Chapitre_3_primitives

- 1 - Chapitre 3 : BTS 2 électrotechnique
Chapitre 3 :
Intégrale
I Notion de primitives
A] Définition
Définition :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de IR. Une fonction F est appelée primitive de f
si elle est définie et dérivable sur I et si pour tout x I, F’(x) = f(x).
Autrement dit, une primitive de f est une fonction qui admet f comme dérivée.
Exemples :
 f(x) = x2 + 1. F(x) =
Error!
x3 + x – 5 est une primitive de f sur IR.
 f(x) =
Error!
. F(x) = –
Error!
est une primitive de f sur ] 0 ; + [.
B] Théorèmes et propriétés
Théorème :
Toute fonction continue sur un intervalle I de IR admet une primitive sur I.
Démonstration :
ADMIS
Propriété :
Soient f une fonction continue sur un intervalle I de IR, F une primitive de f sur I.
Alors x
Error!
F(x) + k, où k IR est aussi une primitive de f sur I.
Démonstration :
Comme f est continue sur I, elle admet au moins une primitive sur I d’après le théorème
précédent. Soit F une primitive de f sur I. Alors G : x
Error!
F(x) + k, où k IR est aussi
dérivable sur I comme somme de deux fonctions dérivables. En outre G’(x) = F’(x) + 0 = f(x).
Ainsi G est aussi une primitive de f sur I.
Remarques :
 On dit aussi que deux primitives d’une même fonction sont égales à une
constante prêt.
 Une fonction qui admet au moins une primitive en admet une infinité.
Théorème d’unicité :
Soient f une fonction continue sur I un intervalle de IR, x0 I et y0 IR. Alors il existe une
unique primitive F de f telle que F(x0) = y0.
Démonstration :
 unicité : On suppose qu’il existe deux primitives de f, F et G telles que F(x0) =
G(x0) = y0.
On sait avec la propriété précédente qu’il existe k IR tel que F(x) = G(x) + k pour tout x IR.
Mais F(x0) = G(x0), donc k = 0. Ainsi F = G sur I.
 Existence : f est continue sur I, elle admet donc des primitives sur I. Soit G
l’une d’entre elles.
Puisque G est définie sur I G(x0) existe. On pose alors F(x) = G(x) + y0 – G(x0).

- 2 - Chapitre 3 : BTS 2 électrotechnique
F est définie et dérivable sur I comme somme de deux fonctions dérivables ; en outre pour
tout x I, F’(x) = G’(x) = f(x). Ainsi F est une primitive de f sur I. De plus F(x0) = G(x0) + y0
– G(x0) = y0. D’où l’existence d’une primitive F de f sur I tel que F(x0) = y0.
 Conclusion : il existe bien une unique primitive de f sur I telle que F(x0) = y0.
II Détermination de primitives
A] Propriété
Propriété :
Soient f et g deux fonctions dérivables sur I un intervalle de IR.
 Si F est une primitive de f sur I et si G est une primitive de g sur I, alors F + G
est une primitive de f + g sur I.
 Si F est une primitive de f sur I et si k IR, alors kF est une primitive de kf sur
I.
B] Primitives des fonctions usuelles
La lecture du tableau des dérivées dans le sens f ’ vers f permet d’obtenir les primitives des
fonctions usuelles.
Soient a IR* et b IR.
Dans ce qui suit C est une constante réelle ou complexe.
f est définie par
sur
Les primitives Fde f sont
définies par :
f(x) = a
IR
F(x) = ax + C
f(x) = x
IR
F(x) = Error! x2 + C
f(x) = xn; n  Error! \ {–1}
IR si n > 0.
] – ; 0 [ ou ] 0 ; +[ si n < 0
et n  –1.
F(x) = Error!xn+1 + C
f(x) = Error!
] – ; 0 [ ou ] 0 ; +[
F(x) = – Error! + C
f(x) = Error!
] 0 ; +[
F(x) = 2 x + C
f(x) = cos x
IR
F(x) = sin x + C
f(x) = sin x
IR
F(x) = –cos x + C
f(x) = Error! = 1 + tan2 x
] Error! ; Error![
F(x) = tanx + C
f(x) = Error!
IR+*
ln x + C
f(x) = ex
IR
ex + C
Exercice 1p86.
C] Conséquences du théorème sur la dérivation d’une fonction
composée
On va en déduire un certain nombre de primitive par lecture inverse de la formule de
dérivation d’une fonction composée. Soient a I; R+* et b I; R.
C est encore une constante.
f est définie sur un intervalle I par
Les primitives F de f sont définies sur I par
f(x) = sin ( ax + b)
F(x) = – Error! cos ( ax + b) + C
f(x) = cos ( ax + b)
F(x) = Error! sin ( ax + b ) + C

- 3 - Chapitre 3 : BTS 2 électrotechnique
f(x) = u’(x) u(x)n; n  Error!\ {–1}
F(x) = Error! u(x)n+1 + C
f(x) = Error!
F(x) = – Error! + C
f(x) = Error!
F(x) = 2 u(x) + C
Remarque :
En physique on utilise souvent les deux premiers résultats de ce tableau.
Conseil :
Lorsque l’on a trouvé une primitive il est prudent de procéder à une vérification en la dérivant
pour vérifier que l’on retrouve bien la fonction initiale !!!
Exercices 2 et 3p86.
III Définition et premières propriétés de l’intégrale
A] Définition
Remarque :
Soient F et G deux primitives de f sur I où f est une fonction continue sur I un intervalle de IR.
Soient a et b appartenant à I.
Comme F et G sont deux primitives d’une même fonction sur un même intervalle I, il existe
k IR tel que F = G + k.
Ainsi F(b) – F(a) = ( ) G(b) + k – ( ) G(a) + k = G(b) – G(a).
Donc le nombre F(b) – F(a) est indépendant de la primitive de f sur I que l’on choisit !!!!
Définition :
Soit f une fonction continue sur un intervalle I de IR et F une primitive de f sur I. Soient a et b
deux réels appartenant à I. On appelle intégrale de a à b de f le nombre F(b) – F(a).
Cela se note
Error!
dx =
Error!
ba = F(b) – F(a).
Remarques :
Error!
dx se lit « intégrale de a à b de f(x)dx » ou « somme de a à b de f ».
 Dans la notation la lettre x peut être remplacée par n’importe quelle autre lettre
excepté a, b et f.
 Avant de calculer une intégrale, on doit souvent trouver une primitive.
Exemples :
Error!
dx =
Error!
12 =
Error!
23 –
Error!
13 =
Error!
.
Error!
dx =
Error!
23 =
Error!
–
Error!
=
Error!
.
B] Propriétés
1) 1ère conséquences :
Soit f une fonction continue sur I un intervalle de IR et F une primitive de f sur I. Soient a et b
deux réels appartenant à I.
Error!
dt = 0.
Error!
dx = –
Error!
dx.
Démonstration :
Error!
dt = F(a) – F(a) = 0.
Error!
dx = F(b) – F(a) = –
Error!
= –
Error!
dx.
Exemple :
Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = 3x2 – 2x + 3.
Elle est définie et continue sur IR, il existe des primitives de f sur IR.
Calculer J =
Error!
=
Error!
21 = F(1) – F(2) =
Error!
–
Error!
= 3 – 10 = –7.
2) Propriétés :
Propriété :
Soient f une fonction continue sur I un intervalle de IR et a I.

- 4 - Chapitre 3 : BTS 2 électrotechnique
La fonction G : x
Error!
Error!
est l’unique primitive de f sur I qui s’annule en a.
La relation de Chasles :
Propriété :
Soit f une fonction continue sur I un intervalle de IR. Soient a, b et c trois réels appartenant à
I. Alors on a :
Error!
dx =
Error!
dx +
Error!
dx.
Démonstration :
Comme f est continue sur I, notons F une de ses primitives.
Error!
dx = F(b) – F(a) =
Error!
+
Error!
.
Error!
dx +
Error!
dx =
Error!
dx +
Error!
dx.
Remarque :
Penser à la relation de Chasles avec les vecteurs.
Les réels a, b et c sont dans un ordre quelconque.
Linéarité de l’intégrale :
Propriété :
Soient f et g deux fonctions continues sur I un intervalle de IR et soient a et b deux réels
appartenant à I et  IR.
On a alors : 
Error!
= 
Error!
dx .
Error!
=
Error!
dx +
Error!
dx.
Démonstration :
Soient F et G une primitive de f et g sur I.
Error!
=
Error!
(b) –
Error!
(a) = 
Error!
= 
Error!
dx. Car F est une primitive de f sur
I.
Error!
=
Error!
(b) –
Error!
(a) =
Error!
+
Error!
=
Error!
dx +
Error!
dx.
Ordre et intégrale :
Propriété :
Soit f une fonction continue sur I un intervalle de IR tel que f 0.
Soient a et b deux réels de I tels que a b.
On a alors :
Error!
dx 0.
Démonstration :
ADMIS
Conséquences :
 Soient f et g deux fonctions continues sur I un intervalle de IR telles que f g.
Soient a et b deux réels de I tels que a b.
On a alors :
Error!
dx
Error!
dx.
Démonstration :
On utilise la propriété précédente avec h = g – f 0.
 Soit f une fonction continue sur un intervalle [ a ; b ], alors
Error!
dx
Error!
dx.
Démonstration :
On applique la remarque précédente avec la double inégalité – f(x) f(x) f(x) .

- 5 - Chapitre 3 : BTS 2 électrotechnique
 Théorème : Inégalité de la moyenne
Soit f une fonction continue sur I un intervalle de IR telle que m f M. Soient a et b deux
réels de I tels que a b.
On a alors : m ( ) b– a
Error!
dx M
Error!
.
Démonstration :
On utilise deux fois la première conséquence.
Définition :
Soit f une fonction continue sur I un intervalle de IR. Soient a et b deux réels de I tels que
a<b. On appelle valeur moyenne de f sur [ a ; b ] le nombre réel µ =
Error!Error!
dx.
Exemple :
Calculons l’intensité moyenne d’un courant alternatif pendant une période sachant que
l’intensité est définie par i(t) = I sin t et que la période est donnée par T =
Error!
.
Imoy =
Error!
Error!
=
Error!
Error!
0T = –
Error!
Error!
Error!
; mais T = 2.
Ainsi Imoy = 0. Donc l’intensité moyenne sur une période est nulle.
Le faire aussi sur une demi période et obtenir Imoy =
Error!
.
 Valeur efficace d’une fonction
Définition :
Soit f une fonction continue sur l’intervalle [ a ; b ].
La valeur efficace de la fonction f sur cet intervalle est le réel fe défini par fe=
Error!
.
Exemple :
Le faire avec la fonction i(t) = Imax sin ( t) sur l’intervalle [ 0 ;
Error!
]. On retrouve que ie=
Error!
.
 Inégalité des accroissements finis
Propriété :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I, dont la dérivée f ’ est continue sur I et telle
que, pour tout x de I, il existe un réel k tel que f ’(x) k, alors quelque soit les réels a et b
de l’intervalle I on a f(b) – f(a) k b – a .
Démonstration :
On a f ’(x) k, ainsi
Error!
dx
Error!
dx
Error!
dx.
Or
Error!
dx = k
Error!
.
Donc
Error!
dx k
Error!
.
De même si b a on a
Error!
dx k
Error!
.
Donc
Error!
dx k
Error!
.
Or
Error!
dx =
Error!
.
Donc f(b) – f(a) k b – a .
Exercices 7 et 8p87.
IV Interprétation graphique de l’intégrale
Préambule :
L’unité d’aire est l’aire du rectangle OIKJ ci contre.
Interprétation graphique :