LES NOMBRES COMPLEXES AU SERVICE D’EULER Construction 2. Pour construire A’ on utilise la rotation de centre O et d’angle +90 du point A. Puis Créer – Ligne – Vecteur pour créer les vecteurs Error! et Error! 3. a. Calculs – Mesurer – Affixe dans un repère b. Choix de la valeur à afficher Partie informatique 1. Que valent les distances OA, OB et OC ? Pourquoi ? Les trois distances valent 1 : c’est la valeur de l’unité graphique du repère orthonormé. 2. Qu’observe-t-on à propos des trois quotients,Error!, Error! et Error! lorsque l’on fait déplacer les points A, B ou C dans le plan complexe ? Il apparaît que ces trois quotients sont des complexes imaginaires purs. 3. Tracer à l’écran la droite (AS). À quoi semble correspondre cette droite ? Le vérifier à l’aide du logiciel. Le logiciel le confirme. La droite (AS) est bien la hauteur, issue de A, du triangle ABC. 4. Que dire alors de la véritable identité du point S ? Le point S aurait dû être noté H… orthocentre du triangle ABC. b=-0.67 + 0.75 i A' B s=-0.2 - 0.1 i (s-a)/(c-b) = -0.75 i (s-b)/(c-a) =0.55 i (s-c)/(b-a) = -0.45 i H1 S O A a=1 H2 C c=-0.53 - 0.85 i Partie mathématique 5. Expliquer pourquoi les nombres complexes a, b et c sont tous de module 1. Les points A, B et C sont sur le cercle de centre O et de rayon 1. Ce qui fait que les distances OA, OB et OC valent toutes 1. Ainsi, a, b et c sont tous les trois de module 1. 6. On pose alors : a=1, b= ei et c= ei . Quelles conditions doivent vérifier les deux réels et ? Le triangle ABC n’étant pas aplati, les points A, B et C sont non confondus deux à deux. D’où : [2], 0[2] et 0 [2]. Les trois quotients sont donc bien définis. 7. On pose: z= Error! . Démontrer que le nombre complexe Z est un imaginaire pur. Z est imaginaire pur Z Z 0 ZZ = s a s a b c b c (b c)(c b) (c b)(b c) 2(cc bb) 0 (cc bb 1) 2 2 c b c b c b c b c b c b 8. Quelle interprétation géométrique peut-on alors faire de ce nombre complexe ? On sait que : Arg Z = (Error!,Error!)[2]. Or Z est imaginaire pur, donc on en déduit que(Error!,Error!)= Error! []. Ce qui se traduit par : les droites (BC) et (AS) sont perpendiculaires. 9. En déduire la véritable identité du point S. Par quelle relation vectorielle aurait-on pu le définir ? On a donc montré que la droite (AS) est la hauteur issue de A dans le triangle ABC. De la même manière, on montrerait que (BS) et (CS) sont les deux autres hauteurs manquantes, donc, le point S n’est autre que l’orthocentre du triangle ABC. La relation vectorielle est donnée par celle des affixes, à savoir : . Error!= Error!+ Error!+ Error! 10. Construire le point T d’affixe t= Error! et justifier que les points O, T et S sont alignés. T est donc l’image du point S par l’homothétie de centre O et de rapport Error!. Le couple point-image étant aligné avec le centre de l’homothétie, on a le résultat. 11. Montrer que le point T est aussi un autre point particulier du triangle ABC. Lequel ? Si l’on se doute effectivement de la véritable identité de ce point T, on sait à quoi on doit arriver. Du coup, puisque t= Error!= Error! alors 3t= a+b+c ce qui s’écrit aussi: (a-t)+(b-t)+(c-t)= 0. Autrement dit, le point T est tel que Error!+Error!+Error!= Error!.C’est le centre de gravité du triangle ABC.