Modèle mathématique.

LES NOMBRES COMPLEXES AU SERVICE D’EULER
Construction
2. Pour construire A’ on utilise la rotation de centre O et d’angle +90 du point A.
Puis Créer – Ligne – Vecteur pour créer les vecteurs
Error!
et
Error!
3. a. Calculs – Mesurer – Affixe dans un repère
b. Choix de la valeur à afficher
Partie informatique
1. Que valent les distances OA, OB et OC ? Pourquoi ?
Les trois distances valent 1 : c’est la valeur de l’unité graphique du repère orthonormé.
2. Qu’observe-t-on à propos des trois quotients,
Error!
,
Error!
et
Error!
lorsque l’on fait déplacer les
points A, B ou C dans le plan complexe ?
Il apparaît que ces trois quotients sont des complexes imaginaires purs.
3. Tracer à l’écran la droite (AS). À quoi semble correspondre cette droite ? Le vérifier à l’aide
du logiciel.
Le logiciel le confirme. La droite (AS) est bien la hauteur, issue de A, du triangle ABC.
4. Que dire alors de la véritable identité du point S ?
Le point S aurait dû être noté H… orthocentre du triangle ABC.
A
B
C
O
A'
a=1
b=-0.67 + 0.75 i
c=-0.53 - 0.85 i
s=-0.2 - 0.1 i
(s-a)/(c-b) = -0.75 i
(s-b)/(c-a) =0.55 i
(s-c)/(b-a) = -0.45 i
S
H1
H2

Partie mathématique
5. Expliquer pourquoi les nombres complexes a, b et c sont tous de module 1.
Les points A, B et C sont sur le cercle de centre O et de rayon 1. Ce qui fait que les distances
OA, OB et OC valent toutes 1. Ainsi, a, b et c sont tous les trois de module 1.
6. On pose alors : a=1, b= ei
et c= ei
.
Quelles conditions doivent vérifier les deux réels et ?
Le triangle ABC n’étant pas aplati, les points A, B et C sont non confondus deux à deux. D’où :
 [2],  0[2] et  0 [2]. Les trois quotients sont donc bien définis.
7. On pose: z=
Error!
. Démontrer que le nombre complexe Z est un imaginaire pur.
Z est imaginaire pur
0 ZZ
ZZ 
=
)1(0
)(2))(())((22  bbcc
bc
bbcc
bc
cbbcbccb
bc cb bc cb bc as bc as
8. Quelle interprétation géométrique peut-on alors faire de ce nombre complexe ?
On sait que : Arg Z = (
Error!
,
Error!
)[2].
Or Z est imaginaire pur, donc on en déduit que(
Error!
,
Error!
)=
Error!
[]. Ce qui se traduit par
: les droites (BC) et (AS) sont perpendiculaires.
9. En déduire la véritable identité du point S. Par quelle relation vectorielle aurait-on pu le
définir ?
On a donc montré que la droite (AS) est la hauteur issue de A dans le triangle ABC. De la même
manière, on montrerait que (BS) et (CS) sont les deux autres hauteurs manquantes, donc, le
point S n’est autre que l’orthocentre du triangle ABC. La relation vectorielle est donnée par celle
des affixes, à savoir : .
Error!
=
Error!
+
Error!
+
Error!
10. Construire le point T d’affixe t=
Error!
et justifier que les points O, T et S sont alignés.
T est donc l’image du point S par l’homothétie de centre O et de rapport
Error!
.
Le couple point-image étant aligné avec le centre de l’homothétie, on a le résultat.
11. Montrer que le point T est aussi un autre point particulier du triangle ABC. Lequel ?
Si l’on se doute effectivement de la véritable identité de ce point T, on sait à quoi on doit
arriver. Du coup, puisque t=
Error!
=
Error!
alors 3t= a+b+c ce qui s’écrit aussi:
(a-t)+(b-t)+(c-t)= 0.
Autrement dit, le point T est tel que
Error!
+
Error!
+
Error!
=
Error!
.C’est le centre de gravité du
triangle ABC.