Culture du maïs : Éléments de Solution Terrain à acheter : triangle APB 124 tan 64,34 ; m AS 59,57 m m AS Le triangle APS est rectangle en S : Le triangle APB est rectangle en P et le segment PS représente la hauteur issue de P : o Dans un triangle rectangle, la mesure de la hauteur issue du sommet de l’angle droit est moyenne proportionnelle entre les mesures des deux segments qu’elle détermine sur l’hypoténuse. 2 m PS m AS m SB 124 2 59,57 m SB m SB 258,12 m Aire du triangle APB = Base hauteur (59,57 258,12) 124 19 696,78 m 2 ou 1,97 hectare 2 2 Coût du terrain à acheter : Nous avons ici donné à l’élève une approximation de l’équation de la droite obtenue par la méthode de Mayer. On pourrait tout aussi bien donner à l’élève la droite obtenue selon la méthode médiane-médiane (y = 6346x – 1517) ou la droite de régression obtenue à partir de la calculatrice (y = 5981x – 510) Il est également possible de ne pas donner d’équation pour la droite qui idéalise la situation et laisser l’élève la déterminer. Cela dépend des intentions d’apprentissage ou d’évaluation. L’équation qui détermine le coût en fonction de la superficie du terrain en hectare est : y = 5840 x – 134 Coût = 5840 (1,97) – 134 Coût = 11 370,80 $ Parcelle de terrain cultivable sur le terrain à acheter La somme des mesures des angles d’un triangle est de 180° : mQBR 180 90 64,34 25,66 26 Le triangle QBR est rectangle en R : tan 25,66 ; mRB 54,12m . mRB mSR mSB mRB 258,12 54,12 204m Aire de la parcelle cultivable : Aire du trapèze PQRS (m PS mQR ) mSR (124 26) 204 = 15 300 m2 ou 1,53 hectare 2 2 Profit pour le maïs qu’il sera possible de produire sur le terrain à acheter Production de maïs d’après la superficie: 9 800 kg par hectare soit 9,8 tonnes par10 000 m 2 Quantité produite 9,8 tonnes ; Quantité produite : 14,994 tonnes (≈15 tonnes) 10 000 m 2 Profit par tonne : 48 $ Profit annuel = 48 x 15 = 720,00 $ Profit mensuel moyen= 720,00 ÷ 12 = 60 $ 15300 m 2 Sylvie Dufresne, Nathalie Krikorian, Caroline Perron, Conseillères pédagogiques en mathématique, CSDM 1 Comme il est possible d’obtenir les mesures manquantes à l’aide de divers concepts et processus, et que ces mesures peuvent s’avérer différentes à cause des arrondis effectués, voici les mesures approximatives des composantes du triangle APB. P 64,34° 25,66º 286,3m 226,3m 98m 25,66° 137,6m Q 124m 64,34° 26m 60m 26m 25,66° 64,34° A 59,6m S 204m R 54,1m B 317,7m m Sylvie Dufresne, Nathalie Krikorian, Caroline Perron, Conseillères pédagogiques en mathématique, CSDM 2 Parcelle de terrain cultivée sur la terre familiale ÉQUATION DE LA DROITE FC 70 0 70 0,5 140 Avec le point (-50, 70) 70 = 0,5 (-50) + b 95 = b y = 0,5x + 95 Pente : 50 190 ÉQUATION DE LA DROITE CD : La droite est perpendiculaire à FC puisqu’il s’agit d’un rectangle Pente : -2 (l’opposé et l’inverse) Avec le point (110, 0) 0 = -2 (110) + b 220 = b y = -2x + 220 COORDONNÉES DU POINT C Pour déterminer les coordonnées de C, il suffit de résoudre le système composé des équations des droites FC et CD, y = 0,5x + 95 et y = -2x + 220 0,5x + 95 = -2x + 220 (méthode de comparaison) 2,5x = 125 x = 50 Si x = 50, alors y = -2(50) + 220 = 120 C (50, 120) MESURE DES SEGMENTS DE DROITE GC ET CD mGC mCD 50 50 120 70 2 2 110 502 0 120 2 111,8 m 134,16 m AIRE DE LA PARCELLE DE TERRAIN CULTIVÉE L’aire du rectangle GCDE : Base x hauteur = 111,8 x 134,16 = 14 999 m2 ou ≈1,5 hectare Profit pour le maïs produit sur la terre familiale Production de maïs d’après la superficie: 9 800 kg par hectare soit 9,8 tonnes par 10 000 m 2 Quantité produite 9,8 tonnes ; Quantité produite : 14,7 tonnes 14 999 m 2 (ou15000 ) 10 000 m 2 Profit par tonne : 48 $ Profit annuel = 48 x 14,7 = 705,60 $ Profit mensuel moyen= 705,60 ÷ 12 = 58,80 $ Sylvie Dufresne, Nathalie Krikorian, Caroline Perron, Conseillères pédagogiques en mathématique, CSDM 3 Proposition d’achat : Offrir un montant d’environ 11 000 $ Faire un premier versement représentant 75 % de l’achat, soit : 0,75 x 11 000 = 8250 $ Il restera 11000 – 8250 = 2750 $ à payer. Montant des versements mensuels: 25% du profit de la terre familiale : 0,25 x 58,80 = 14,70 $ (max) 50% du profit de la terre convoitée : 0,5 x 60,00 = 30,00 $ (min) Total : 44,70 $ Durée des versements : 2750 ÷ 44,70 = 61,52 mois, soit un peu plus de 5 ans. Si Cédric veut payer le tout en 4 ans, il lui faudra verser : 2750 ÷ 48 = 57,29 $ par mois Soit 14,70 $, montant qui représente 25% du profit de la terre familiale et… Calcul du pourcentage du profit à prendre sur le terrain convoité pour atteindre le versement mensuel de 57,29 $ sur 4 ans : 57,29 – 14,70 = 42,59 42,59 x : x = 70,98 %, soit ≈ 71 % 60 100 Si Cédric veut payer le tout en 3 ans, il lui faudra verser : 2750 ÷ 36 = 76,39 $ Soit 14,70 $, montant qui représente 25% du profit de la terre familiale. Calcul du pourcentage du profit à prendre sur le terrain à acheter pour atteindre le versement mensuel de 76,39 $ 76,39 – 14,70 = 61,69 $ Impossible, ce montant dépasse le profit mensuel moyen que procurera l’achat du terrain Si Cédric investit 25% du profit de la terre familiale et 100% des profits que procureront le nouveau terrain : Soit 14,70 + 60,00 = 74,70 $ Temps qu’il prendra pour rembourser : 2750 ÷ 74,70 = 36,81 $ mois, ou 3 ans et 1 mois. Proposition 1 : Offrir un montant d’environ 11 000 $ Faire un premier versement représentant 75 % de l’achat, soit 8250 $ Verser 74,70 $ par mois par la suite et la dette sera terminée en 3 ans et 1 mois. Ce montant représente 25% du profit que procure la culture du maïs sur la terre familiale et 100 % du profit que procurera l’exploitation du terrain convoité. Proposition 2 : Offrir un montant d’environ 11 000 $ Faire un premier versement représentant 75 % de l’achat, soit 8250 $ En versant 57,29 $ par mois par la suite, il sera possible de payer le tout en 4 ans. Ce montant représente 25% du profit que procure la culture du maïs sur la terre familiale et 71 % du profit que procurera l’exploitation du terrain convoité. Sylvie Dufresne, Nathalie Krikorian, Caroline Perron, Conseillères pédagogiques en mathématique, CSDM 4