2 Question 2

Guillaume Dérien
Mickaël Priou
ING 3 CSS
ÉTUDE DU GRAND VOYAGE TERRE – JUPITER – SATURNE
PAR LA SONDE PIONEER 11
Objectifs :
·
L’acquisition des notions élémentaires sur les voyages interplanétaires
·
La vérification et la compréhension de l’article joint au présent BE
·
L’illustration de la notion de tremplin gravifique
Données :
Guillaume Dérien
Mickaël Priou
·
Soleil : μS= 13,2.1010 km3s-2
·
Terre : μT= 39,9.104 km3s-2
·
Jupiter : μJ= 126,5.106 km3s-2
·
Saturne : μST= 38.108km3s-2
·
Distance Soleil - Terre : 150 x 106 km
·
Distance Soleil - Jupiter : 750 x 106 km
·
Distance Soleil – Saturne : 1,5 x 109 km
·
Rayon Terre = 6 738 km
·
Rayon Jupiter = 71 400 km
·
Rayon Saturne = 60 500 km
·
1 jour solaire : 86 400 s
·
1 jour sidéral : 86 164 s
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QUESTION 1
1.1
COMMENT FAUT-IL COMPRENDRE LA DONNEES SUR LES 2 VITESSES EN R2 ?
D’après l’article, R2 indique 2 vitesses dans R2.
·
14 053 m/s : représente la vitesse donnée par le lanceur par rapport à la Terre
·
14 500 m/s : représente la vitesse donnée par le lanceur et la rotation de la Terre (effet
de fronde) par rapport au soleil.
1.2
PEUT-ON SUPPOSER UN TIR VERS L’EST ?
L’article indique un passage au dessus de l’Afrique depuis un lancement des États-Unis. Il s’agit
bien d’un tir vers l’est.
1.3
DONNER UNE ESTIMATION DE LA LATTITUDE DU POINT D’INJECTION.
447 m/s
r
λ
La vitesse angulaire au point d’injection est de :
14 500 – 14 053 = 447 m/s
On note λ la latitude de lancement, donc :
avec :
Cette latitude est bien compatible avec un tir depuis Cap Kennedy.
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2
QUESTION 2
Utiliser R2 et R3 :
R2 :
·
14 053m/s
·
14 500 m/s
·
altitude de départ = 229 km
R3 :
2.1
2.1.1 DEMI GRAND AXE
L’équation de l’énergie nous donne :
a = 4 460km
2.1.2 EXCENTRICITÉ E
e = 2,48
2.1.3
DEMI GRAND ANGLE D’OUVERTURE Φ D’OUVERTURE
φ = 66,22°
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2.2
TEMPS MIS PAR LA SONDE POUR SORTIR DE LA SPHERE D’INFLUENCE DE LA TERRE
Nous savons que la sphère d’influence de la Terre a pour rayon Rs = 900 000 km
Donc nous pouvons calculer :
t = 93 214 s
2.3
RETROUVER R4 = 9,45KM/S
L’équation de l’énergie nous donne :
or
très petit donc :
Nous retrouvons bien le résidu de vitesse passé la libération terrestre.
3
QUESTION 3
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On a R5 : l’orbite héliocentrique a un périgée à 150.106km du soleil, l’apogée à 922.106km du
soleil
3.1
ORBITE HELIOCENTRIQUE
3.1.1 EXCENTRICITE DE L’ORBITE HÉLIOCENTRIQUE
A
O
S
P
C=axe
AP = 1072.106km
Donc le demi grand axe a = 1072.106/2 = 536.106km = a
On calcule aussi que C = 536.106-150.106=386.106km
3.1.2 ENERGIE SPÉCIFIQUE
D’après la formule 4.27 des équations fondamentales du mouvement, on a :
3.1.3 PÉRIODE DE CETTE ORBITE
D’après la formule 4.34 des équations fondamentales du mouvement, on a :
T= 2,14.108s = 6 ans 293 jours 20h 32min 4s
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3.2
VP= VITESSE ABSOLUE D’INJECTION AU PERIGEE DE L’ORBITE DE TRANSFERT
HELIOCENTRIQUE
D’après la loi de conservation de l’énergie :
Donc :
4
QUESTION 4
Quelles indications peuvent faire penser que l’injection héliocentrique a été faite au périgée de
cette orbite de transfert ?
La vitesse au périgée est la vitesse la plus élevée sur une orbite elliptique. Le document indique
que la vitesse d’éjection dans le système solaire doit être particulièrement élevée.
5
QUESTION 5 – VERIFICATION DE R1
Calculer la durée de ce voyage. Indiquer la date approximative d’arrivée.
6
QUESTION 6 – ETUDE DES CONDITIONS D’ARRIVEE VERS LA PLANETE JUPITER
On supposera que toutes les orbites sont coplanaires
6.1
DONNER LA VITESSE DE JUPITER, NOTEE VJ
L’équation de l’énergie nous donne :
On suppose que Jupiter est sur une orbite circulaire.
Donc a = r
De plus, on prend
très petit, alors :
VJ=13,26 km/s
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6.2
ARRIVEE DE LA SONDE
6.2.1 CALCULER LA VITESSE VS1 DE PIONEER 11 AU NIVEAU DE L’ORBITE DE
JUPITER
6.2.2 DONNEE L’ANGLE γ1 sous lequel se coupent les orbites de Pioneer 11
et de Jupiter
On notera ici Vs1 = Vos
car
6.3
est l’angle entre la vitesse au périgée et le grand axe, donc perpendiculaire.
CALCULER LA VITESSE RELATIVE DES AXES JOVIENS DE LA SONDE ARRIVANT A
L’INFINI DE LA PLANETE, DONNER L’ANGLE α1 = (-V1,
γ1
Vos
α1
VJ
Voo
Vos
γ1
α1
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A
VJ
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Voo
B
On pose :
A = cos (γ1)
A = 10,28x cos(40,81)
A = 7,78
B = 13,26 -7,78
B = 5,48
De plus :
B = Voo x cos α1
Donc :
7
QUESTION 7 – SURVOL DE JUPITER – TREMPLIN GRAVIFIQUE
7.1
VERIFIER R8
L’hypothèse R7 explique que le survol a lieu à 42 000 km de la surface de Jupiter.
Quand la sonde pénètre dans la sphère d’influence de Jupiter, elle se positionne sur une orbite
elliptique autour de Jupiter dont le survol à 42 000 km de la surface.
Le rayon du périgée s’écrit donc :
La loi de conservation de l’énergie dit que :
est le rayon de la sphère d’influence de Jupiter
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7.2
PRECISER LES ELEMENTS CARACTERISTIQUES DE L’HYPERBOL DE SURVOL
7.2.1 GRAND AXE
On a :
7.2.2 EXCENTRICITÉ
L’équation 4.26 des équations fondamentales du mouvement nous donne :
7.2.3 DEMI-GRAND ANGLE D’OUVERTURE  DES ASYMPTOTES
Nous avons vu que :
7.3
FAIRE UN DESSIN DU SURVOL
Montrant :
·
La sphère d’influence de Jupiter
·
La planète
·
L’hyperbole et ses asymptotes
·
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Sphère d’influence
Orbite

Jupiter
α1
7.4
α2
CALCULER LES CONDITIONS DE SORTIE
ET
α2
α2 = 180 – α1 – 2xφ
α2 = 88,84
Donc on peut noter que :
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avec :
De la même façon :
n.b. : Les approximations liées à l’arrondi ont pu nous mener à certains résultats un peu au dessus
ou en deçà de la réalité.
8
ETUDE DE LA SUITE DU VOYAGE JUPITER – SATURNE
8.1
ELEMENTS DE LA NOUVELLE ORBITE KEPLERIENNE
8.1.1 ENERGIE E
Tout d’abord :
V0=15,67km/s
687,7.106km
42.106km
686,8.106km
π/2 – γ2
γ2
710.106 km
Les longueurs sur le schéma précédent ont pu être identifiées en utilisant le théorème de
Pythagore à travers 2 triangles rectangles.
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Donc, la sonde se trouve à 687,7.106km du soleil au sortir de la sphère d’influence de Jupiter.
8.1.2 DEMI-GRAND AXE A
On sait que :
Donc :
8.1.3 EXCENTRICITÉ
8.1.4 PÉRIODE
La formule 4.34 des équations fondamentales du mouvement nous donne :
Donc :
Soit : 2615
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Mickaël Priou
jours sidéraux, 16h, 19 minutes, 12 minutes
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