu’à la découverte de l’antériorité de l’énoncé de Bolzano. Bolzano a introduit la notion d’ensemble
dans deux ouvrages : Les Paradoxes de l’infini et Sur la grandeur. Ces ouvrages sont à la base des travaux de
Dedekind et Cantor qui ont fondé explicitement la théorie des ensembles.
7
Husserl a présenté Bolzano comme « un des plus grand logiciens de tous les temps », Jacques LAZ, op. cit., p.
10.

formalisant de manière mathématique ; en étudiant les variations d’une proposition contenant
une ou plusieurs idées, il introduit la notion de variable au sens mathématique.
5. La logique est l’étude de l’enchaînement des propositions dans un raisonnement. Il
l’exprime en parlant de dérivabilité (Ableitbarkeit) qui a un sens plus général qu’aujourd’hui
et qui se traduirait mieux par syllogisme ou déduction.
6. Bolzano ouvre ensuite des perspectives qui ont pris une grande importance dans la
logique moderne, où intervient la probabilité. Il quantifie la valeur de vérité d’une
proposition. Il entre dans la perspective des débats du temps qui se déroulent dans le cadre de
la casuistique : celle-ci confronte l’autorité des auteurs de référence et mesure la valeur de
leurs assertions par un classement de leur autorité et donc introduit un critère de jugement de
l’opinion, qui est qualifiée de probable. La science donne des certitudes ; la conduite de
l’action au contact d’un réel qui échappe donne lieu à une estimation qui doit être traitée
comme une probabilité. Il faut aller au plus sûr.
7. La méthode de Bolzano introduit alors à une considération proprement
philosophique. La formalisation des propositions logiques présuppose un travail de
l’intelligence qui élabore les concepts, les propositions, les jugements et les déductions par
raisonnement logique. Une des questions posées par cette manière de faire est celle de
l’origine des idées. La question de l’intuition est alors posée. Une autre question relève de
l’ontologie ; dans une proposition bien formée, il y a un sujet et un prédicat. Est-ce que cela
correspond à une structure ontologique : celle qui lie une substance (un terme métaphysique
donc) et un accident ? La question est explicitement métaphysique.
Métaphysique de l’esprit
La démarche de Bolzano ne reste pas au seul plan de la philosophie de la
connaissance. Elle entre dans la question de la vie et tout particulièrement de la spécificité
humaine. Pour cela il a écrit un ouvrage, Athanasia, dont le sous-titre est Fondement de
l’immortalité de l’âme ; il y établit un lien entre les différents savoirs
8
.
L’importance de ce traité est indiquée par le fait qu’il a connu deux éditions. La
démarche se veut strictement philosophique. La question n’est pas tranchée par un argument
d’autorité, mais construite par une déduction rigoureuse à partir de l’expérience humaine. Ce
n’est pas l’expérience naïve, mais une expérience réfléchie dans la tradition philosophique
articulée au spectacle du monde. Bolzano expose la richesse des êtres naturels ; il montre
qu’ils se classent selon une échelle hiérarchique. Il reprend donc le thème de la grande échelle
des êtres
9
. Ainsi l’être humain est-il au sommet des vivants avec qui il partage la perfection de
vivre. Sa perfection est due à la richesse et à la capacité d’une connaissance ouverte sur
l’infini : rien ne rassasie le désir de l’être humain et cela atteste qu’il y a en lui une dimension
qui l’arrache à la finitude des êtres matériels et des animaux. Cette aptitude mène à
reconnaître que le principe de sa vie, son âme, n’est pas matérielle (ce n’est pas un organe
parmi d’autres), mais qu’elle participe de l’esprit. Cette ouverture sur l’infini est un signe que
l’âme humaine transcende la durée qui marque les vivants qui lui sont inférieurs ; cela conduit
8
Athanasia oder Gründe für die Unsterblichkeit der Seele (Athanasia ou fondement de l’immortalité de l’âme).
Réédition : Bernhard BOLZANO, Athanasia, 1827-1838, Frankfurt am Main, Minerva, 1970.
9
Cf. Arthur LOVEJOY, The Great Chain of Beings, Havard University Press, 1936. Le thème est important chez
Leibniz : « Tous les êtres ne forment qu’une seule chaîne, dans laquelle les différentes classes, comme autant
d’anneaux, se tiennent si étroitement les unes les autres qu’il est impossible aux sens et à l’imagination de fixer
précisément les points où quelqu’une commence et finit ; toutes les espèces qui bordent ou qui occupent, pour
ainsi dire, les régions d’inflexion et de rebroussement, devant être équivoques et douées de caractères pouvant se
rapporter aux espèces voisines. »

à parler d’immortalité. Cette immortalité n’est pas liée à la multiplicité, mais à la simplicité et
à l’unité.
Cette reconnaissance est confortée par les exigences morales ; celles-ci découlent de
l’exigence de justice et de bonheur qui mène à considérer une vie après la mort où sera
pleinement réalisé le bonheur. Cette conclusion est présentée non comme le fruit d’une
preuve, mais comme l’opinion la plus probable eu égard à la tradition de sagesse qui habite
l’humanité et qui fait l’objet de la deuxième partie.
*
Les paradoxes de l’infini
La théologie chrétienne hérite du patrimoine biblique où la transcendance de Dieu est
fortement accentuée. Les grands docteurs chrétiens du Moyen Âge et les Maîtres spirituels,
dans la vive conscience que la notion d’infini dit la perfection de Dieu et sa transcendance, ont
réfléchi sur la valeur du langage et ils ont développé une analyse linguistique qui a un
fondement logique, la doctrine de l’analogie. Par elle un terme négatif devient une qualité.
Ainsi le terme d’infini (le pas fini) était une imperfection pour les anciens Grecs et il est
devenu une perfection. L’aspect négatif ne signifie plus une imperfection, mais une suprême
perfection. Ceci est devenu un point fondamental de la théologie chrétienne. Ainsi Descartes
voulant établir la certitude de l’affirmation de Dieu pose en principe que dire Dieu, c’est dire
l’infini. Pourtant la notion d’infini était obscure en mathématique et pourtant nécessaire en
particulier dans l’étude du mouvement et de la continuité.
L’infini mathématique
Le premier traitement de l’infinitésimal a été opéré par Leibniz qui considéra que les
termes écrits dans les équations sont des artifices de calcul puisque le résultat doit être exprimé
en termes finis. Le passage par l’infinitésimal (les dx du calcul différentiel) sont, selon ses
termes, des « fictions »
10
. On peut donc faire référence à l’infini, mais il n’y a pas d’infini
mathématique réel, au sens d’une quantité définissable par ce terme, donc pas de nombre et
encore moins de réalité physique. Cette vision des choses change avec Bolzano grâce à dans
une étude intitulée Les Paradoxes de l’infini. Le but de l’ouvrage est de montrer qu’il existe un
infini actuel et que le concept rigoureux d’infini mathématique est au fondement des autres
domaines du savoir, physique et philosophie.
Bolzano commence par considérer les concepts mathématiques familiers (celui de
nombre entier ou de fraction) ; il constate qu’il n’est pas nécessaire d’énumérer tous les
éléments pour concevoir la totalité. Il suffit de caractériser une propriété. Bolzano examine les
divers sens du mot infini chez les mathématiciens pour dire que l’infini doit être une propriété
intrinsèque. Pour préciser ce que cela signifie, Bolzano introduit la distinction entre penser une
totalité comme telle ou penser chacun des éléments qui la constituent. La notion d’infini se
rapporte à la totalité comme telle ; c’est ce qui fonde son objectivité.
10
La pensée de Leibniz est exprimée dans la Lettre à Des Bosses du 1er septembre 1706 : « Le calcul
infinitésimal est utile, quand il s’agit d’appliquer les mathématiques à la physique, cependant ce n’est point là
que je prétends rendre compte de la nature des choses ». La divisibilité des opérations mathématiques du calcul
ne portent pas sur le réel ; l’infini relève de la pensée : « Les infinis ne sont pas des touts et les infiniment petits
ne sont pas des grandeurs ». Il dit également : « On ne conçoit l’infini que par une pure fiction de l’esprit ».
(Philosophische Schrifften, II, p. 315). Ce qui est infini c’est donc le processus, mais pas la réalité. Aussi « il n’y
a pas de nombre infini, ni de ligne ou autre quantité infinie, si on les prend pour de véritables touts » (Nouveaux
Essais sur l’entendement humain, II, chap. XVII).