AGRANDISSEMENT, REDUCTION DES FIGURES GEOMETRIQUES

AGRANDISSEMENT, REDUCTION DES FIGURES GEOMETRIQUES
A l’origine de cette activité nous avons eu l’idée de faire une autre gestion de la gestion classique de
« puzzle de Brousseau ». Puis la réflexion est venue sur le fait que si les élèves de la sixième avaient une
représentation fausse, à savoir : « pour agrandir une figure et garder la même forme il suffit d’ajouter une
même quantité à chaque mesure de longueur de chaque polygone du puzzle », alors cet obstacle à
l’apprentissage de la géométrie mérité bien un enseignement spécifique. C’est ainsi que nous vous
présentons ici quelques activités consacrées à aider nos élèves à apprendre la bonne représentation
mathématique de l’agrandissement et puis de la réduction.
IUFM de Basse-Normandie, IREM de Basse-Normandie, Université de Caen, France
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Niveau éducatif: formation des professeurs du secondaire et de l’école primaire, cycle 3
Introduction
La presque totalité de nos élèves de la fin du CM2 et du début de la sixième pensent que pour
agrandir une figure polygonale et conserver sa forme le bon modèle mathématique est celui
qui consiste à ajouter à la longueur de chaque côté du contour, une longueur fixe. L’exemple
classique de Guy Brousseau dans son activité puzzle a mis en évidence que quand les élèves
sont conviés à agrandir les pièces du puzzle sachant qu’un segment qui mesurait 4cm devra
mesurer 7cm dans la figure agrandie , les élèves ajoutent 3cm à la longueur de touts les côtés
initiaux. Les élèves penchent pour la modélisation « additive », qui consiste à ajouter 3cm à
toutes les longueurs des côtés de chaque polygone.
Ceci est un exemple d’obstacle, c'est-à-dire que la presque totalité des élèves du CM2 ou
du début de la sixième qui n’avaient jamais travaillé cette notion d’agrandissement en
gardant la « même forme » proposent cette modélisation erronée.
Nous considérons que tout « obstacle » nécessite un apprentissage spécifique pour le dépasser
et arriver au bon modèle.
C’est ainsi que je vous montrerai sur ce sujet, une proposition d’activité. A vous de vous
l’approprier pour votre enseignement de sixième au collège.
Phase 1
On part de figures qui ont une propriété géométrique connue de nos élèves.
Avec des triangles rectangles
On donne aux élèves des triangles rectangles de deux types : 3,4,5 et 6,8,et 10 mesurés en
cm, découpés dans du papier cartonné.
Dans une première étape les élèves constatent par des perceptions visuelles qu’ils ont la même
forme. Ils arrivent même à constater et énoncer que le plus grand est le « double » du petit.

Les élèves constatent avec l’équerre que les deux triangles sont rectangles et que les mesures
des côtés sont 3,4,5 et 6,8,et 10 (en cm).
Ensuite on leur demande d’ajouter 1cm à chaque mesure et de construire deux autres triangles
de mesures 4,5,6 et 7,9,11. On se pose alors la question si ces deux triangles sont encore de la
même forme et s’ils sont encore rectangles ?
Les élèves constatent visuellement avec l’équerre que les angles droits ne ce sont pas
conservés, de même que la « forme » n’est plus la même que pour les deux triangles donnés
au départ.
Nous avons obtenu les mesures à l’aide de Cabri géomètre, mais bien entendu les élèves
constatent simplement à l’équerre que les angles ne sont pas droits. En plus ils dissent grâce à
des mesures de longueur, que le triangle plus grand n’est plus « le double » du plus petit.

Phase 2
On ajoute cette fois au mesures 3,4 et 5 (en cm) ; 5cm à chacune pour obtenir 8,9,et 10 (en
cm).
On obtient des triangles qui ont de plus en plus une allure de triangle isocèle, voir équilatéral.
Par exemple si on ajoute 10 à chaque mesure on obtient un triangle de 13,14,15 (en cm) qui se
rapproche de la forme équilatérale.
Par un simple raisonnement, bien entendu seulement pour les professeurs ou pour les
étudiants du second cycle du secondaire, on peut prouver facilement que si k, h et r sont trois
nombres fixes la limite à l’infini en n, des quotients (n+k)/(n+h) ; (n+k)/(n+r) et (n+h)/(n+r),
vaut 1

Phase 3
On propose de réfléchir sur le fait que si un triangle donné est équilatéral au départ, par
exemple de mesures 4, 4,4 (en cm), alors si on ajoute une même mesure on obtiendra toujours
des triangles équilatéraux .
Ceci peut donner espoir aux élèves que sur certains triangles comme l’équilatéral l’ajout
d’une mémé mesure, conduit à un agrandissement qui garde la même forme.
On fait alors le bilan des triangles travaillés et on conclut que seuls sur les triangles
équilatéraux l’ajout d’une même mesure donne encore des triangles de même forme , c'est-à-
dire équilatéraux. Les élèves argumentent que le nouveau triangle aura les trois côtés de
même mesure de longueur et alors il sera encore un triangle

équilatéral.
C’est alors qu’on propose de tracer une hauteur dans un triangle équilatéral de 6cm de côté.
Ensuite de découper le triangle en deux triangles rectangles superposables