Devoir surveillé N°8.
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PCSI. 02/03. Durée 4 heures. Physique. Devoir surveillé N°8. Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation claire et lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation. Problème 1. Structure hydrostatique d'une étoile. Une étoile est formée d'une certaine masse Mo de gaz, qui adopte une configuration sphérique du fait de l'interaction gravitationnelle entre les atomes d'hydrogène qui la composent. On négligera tout effet de rotation et on considérera qu'à tout instant cette masse de gaz est en équilibre hydrostatique, disposée dans le vide. A tout instant de la formation, les répartitions de masse volumique, de pression et de température dans l'étoile sont à symétrie sphérique. On notera G la constante de la gravitation universelle (ou constante de Cavendish) et on appellera r la distance d’un point P au centre de l’étoile. Le rayon de l’étoile est noté Ro. Données numériques: Constante de Cavendish Constante de Boltzmann Nombre d'Avogadro Masse de l'atome d'Hydrogène Masse du Soleil Rayon du Soleil Distance de la Terre au Soleil G = 6.67 10-11 m3.kg-1.s-2 k = 1,38 10-23J.K-1 NA = 6,02 1023 mol-1 m = 1,67 10-27 kg Mo = 1,99 1030kg Ro = 6,96 108 m D = 1,49 1011 m On appelle µ(r) la masse volumique de l’étoile à la distance r du centre et M(r) la masse de la fraction de l'étoile qui est située à une distance de son centre inférieure ou égale à r. On appelle aussi p(r) la pression qui règne à cette distance r du centre. 1. 2. 3. Relier µ(r) et M(r). Relier M(r) et la composante gr(r) du champ de gravitation à la distance r < R du centre et à la constante G. Etablir l'équation d'équilibre hydrostatique du gaz qui forme l'étoile, sous forme d'une équation différentielle liant p(r) et M(r) et leurs dérivées, la distance r et la constante G. Pour les questions 4 et 5, on considère que l'hydrogène atomique constituant l’étoile est un fluide incompressible 4. Etablir l’expression de la pression pC au centre C de l'étoile, en fonction de G, de la masse Mo de l’étoile et de son rayon Ro. On supposera que la pression à la surface de l’étoile est nulle. Application numérique : Calculer pC dans le cas du Soleil. 5. Assimilant localement l’hydrogène au gaz parfait, déterminer la température TC au centre C de l'étoile en fonction de G, Mo, Ro, de la constante de Boltzmann k et de la masse m de l’atome d’hydrogène. Application numérique : Calculer TC dans le cas du Soleil. Pour les questions 6 et 7, on considère que l'hydrogène atomique constituant l’étoile est un fluide quelconque. On considère le modèle simple suivant de formation progressive de l'étoile : après accumulation de la masse M(r) dans la sphère de centre C et de rayon r, une masse dM est apportée de façon quasi-statique depuis l'infini et disposée régulièrement sur une couche sphérique comprise entre les rayons r et r + dr. 6. 7. Calculer le travail fourni dans ce processus. Calculer, sous forme d'une intégrale portant sur la fonction M(r), le travail, noté WG, nécessaire à la formation de l'étoile. Ce travail est l'énergie gravitationnelle de l'étoile. Pour les questions 8 et 9, on considère à nouveau que l'hydrogène atomique constituant l’étoile est un fluide incompressible. 3 GM o2 8. Montrer que l’énergie gravitationnelle de l’étoile s’écrit alors : WG 5 Ro 9. Lors de sa phase de formation, le Soleil (supposé formé d’hydrogène incompressible) s'est contracté à partir d'une nébuleuse originelle de gaz de très grand rayon initial jusqu'à sa taille actuelle. Donner l'expression de l'énergie rayonnée par le Soleil pendant cette durée. Effectuer l'application numérique pour la puissance moyenne correspondante en supposant la durée de contraction égale à 1 milliard d'années. Quelle est le flux énergétique correspondant (puissance par unité de surface) reçu au niveau du sol terrestre ? Problème 2 : Dispositif électronique de conversion tension fréquence. Dans tous les montages étudiés, les amplificateurs opérationnels (AO) sont supposés idéaux. On considère le montage de la figure 1. On appellera Vsat la valeur absolue des tensions de saturation de sortie de l'amplificateur opérationnel, égales à -Vsat et +Vsat. On appellera Ve, la tension appliquée sur l'entrée inverseuse de l'amplificateur, et Vs la tension de sortie. 1. 2. 3. 4. dVs Vs o ), montrer que dt l'amplificateur opérationnel ne peut fonctionner qu'en régime saturé. Calculer en fonction de Vsat, R1 et R2, les deux tensions V1 et V2, appliquées au condensateur C, au moment de la commutation de la sortie de l'amplificateur opérationnel. L'origine des temps est choisie de telle sorte que la sortie de l'amplificateur effectue la transition (- Vsat, + Vsat) à l'instant t = 0. En supposant que la tension de sortie n'est plus modifiée, déterminer la valeur de la tension Ve en fonction du temps. Déduire de l'étude précédente qu'une commutation de la sortie de l'amplificateur est inévitable. Calculer la durée de la charge du condensateur jusqu'à cette commutation, en fonction de R1, R2, R et C. En déduire la période T des oscillations. En adoptant le modèle de l’AO réel à bande passante limitée ( On considère maintenant le montage de la figure 2. La tension v est délivrée par un générateur de tension, de force électromotrice constante. La diode est supposée idéale, c'est à dire que : le courant est nul lorsque la tension appliquée est négative, la tension appliquée est nulle lorsque le courant est positif. 5. 6. 7. Sans tenir compte de la présence de la diode, déterminer les deux tensions u’ et u’’, obtenues sur l'entrée non inverseuse de l'amplificateur, suivant l'état de saturation de la sortie (u’ est associée à la tension de sortie + Vsat, u’’ est associée à la tension de sortie - Vsat). En pratique on choisit la tension v de telle sorte que les tensions u’ et u’’ soient de signes opposés. Quel est alors le rôle de la diode ? Entre quelles tensions V1 et V2 se produiront désormais les oscillations de la tension Ve ? Déterminer le temps T+ de charge du condensateur de la tension V1 à la tension V2. Déterminer de même le temps T- de décharge du condensateur, de la tension V2 à la tension 8. 9. V1. En déduire la période T des oscillations du nouveau montage. En supposant que la tension v est très petite par rapport à Vsat, donner une expression approchée de T. Rappel : ln ( 1 + x) 1 + x pour x << 1. Application numérique : R = 1 0 k , C = 100 nF, Vsat = 15 V, R1 = 1 k , R2 = 10 k , calculer la période des oscillations dans le cas où v = 1 V. Problème 3. Expériences de thermodynamique. A. Tube en U et transformation de gaz parfaits On considère un tube en U, de section S, scellé aux extrémités, contenant du mercure, de masse volumique . Les deux compartiments au-dessus du mercure contiennent une mole de gaz parfait diatomique chacun, initialement dans le même état (Po, To, Vo = S.h). On chauffe lentement le compartiment 1, supposé calorifugé ( parois athermanes), en faisant passer du courant dans la résistance R. Le compartiment 2 reste à To. On constate alors que le niveau du mercure baisse à gauche et monte à droite: soit d la dénivellation observée. On ne tient pas compte de l'absorption de chaleur par le mercure ni de sa modification de température: son énergie interne reste donc constante. On néglige aussi le volume occupé par la résistance chauffante. 1. 2. 3. 4. 5. 6. Faire le schéma de l'état final. On notera (P1, V1, T1) et (P2, V2, To) les états des deux gaz. Exprimer V1 et V2 en fonction de S, h et d. Quelle est la relation entre P1, P2, o, g et d ? La dénivellation prenant la valeur d, calculer la température T1 dans le compartiment 1 en fonction de Po, h, S, o, g, d. Déterminer l'énergie Q2 reçue par transfert thermique par le gaz 2. Montrer que le travail Wpes reçu par le mercure de la part du champ de pesanteur terrestre a d2 pour expression : Wpes o Sg . 4 En appliquant le premier principe au mercure, déterminer le travail WP1 reçu par le mercure de la part du gaz 1. En appliquant le premier principe au gaz 1, déterminer l'énergie Q1 reçue par transfert thermique par le gaz 1 en fonction de T1, To, R, , Po, S, g, d et h. B. Compression d'un gaz parfait Un cylindre vertical de section S, à parois calorifugées, contient un gaz parfait de rapport constant. Le cylindre est placé dans le vide, la pression Po du gaz étant équilibrée par un piston de masse mo coulissant sans frottement. Initialement la hauteur offerte au gaz vaut h. On pose sur le piston une masse m puis on la lâche. A la nouvelle position d’équilibre la pression est P1. Exprimer en fonction de , P1, Po et h la variation de la hauteur h Problème 4. Etude de distributions linéiques. On considère un segment AB, de milieu O porté par l’axe Oz, de longueur 2l portant une charge uniformément répartie avec la densité linéique . 1. 2. 3. 4. Déterminer le champ électrostatique en un point M du plan médiateur du fil. On donnera le résultant en fonction de l et de r = OM. En déduire la limite du champ lorsque l tend vers l’infini. Retrouver le résultat de la question 2) en appliquant le théorème de Gauss. Dans le cas du fil infini, déterminer à partir du résultat de la question 3) l’expression du potentiel électrostatique en un point M quelconque. On considère deux fils rectilignes infinis, parallèles à l’axe Oz et d’équations cartésiennes respectives x = + a et x = - a, de charges linéiques uniformes + et - ( > 0). On note A1 et A2 leurs intersections respectives avec le plan xOy. Le point M sera repéré par ses coordonnées cylindriques (r, , z ) et on note r1 et r2 les distances respectives entre M et le premier fil d’une part, et M et le second fil d’autre part. L’origine des potentiels est choisie en O. 5. Déterminer l’expression du potentiel en M. On fait tendre a vers zéro, tout en maintenant le produit 2a constant. On obtient une ligne dipolaire, caractérisée par la constante K = a/o. On considère que la distance r du point M à l’axe Oz est très grande devant a. 6. 7. Déterminer le potentiel crée par la ligne en M. On se contentera d’un développement limité de l’ordre en a/r non nul le plus petit possible. En déduire les composantes du champ dans la base cylindrique.
