culture maïs (solution)-csdm

Sylvie Dufresne, Nathalie Krikorian, Caroline Perron, Conseillères pédagogiques en mathématique, CSDM
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Culture du maïs : Éléments de Solution
Terrain à acheter : triangle APB
 Le triangle APS est rectangle en S :
34,64tan
124 
ASm
;
mASm 57,59
 Le triangle APB est rectangle en P et le segment PS représente la hauteur issue de P :
o Dans un triangle rectangle, la mesure de la hauteur issue du sommet de l’angle droit est
moyenne proportionnelle entre les mesures des deux segments qu’elle détermine sur
l’hypoténuse.
SBmASmPSm
2
SBm 57,591242
mSBm 12,258
 Aire du triangle APB =
hectare 1,97ou m 78,696 19
2124)12,25857,59( 22
hauteurBase
Coût du terrain à acheter :
Nous avons ici donné à l’élève une approximation de l’équation de la droite obtenue par la
méthode de Mayer. On pourrait tout aussi bien donner à l’élève la droite obtenue selon la méthode
médiane-médiane (y = 6346x – 1517) ou la droite de régression obtenue à partir de la calculatrice (y
= 5981x – 510)
Il est également possible de ne pas donner d’équation pour la droite qui idéalise la situation et
laisser l’élève la déterminer. Cela dépend des intentions d’apprentissage ou d’évaluation.
L’équation qui détermine le coût en fonction de la superficie du terrain en hectare est : y = 5840 x – 134
Coût = 5840 (1,97) – 134
Coût = 11 370,80 $
Parcelle de terrain cultivable sur le terrain à acheter
 La somme des mesures des angles d’un triangle est de 180° :
 66,2534,6490180QBRm
 Le triangle QBR est rectangle en R :
66,25tan
RBm
26 
;
m12,54RBm
.
m20412,5412,258RBmSBmSRm
 Aire de la parcelle cultivable : Aire du trapèze PQRS
2204)26124( 2SRm)QRmPSm( 
= 15 300 m2 ou 1,53 hectare
Profit pour le maïs qu’il sera possible de produire sur le terrain à acheter
 Production de maïs d’après la superficie: 9 800 kg par hectare soit 9,8 tonnes par10 000
2
m
22 m 000 10
tonnes8,9
m 15300
produite Quantité 
; Quantité produite : 14,994 tonnes (≈15 tonnes)
 Profit par tonne : 48 $
Profit annuel = 48 x 15 = 720,00 $
Profit mensuel moyen= 720,00 ÷ 12 = 60 $

Sylvie Dufresne, Nathalie Krikorian, Caroline Perron, Conseillères pédagogiques en mathématique, CSDM
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Comme il est possible d’obtenir les mesures manquantes à l’aide de divers concepts et processus, et que
ces mesures peuvent s’avérer différentes à cause des arrondis effectués, voici les mesures
approximatives des composantes du triangle APB.
S
A
R
B
317,7m
m
286,3m
137,6m
P
64,34°
124m
25,66°
26m
64,34°
25,66º
64,34°
26m
98m
25,66°
Q
59,6m
204m
54,1m
60m
226,3m

Sylvie Dufresne, Nathalie Krikorian, Caroline Perron, Conseillères pédagogiques en mathématique, CSDM
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Parcelle de terrain cultivée sur la terre familiale
 ÉQUATION DE LA DROITE FC
Pente :
5,0
140
70
190 50
0 70 
Avec le point (-50, 70)
70 = 0,5 (-50) + b
95 = b
y = 0,5x + 95
 ÉQUATION DE LA DROITE CD : La droite est perpendiculaire à FC puisqu’il s’agit d’un rectangle
Pente : -2 (l’opposé et l’inverse)
Avec le point (110, 0)
0 = -2 (110) + b
220 = b
y = -2x + 220
 COORDONNÉES DU POINT C
Pour déterminer les coordonnées de C, il suffit de résoudre le système composé des équations des
droites FC et CD, y = 0,5x + 95 et y = -2x + 220
0,5x + 95 = -2x + 220 (méthode de comparaison)
2,5x = 125
x = 50
Si x = 50, alors y = -2(50) + 220 = 120
C (50, 120)
 MESURE DES SEGMENTS DE DROITE GC ET CD
mGCm 8,111701205050 2
2 
m 134,16 120050110CDm22 
 AIRE DE LA PARCELLE DE TERRAIN CULTIVÉE
L’aire du rectangle GCDE :
Base x hauteur = 111,8 x 134,16 = 14 999 m2 ou ≈1,5 hectare
Profit pour le maïs produit sur la terre familiale
 Production de maïs d’après la superficie: 9 800 kg par hectare soit 9,8 tonnes par 10 000
2
m
22 m 000 10
tonnes8,9
)15000ou(m 999 14
produite Quantité 
; Quantité produite : 14,7 tonnes
 Profit par tonne : 48 $
Profit annuel = 48 x 14,7 = 705,60 $
Profit mensuel moyen= 705,60 ÷ 12 = 58,80 $

Sylvie Dufresne, Nathalie Krikorian, Caroline Perron, Conseillères pédagogiques en mathématique, CSDM
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Proposition d’achat :
Offrir un montant d’environ 11 000 $
Faire un premier versement représentant 75 % de l’achat, soit : 0,75 x 11 000 = 8250 $
Il restera 11000 – 8250 = 2750 $ à payer.
Montant des versements mensuels:
 25% du profit de la terre familiale : 0,25 x 58,80 = 14,70 $ (max)
50% du profit de la terre convoitée : 0,5 x 60,00 = 30,00 $ (min)
Total : 44,70 $
Durée des versements : 2750 ÷ 44,70 = 61,52 mois, soit un peu plus de 5 ans.
 Si Cédric veut payer le tout en 4 ans, il lui faudra verser : 2750 ÷ 48 = 57,29 $ par mois
Soit 14,70 $, montant qui représente 25% du profit de la terre familiale et…
Calcul du pourcentage du profit à prendre sur le terrain convoité pour atteindre le versement
mensuel de 57,29 $ sur 4 ans :
57,29 – 14,70 = 42,59
:
100
x
60
59,42 
x = 70,98 %, soit ≈ 71 %
 Si Cédric veut payer le tout en 3 ans, il lui faudra verser : 2750 ÷ 36 = 76,39 $
Soit 14,70 $, montant qui représente 25% du profit de la terre familiale.
Calcul du pourcentage du profit à prendre sur le terrain à acheter pour atteindre le
versement mensuel de 76,39 $
76,39 – 14,70 = 61,69 $
Impossible, ce montant dépasse le profit mensuel moyen que procurera l’achat du terrain
 Si Cédric investit 25% du profit de la terre familiale et 100% des profits que procureront le nouveau
terrain : Soit 14,70 + 60,00 = 74,70 $
Temps qu’il prendra pour rembourser : 2750 ÷ 74,70 = 36,81 $ mois, ou 3 ans et 1 mois.
Proposition 1 :
Offrir un montant d’environ 11 000 $
Faire un premier versement représentant 75 % de l’achat, soit 8250 $
Verser 74,70 $ par mois par la suite et la dette sera terminée en 3 ans et 1 mois. Ce montant
représente 25% du profit que procure la culture du maïs sur la terre familiale et 100 % du profit
que procurera l’exploitation du terrain convoité.
Proposition 2 :
Offrir un montant d’environ 11 000 $
Faire un premier versement représentant 75 % de l’achat, soit 8250 $
En versant 57,29 $ par mois par la suite, il sera possible de payer le tout en 4 ans. Ce montant
représente 25% du profit que procure la culture du maïs sur la terre familiale et 71 % du profit
que procurera l’exploitation du terrain convoité.