2nde 3 CHAPITRE 2 : CALCUL ALGEBRIQUE www.coursapprendre.fr I. Ensemble des nombres a. Entiers naturels Les entiers naturels sont les entiers positifs et 0 donc 0 ; 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; ......... L’ensemble des entiers naturels est noté . C’est un ensemble infini, en effet, chaque entier naturel n possède un successeur n + 1. b. Entiers relatifs Considérons une équation du genre : x + 19 = 5 La solution de cette équation – 14, n’est pas un entier naturel. Cette équation n’admet donc pas de solution dans . On introduit un ensemble appelé ensemble des entiers relatifs, plus grand dans laquelle cette équation aura une solution. L’ensemble des entiers relatifs ....; 4 ; - 3 ; - 2 ; - 1 ; 0 ; 1; 2 ; 3 ; 4 ; ... est noté . C’est tous les entiers négatifs et positifs. c. Nombres rationnels – Nombres décimaux Considérons maintenant une équation du genre : La solution de cette équation 4x + 1 = 2 1 n’est pas un entier, elle est fractionnaire. On introduit un ensemble 4 appelé ensemble des nombres rationnels. L’ensemble des nombres rationnels noté est l’ensemble de tous les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme a où a et b * b Exemples 1 5 -3 ; ; sont des nombres rationnels 2 11 8 7 0,7 est aussi un rationnel car on peut l’écrire 9 0,9 Tout nombre entier n est un rationnel car on peut toujours l’écrire n 1 Théorème : Un nombre est rationnel si et seulement si son développement décimal est périodique à partir d’un certain rang. 0,2006200620062006… (2006 se répétant périodiquement dans le développement décimal) est donc un nombre rationnel. En effet, on peut vérifier qu’il s’agit de la fraction 0,1234567891011121314181…… n’est pas rationnel, pas de période. Parmi les nombres rationnels, on peut en distinguer des cas particuliers : 1 = 0,25 4 le développement décimal s’arrêt 2006 . 9999 2nde 3 CHAPITRE 2 : CALCUL ALGEBRIQUE www.coursapprendre.fr 1 = 0,333333… le développement décimal est illimité. 3 Définition : On appelle nombre décimal tout nombre rationnel dont le développement décimal est fini. L’ensemble des nombres décimaux est noté . Exemples 1 1 7 0,25 ; 0,1 ; 1,4 sont décimaux 4 10 5 Les nombres Tout entier (naturel ou relatif) est, bien sûr, un nombre décimal. 1 1 0,3333..... ; 0,142857142857... ne sont pas décimaux. 3 7 d. Nombres réels x2 2 Considérons maintenant une équation du genre : Cette équation admet-elle une solution dans l’ensemble ? Non, car les solutions de cette équation 2 et 2 n’appartiennent pas à . On introduit un ensemble plus grand appelé ensemble des nombres réels. Les nombres réels sont les nombres qui sont représentés sur une droite graduée. M O -5 I -2 0 Error! 1 Error! 2 3 3,8 5 Récapitulatif Les différents ensembles de nombres sont emboîtés (inclusions), on a donc IR ID 3,8 -1 IN 2 1 3 -1,2 -27 -7 0 9 1 6 2 105 53 - 9 - 3 5 10-2 5 7 13 19 II. Fractions a.) Egalité de deux fractions Proposition : Dire que deux fractions 0) a b et c d sont égales équivaut à dire que a.d = b.c (avec b et d ≠ 2nde 3 CHAPITRE 2 : CALCUL ALGEBRIQUE www.coursapprendre.fr 2x Exemple : Résoudre dans l’équation : 2x 3 x2 2 3 x 2 2 . 2x 2 x 3x ( x 2) 4 x 3x 6 x 6 b.) Addition de deux fractions Proposition : Pour tous nombres a, b, c et d réels avec b ≠ 0 et d ≠ 0, on a : a c ad bc b d bd Exemple : Réduire la fraction 3 x 1 2 x 3x (x 1)x 2(x 1) x (x 1) 3 x 1 2 x . 3x 2(x 1) x (x 1) 3x 2x 2 x (x 1) 5x 2 x (x 1) III. Développer et factoriser a. Distributivité Définition : Développer, c’est transformer un produit de facteur en une somme de termes. Factoriser, c’est transformer une somme de termes en un produit de facteurs.: Exemple Développer x(5 + y) = 5x + xy Factoriser b. Identités remarquables Propriétés : Pour tous nombres a et b réels, on a : Développer (a + b)2 = a2 + 2ab +b2 (a - b)2 = a2 - 2ab +b2 (a + b)(a – b) = a2 – b2 Factoriser