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2nde 3 CHAPITRE 2 : CALCUL ALGEBRIQUE
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I. Ensemble des nombres
a. Entiers naturels
Les entiers naturels sont les entiers positifs et 0 donc
........ ; 5 ; 4 ; 3 ; 2 ; 1 ; 0
.
L’ensemble des entiers naturels est noté . C’est un ensemble infini, en effet, chaque entier naturel n
possède un successeur n + 1.
b. Entiers relatifs
Considérons une équation du genre : x + 19 = 5
La solution de cette équation – 14, n’est pas un entier naturel. Cette équation n’admet donc pas de
solution dans .
On introduit un ensemble appelé ensemble des entiers relatifs, plus grand dans laquelle cette équation
aura une solution.
L’ensemble des entiers relatifs
... ; 4 ; 3 ; 2 ; 1 ; 0 ; 1- ; 2- ; 3- ; 4 ....;
est noté . C’est tous les entiers
négatifs et positifs.
c. Nombres rationnels – Nombres décimaux
Considérons maintenant une équation du genre : 4x + 1 = 2
La solution de cette équation
4
1
n’est pas un entier, elle est fractionnaire. On introduit un ensemble
appelé ensemble des nombres rationnels.
L’ensemble des nombres rationnels noté  est l’ensemble de tous les nombres qui peuvent s’écrire sous
la forme
b
a
où a   et b  *
Exemples
8
3-
;
11
5
;
2
1
sont des nombres rationnels
9,0 7,0
est aussi un rationnel car on peut l’écrire
9
7
 Tout nombre entier n est un rationnel car on peut toujours l’écrire
1
n
Théorème : Un nombre est rationnel si et seulement si son développement décimal est périodique à
partir d’un certain rang.
 0,2006200620062006… (2006 se répétant périodiquement dans le développement décimal) est
donc un nombre rationnel. En effet, on peut vérifier qu’il s’agit de la fraction
9999
2006
.
 0,1234567891011121314181…… n’est pas rationnel, pas de période.
Parmi les nombres rationnels, on peut en distinguer des cas particuliers :
4
1
= 0,25 le développement décimal s’arrêt

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3
1
= 0,333333… le développement décimal est illimité.
Définition : On appelle nombre décimal tout nombre rationnel dont le développement décimal est fini.
L’ensemble des nombres décimaux est noté .
Exemples
 Les nombres
4,1
5
7
; 0,1
10
1
; 25,0
4
1
sont décimaux
 Tout entier (naturel ou relatif) est, bien sûr, un nombre décimal.
...571428571428,0
7
1
; .....3333,0
3
1
ne sont pas décimaux.
d. Nombres réels
Considérons maintenant une équation du genre :
2
2x
Cette équation admet-elle une solution dans l’ensemble  ? Non, car les solutions de cette équation
2
et
2
n’appartiennent pas à . On introduit un ensemble plus grand appelé ensemble des
nombres réels.
Les nombres réels sont les nombres qui sont représentés sur une droite graduée.
M O I
-5 -2 0
Error!
1
Error!
2 3  3,8 5
Récapitulatif
Les différents ensembles de nombres sont emboîtés (inclusions), on a donc         
IR
ID 3,8
-1 -7
IN 0 1
2 1
3 -1,2 -27 9 105 53 6 2 - 3 5
- 9
 10-2
5
7 13 19 
II. Fractions
a.) Egalité de deux fractions
Proposition : Dire que deux fractions
d
c
b
aet
sont égales équivaut à dire que a.d = b.c (avec b et d ≠
0)

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Exemple : Résoudre dans  l’équation :
22 3
2
xx
.
6
634
)2(x32x2
2
2
3
2
x
xx
xx
xx
b.) Addition de deux fractions
Exemple : Réduire la fraction
.
2
1
3xx 
)()()( )( )( )( )( 1
25
1
223
1
123
1
12
1
32
1
3
xx x xx xx xx xx xx x xx x xx
III. Développer et factoriser
a. Distributivité
Exemple :
x(5 + y) = 5x + xy
b. Identités remarquables
Propriétés : Pour tous nombres a et b réels, on a :
(a + b)2 = a2 + 2ab +b2
(a - b)2 = a2 - 2ab +b2
(a + b)(a – b) = a2 – b2
Proposition : Pour tous nombres a, b, c et d réels avec b ≠ 0 et d ≠ 0, on a :
bd
bcad
d
c
b
a
Définition :
Développer, c’est transformer un produit de facteur en une somme de
termes.
Factoriser, c’est transformer une somme de termes en un produit de
facteurs.
Développer
Factoriser
Développer
Factoriser