Guillaume Dérien Mickaël Priou ING 3 CSS ÉTUDE DU GRAND VOYAGE TERRE – JUPITER – SATURNE PAR LA SONDE PIONEER 11 Objectifs : · L’acquisition des notions élémentaires sur les voyages interplanétaires · La vérification et la compréhension de l’article joint au présent BE · L’illustration de la notion de tremplin gravifique Données : Guillaume Dérien Mickaël Priou · Soleil : μS= 13,2.1010 km3s-2 · Terre : μT= 39,9.104 km3s-2 · Jupiter : μJ= 126,5.106 km3s-2 · Saturne : μST= 38.108km3s-2 · Distance Soleil - Terre : 150 x 106 km · Distance Soleil - Jupiter : 750 x 106 km · Distance Soleil – Saturne : 1,5 x 109 km · Rayon Terre = 6 738 km · Rayon Jupiter = 71 400 km · Rayon Saturne = 60 500 km · 1 jour solaire : 86 400 s · 1 jour sidéral : 86 164 s Page 1 BE – Pioneer 11 – Vendredi 27 Octobre2006 1 QUESTION 1 1.1 COMMENT FAUT-IL COMPRENDRE LA DONNEES SUR LES 2 VITESSES EN R2 ? D’après l’article, R2 indique 2 vitesses dans R2. · 14 053 m/s : représente la vitesse donnée par le lanceur par rapport à la Terre · 14 500 m/s : représente la vitesse donnée par le lanceur et la rotation de la Terre (effet de fronde) par rapport au soleil. 1.2 PEUT-ON SUPPOSER UN TIR VERS L’EST ? L’article indique un passage au dessus de l’Afrique depuis un lancement des États-Unis. Il s’agit bien d’un tir vers l’est. 1.3 DONNER UNE ESTIMATION DE LA LATTITUDE DU POINT D’INJECTION. 447 m/s r λ La vitesse angulaire au point d’injection est de : 14 500 – 14 053 = 447 m/s On note λ la latitude de lancement, donc : avec : Cette latitude est bien compatible avec un tir depuis Cap Kennedy. Guillaume Dérien Mickaël Priou Page 2 BE – Pioneer 11 – Vendredi 27 Octobre2006 2 QUESTION 2 Utiliser R2 et R3 : R2 : · 14 053m/s · 14 500 m/s · altitude de départ = 229 km R3 : 2.1 2.1.1 DEMI GRAND AXE L’équation de l’énergie nous donne : a = 4 460km 2.1.2 EXCENTRICITÉ E e = 2,48 2.1.3 DEMI GRAND ANGLE D’OUVERTURE Φ D’OUVERTURE φ = 66,22° Guillaume Dérien Mickaël Priou Page 3 BE – Pioneer 11 – Vendredi 27 Octobre2006 2.2 TEMPS MIS PAR LA SONDE POUR SORTIR DE LA SPHERE D’INFLUENCE DE LA TERRE Nous savons que la sphère d’influence de la Terre a pour rayon Rs = 900 000 km Donc nous pouvons calculer : t = 93 214 s 2.3 RETROUVER R4 = 9,45KM/S L’équation de l’énergie nous donne : or très petit donc : Nous retrouvons bien le résidu de vitesse passé la libération terrestre. 3 QUESTION 3 Guillaume Dérien Mickaël Priou Page 4 BE – Pioneer 11 – Vendredi 27 Octobre2006 On a R5 : l’orbite héliocentrique a un périgée à 150.106km du soleil, l’apogée à 922.106km du soleil 3.1 ORBITE HELIOCENTRIQUE 3.1.1 EXCENTRICITE DE L’ORBITE HÉLIOCENTRIQUE A O S P C=axe AP = 1072.106km Donc le demi grand axe a = 1072.106/2 = 536.106km = a On calcule aussi que C = 536.106-150.106=386.106km 3.1.2 ENERGIE SPÉCIFIQUE D’après la formule 4.27 des équations fondamentales du mouvement, on a : 3.1.3 PÉRIODE DE CETTE ORBITE D’après la formule 4.34 des équations fondamentales du mouvement, on a : T= 2,14.108s = 6 ans 293 jours 20h 32min 4s Guillaume Dérien Mickaël Priou Page 5 BE – Pioneer 11 – Vendredi 27 Octobre2006 3.2 VP= VITESSE ABSOLUE D’INJECTION AU PERIGEE DE L’ORBITE DE TRANSFERT HELIOCENTRIQUE D’après la loi de conservation de l’énergie : Donc : 4 QUESTION 4 Quelles indications peuvent faire penser que l’injection héliocentrique a été faite au périgée de cette orbite de transfert ? La vitesse au périgée est la vitesse la plus élevée sur une orbite elliptique. Le document indique que la vitesse d’éjection dans le système solaire doit être particulièrement élevée. 5 QUESTION 5 – VERIFICATION DE R1 Calculer la durée de ce voyage. Indiquer la date approximative d’arrivée. 6 QUESTION 6 – ETUDE DES CONDITIONS D’ARRIVEE VERS LA PLANETE JUPITER On supposera que toutes les orbites sont coplanaires 6.1 DONNER LA VITESSE DE JUPITER, NOTEE VJ L’équation de l’énergie nous donne : On suppose que Jupiter est sur une orbite circulaire. Donc a = r De plus, on prend très petit, alors : VJ=13,26 km/s Guillaume Dérien Mickaël Priou Page 6 BE – Pioneer 11 – Vendredi 27 Octobre2006 6.2 ARRIVEE DE LA SONDE 6.2.1 CALCULER LA VITESSE VS1 DE PIONEER 11 AU NIVEAU DE L’ORBITE DE JUPITER 6.2.2 DONNEE L’ANGLE γ1 sous lequel se coupent les orbites de Pioneer 11 et de Jupiter On notera ici Vs1 = Vos car 6.3 est l’angle entre la vitesse au périgée et le grand axe, donc perpendiculaire. CALCULER LA VITESSE RELATIVE DES AXES JOVIENS DE LA SONDE ARRIVANT A L’INFINI DE LA PLANETE, DONNER L’ANGLE α1 = (-V1, γ1 Vos α1 VJ Voo Vos γ1 α1 Guillaume Dérien Mickaël Priou A VJ Page 7 BE – Pioneer 11 – Vendredi 27 Octobre2006 Voo B On pose : A = cos (γ1) A = 10,28x cos(40,81) A = 7,78 B = 13,26 -7,78 B = 5,48 De plus : B = Voo x cos α1 Donc : 7 QUESTION 7 – SURVOL DE JUPITER – TREMPLIN GRAVIFIQUE 7.1 VERIFIER R8 L’hypothèse R7 explique que le survol a lieu à 42 000 km de la surface de Jupiter. Quand la sonde pénètre dans la sphère d’influence de Jupiter, elle se positionne sur une orbite elliptique autour de Jupiter dont le survol à 42 000 km de la surface. Le rayon du périgée s’écrit donc : La loi de conservation de l’énergie dit que : est le rayon de la sphère d’influence de Jupiter Guillaume Dérien Mickaël Priou Page 8 BE – Pioneer 11 – Vendredi 27 Octobre2006 7.2 PRECISER LES ELEMENTS CARACTERISTIQUES DE L’HYPERBOL DE SURVOL 7.2.1 GRAND AXE On a : 7.2.2 EXCENTRICITÉ L’équation 4.26 des équations fondamentales du mouvement nous donne : 7.2.3 DEMI-GRAND ANGLE D’OUVERTURE DES ASYMPTOTES Nous avons vu que : 7.3 FAIRE UN DESSIN DU SURVOL Montrant : · La sphère d’influence de Jupiter · La planète · L’hyperbole et ses asymptotes · Guillaume Dérien Mickaël Priou Page 9 BE – Pioneer 11 – Vendredi 27 Octobre2006 Sphère d’influence Orbite Jupiter α1 7.4 α2 CALCULER LES CONDITIONS DE SORTIE ET α2 α2 = 180 – α1 – 2xφ α2 = 88,84 Donc on peut noter que : Guillaume Dérien Mickaël Priou Page 10 BE – Pioneer 11 – Vendredi 27 Octobre2006 avec : De la même façon : n.b. : Les approximations liées à l’arrondi ont pu nous mener à certains résultats un peu au dessus ou en deçà de la réalité. 8 ETUDE DE LA SUITE DU VOYAGE JUPITER – SATURNE 8.1 ELEMENTS DE LA NOUVELLE ORBITE KEPLERIENNE 8.1.1 ENERGIE E Tout d’abord : V0=15,67km/s 687,7.106km 42.106km 686,8.106km π/2 – γ2 γ2 710.106 km Les longueurs sur le schéma précédent ont pu être identifiées en utilisant le théorème de Pythagore à travers 2 triangles rectangles. Guillaume Dérien Mickaël Priou Page 11 BE – Pioneer 11 – Vendredi 27 Octobre2006 Donc, la sonde se trouve à 687,7.106km du soleil au sortir de la sphère d’influence de Jupiter. 8.1.2 DEMI-GRAND AXE A On sait que : Donc : 8.1.3 EXCENTRICITÉ 8.1.4 PÉRIODE La formule 4.34 des équations fondamentales du mouvement nous donne : Donc : Soit : 2615 Guillaume Dérien Mickaël Priou jours sidéraux, 16h, 19 minutes, 12 minutes Page 12 BE – Pioneer 11 – Vendredi 27 Octobre2006