Résumé de cours 1 : mots et langages Définition de l`ensemble des

Mathématiques discrètes
SI1 et MAM1 2006/2007
Résumé de cours 2 : Définitions inductives
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 Définition de l'ensemble des entiers naturels IN
Soit un triplet (E , x , s) satisfaisant les propriétés suivantes :
 E est un ensemble, x est un élément de E, s est une application de E dans lui-même
 s est injective
 tout sous-ensemble F de E contenant x et stable par s est égal à E
(où F est stable par s signifie que s(F) est inclus dans F).
Résultat admis : un tel triplet existe, et il est unique (à une bijection près),
c'est (IN, 0, successeur).
La définition précédente implique que tout élément de E, peut être obtenu (construit) de manière
unique (car s est injective) par applications successives de s en partant de l'élément de base x.
Par exemple, l'entier noté 3 est suc(suc(suc(0))).
 Raisonnement par récurrence
Pour montrer qu’une propriété P(n) est vraie pour tous les entiers n de IN, il suffit de montrer
que :
- P(0)
- pour tout n entier de IN : P(n) => P(n+1)
 Raisonnement par récurrence forte
Pour montrer qu’une propriété P(n) est vraie pour tous les entiers n, il suffit de montrer que :
- P(0)
- pour tout n entier de IN : { Pour tout i, avec 0 ≤ i ≤ n : P(i) } => P(n+1)
 Fonction ou suite définie par récurrence
Pour définir une fonction f de IN dans un ensemble E, il suffit que :
- f(0) soit définie
- il existe une fonction φ, telle que pour tout n entier de IN : f(n+1) = φ(f(n),n).
 Définition inductive d'une partie d'un ensemble
Soit B un sous-ensemble d'un ensemble E et Ω une famille d’opérations partielles sur E
(appelées aussi constructeurs). On appelle fermeture inductive de B par Ω , le plus petit (au
sens de l’inclusion) sous-ensemble X de E tel que :
- B est inclus dans X
- pour tout constructeur ω de Ω d’arité p, et tous les éléments x1,x2,....,xp de X,
ω (x1,x2,....,xp) est dans X
On dit que X est défini inductivement par le schéma (B, Ω).
B est appelée base de X dans le schéma (B, Ω).

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 Analyse constructive
Soit Bi la suite d’ensembles définie par :
- B0 = B
- pour tout entier i : Bi+1 = Ω(Bi) U Bi
Si on note Y = U Bi et X l'ensemble défini inductivement par le schéma (B, Ω), on a :
X = Y.
C'est-à-dire que l'ensemble défini inductivement par (B, Ω) est l'ensemble des éléments
construits à partir d'éléments de la base par applications successives de constructeurs.
 Analyse descendante
Tout élément x de l'ensemble X défini inductivement par (B, Ω) est :
- ou un élément de la base B
- ou construit à partir d'autres éléments de X : x = ω(x1,x2,...,xp) où ω est un constructeur (i.e.
appartient à Ω).
L'analyse descendante consiste en partant de x à trouver le (ou les ?) constructeur(s) ω et des
éléments de X auxquels il doit (ils doivent) être appliqués pour obtenir x.
 Principe d’induction structurelle
Soit un ensemble X défini inductivement par le schéma (B, Ω), pour montrer une propriété P
sur X, il suffit de montrer :
- P(b) pour tout b élément de la base B de X
- Si P(xi) pour tout xi, alors P(ω (x1,x2,...,xp) ) et ceci pour tous les constructeurs et les xi.
 Schémas libres
Un élément x de l'ensemble X défini inductivement par (B, Ω) est constructible de manière
unique, s'il est dans la base ou exclusif s'il existe un unique constructeur ω et un unique p-
uplet (x1,x2,...,xp) tel que x = ω(x1,x2,...,xp).
Le schéma (B, Ω) définissant X est libre (ou non ambigu) si tout mot de X est constructible
de manière unique.
 Définition inductive d'une fonction
Soit X défini par un schéma (B, Ω) libre. Pour définir de manière inductive une fonction de X
dans A, il suffit que :
- f(b) soit définie pour tout b de B
- f(ω (x1,x2,...,xp )) soit définie en fonction des xi et des f(xi) et ceci pour tous les ω et tous les
xi.