A) PARTIE MATHEMATIQUE 1) Chaines de MARKOV a) Définitions

Groupe :
- MARRONE Fabien
- ZWILLINGER Damien
- MAIRE Thibault
Tuteur : Marietta Manolessou
Projet : 2A Groupe C
Date de création : Samedi 19 Janvier 2006
Date de modification : Mercredi 25 Janvier 2006
PROJET 2A – Groupe C
OPTIMISATION
-- Processus Stochastiques --

A) PARTIE MATHEMATIQUE
1) Chaines de MARKOV
a) Définitions essentielles
o Chaine de Markov :
 Soient :
- (Ω, F, P) un espace de probabilité
- T un ensemble quelconque
- (E, ℓ) un espace mesurable
- E = ensemble fini ou dénombrable : ensemble des états du système
- T = sous-ensemble de R+, ensemble des paramètres du temps
On appelle processus stochastique défini sur Ω, avec T ensemble des temps et E
espace des états, toute famille {X(t)}tЄT de variables aléatoires à valeurs dans E :
- la variable aléatoire X(t) est appelée : état à l’instant t.
 Un processus stochastique défini sur un espace de probabilité (Ω, F, P) est
appelé Chaîne de Markov si l’égalité suivante entre probabilités
conditionnelles est bien vérifiée :
P[X t+s = j | Xt0 =i0, Xt1 =i1, …, Xtn =in, Xt =i] = P[Xt+s = j | Xt = i]
o Loi de probabilité d’état initial : П(0) = P[X0 = i] (i Є E)
o Vecteur de probabilité : u = {u1, u2, …, un} Є Rn
La somme des ui pour i=1 à i=n doit être égal à 1
o Matrice Stochastique P :
Une matrice carrée P = {pij} Є Mn( R ) est une matrice stochastique si chacune
de ses lignes est un vecteur de probabilité.
b) Graphe orienté d’une chaîne de Markov
Le graphe associé à une chaîne de Markov (et à sa matrice de transition P) est défini
par : - Ses sommets qui représentent les états du système (i Є E)
- Ses arètes ( i -> j ) associées aux probabilités de transition : pij > 0

c) Régime du système
Le vecteur de probabilité des états du système à l’instant t = n (ligne de P à l’instant
n), : П(n) est appelé régime du système à l’instant n.
o Régime stationnaire :
Un régime П est stationnaire ssi : П.P = П , avec la somme des Пi = 1 et Пi >= 0
o Régime permanent :
On appelle régime permanent, le vecteur de probabilité :
П t.q. Пi = lim n->∞ П(n)
ou lim n->∞ П(0). P(n) = П
o Ergodicité :
On dit qu’une chaîne de Markov est ergodique ssi il existe :
П avec П = lim n->∞ П(n)
pour tout régime initial П(0)
d) Propriétés des états dans une chaîne de Markov :
On considère l’application fi de l’ensemble des états E vers l’intervalle I = [0,1] :
E  [0,1]
fi : i  fi
fi = P[Xn = i |X0 = i] pour n>0
o Etat transitoire :
Si fi < 1
o Etat récurrent :
Si fi = 1
o Etat périodique :
Soit di = pgcd des longueurs de chemins partant de i et arrivant en i
Si di = 1
 L’état i est dit apériodique

Si di différent de 1
 L’état i est dit périodique de période di
o Etat absorbant :
Lorsque le système se trouve à l’état i et qu’il ne peut plus en sortir, on dit que
l’état est absorbant.
e) Classes d’équivalence d’une chaîne de Markov :
Voir états, les classes ont les mêmes propriétés que les états, ainsi il existe :
- des classes transitoires
- des classes récurrentes
- des classes absorbantes
2) Simplexe – Méthode des pénalités

B) PARTIE INFORMATIQUE
1. Le package AWT (Abstract Windowing Toolkit)
Contient toutes les classes pour créer des interfaces utilisateur et pour dessiner des
graphiques et des images. Un objet d'interface utilisateur comme un bouton ou une barre
déroulante est appelé, dans la terminologie AWT, un composant.
La classe Component est la racine de tous les composants AWT. Quelques
composants renvoient des événements quand un utilisateur agit réciproquement avec les
composants (des listeners)
La classe AWT.Event et ses sous-classes sont utilisées pour représenter les
événements que les composants d’AWT peuvent renvoyer.
Un conteneur est un composant qui peut contenir des composants et d'autres
conteneurs. Un conteneur peut aussi avoir un manager de disposition (LayoutManager) qui
contrôle le placement visuel de composants dans le conteneur.
Le package AWT contient plusieurs manager de disposition des classes et une
interface pour construire le manager de disposition propre.
On appelle le package AWT ainsi dans notre programme :
- import java.awt.*;
- import java.awt.event.* ;
2. Le package SWING
Contrairement au package AWT, le package Swing met à disposition des composants
dont l'aspect est indépendant du système sur lequel les applications sont utilisées.
On y retrouve les composants classiques comme les boutons, les listes, les cases à
cocher, etc..., mais aussi un grand nombre de nouveaux composants comme :
Classes utilisées :
- JMenu : exécution d'un menu -- une fenêtre automatique contenant JMenuItems qui est
montré quand l'utilisateur choisit un article sur le JMenuBar
- JMenubar : barre de menu
- JMenuItem : bouton de menu.
- JDekstopPane : conteneur permettant de créer une interface de documents (ou fenêtres)
multiples sur un bureau virtuel.
- JTextPane : Un composant de texte qui peut être identifié par les attributs qui sont
représentés graphiquement.
- JScrollPane: vue déroulante pour un composant.
- JFrame: extension de java.awt.frame
- JLabel: petite zone de texte et/ou d’image.
- JButton: bouton cliquable.
- JTextField: composant qui permet l'édition d'une ligne simple de texte.
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