Devoir surveillé N°9.

PCSI. 00/01.
Physique.
Devoir surveillé N°9.
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation claire et lisible
est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
Premier problème. L’EXTINCTION DES DINOSAURES.
Les données numériques nécessaires à la résolution du problème sont présentées au fur et à mesure de l’exposé
des questions ; la lecture de la totalité des questions qui précèdent est donc nécessaire à la résolution de chacune
des questions posées. Cependant, de nombreuses questions sont indépendantes les unes des autres : il est possible
de répondre à certaines questions sans avoir nécessairement résolu toutes celles qui les précèdent.
Il y a de cela environ 65 millions d’années, les dinosaures et de nombreuses autres espèces vivantes, terrestres et
aquatiques, animales et végétales, ont été victimes d’une extinction massive et brutale événement K/T, à la limite
des périodes crétacée (K) et tertiaire (T). Parmi les diverses hypothèses proposées, celle qui recueille à l’heure
actuelle le plus de suffrages dans la communauté scientifique est celle de l’impact d’une comète à la surface de la
Terre. Ce problème examine quelques-uns des aspects de la description mécanique et énergétique d’un tel impact.
Première partie – Les mouvements cométaires
Un ensemble d’astéroïdes de faible dimension se trouve vraisemblablement réparti, dans le système solaire, à
grande distance du Soleil (au-delà de l’orbite de Pluton). La masse totale de ces astéroïdes (nuage de Oort)
représente environ le tiers de la masse totale des neuf planètes et de leurs satellites.
Lorsqu’un de ces astéroïdes est suffisamment dévié de sa trajectoire quasi-circulaire par l’effet gravitationnel
d’autres astéroïdes et planètes pour s’approcher à très courte distance du Soleil, il prend le nom de comète.
Nous étudions ici les caractéristiques du mouvement d’une comète hypothétique, qui pourrait, à certains
égards, ressembler à celle qui fut peut-être responsable de l’événement K/T.
Cette comète C, de masse m = 2,5 1015 kg, est considérée comme sphérique, de rayon rc = 104 m ; sa
trajectoire autour du Soleil est une ellipse très allongée.
La comète C est aussi caractérisée par une distance maximale au Soleil dmax = 5.104 a, où a = 1,5.1011 m
est le rayon de la trajectoire (supposée circulaire) terrestre autour du Soleil (a est appelé unité astronomique).
Elle est enfin caractérisée par une période de mouvement notée T. On note To = 365,25 jours la période du
mouvement terrestre autour du Soleil.
1. Déterminer numériquement la vitesse vo de la Terre sur son orbite circulaire autour du Soleil.
2. On note G la constante de la gravitation universelle et MS la masse du Soleil. Exprimer le produit G MS
en fonction de vo et a.
3.
La distance minimale de C au Soleil est notée dmin. Exprimer, en fonction de dmax, dmin, a et vo, les
4.
vitesses maximale vmax et minimale vmin de C sur son orbite. On pourra utiliser des relations de
conservation.
Quelle relation doivent vérifier dmin et a pour qu’un impact de C sur la surface de la Terre puisse être
envisagé ?
En déduire une évaluation numérique de la plus petite valeur possible pour vmax.
5.
On choisira dans la suite dmin  a. Quelles sont les valeurs extrêmes possibles de la vitesse relative de la
Terre et de C (vitesse d’impact) au moment du choc de C sur la Terre ?
Deuxième partie – L’impact
L’hypothèse d’un impact de comète a été avancée pour la première fois à la suite de la mise en évidence d’une
couche, déposée sur toute la surface de la Terre (considérée comme une sphère de rayon RT = 6,4.106 m)
d’épaisseur e = 3mm, contenant de l’Iridium (métal lourd et non radioactif) en proportion anormale. La couche
(dite K/T) ainsi mise en évidence est actuellement enfouie sous des sédiments plus récents. Elle contient une masse
totale d’Iridium estimée à mI = 5.108 kg. La proportion usuelle d’Iridium en masse dans la croûte terrestre est de
l’ordre de 10-10.
6. La masse volumique moyenne de la terre est T = 5,5.103 kg.m-3. Comparer les proportions d’Iridium
dans la couche K/T et dans le reste de la croûte terrestre. Conclure, sachant que la proportion d’Iridium
en masse dans les astéroïdes et les comètes est quelques dizaines à quelques centaines de fois plus élevée
que dans la croûte terrestre.
Au moment de l’impact, nous considérerons que la trajectoire de la comète C parvient sur la Terre selon une
trajectoire verticale, avec une vitesse (relativement au sol terrestre) égale à v1 = 2.104 m.s-1, qui reste pratiquement
constante pendant la traversée de l’atmosphère, au-dessus de la mer où l’impact a eu lieu.
Lors de sa descente dans l’atmosphère, la comète expulse la totalité de
l’atmosphère dans une colonne cylindrique de rayon rc.
7.
Déterminer la masse mair de cette colonne d’air, sur la
hauteur totale de l’atmosphère. La pression atmosphérique
au sol est Po = 105 Pa et l’accélération de la pesanteur au sol
est g = 9,8 m.s-2. La hauteur totale de l’atmosphère, h, est de
8.
9.
l’ordre de la centaine de kilomètres (h  6.104 m). On
considérera que l’intensité et la direction du champ de
pesanteur sont constants sur cette distance.
La variation relative de la vitesse de la comète à l’issue de sa
traversée de l’atmosphère est inférieure de 1 % à ce qu’elle
serait en l’absence d’atmosphère. Comparer la variation de
l’énergie cinétique de la comète, lors de cette même traversée, et la variation de son énergie potentielle
de pesanteur.
En déduire, en considérant le transfert d’énergie de la comète à l’air expulsé au cours de sa descente,
l’ordre de grandeur de la vitesse des molécules d’air au moment où elles quittent cette colonne
cylindrique.
Comparer l’énergie cinétique communiquée par la comète à l’atmosphère à l’énergie cinétique initiale de
la comète. Conclure.
Deuxième problème. UNE APPROCHE DE LA RÉVERSIBILITÉ.
La mole de gaz parfait considérée dans cette partie est caractérisée par son coefficient , rapport des chaleurs
massiques à pression et à volume constant, supposé indépendant de la température. La constante des gaz parfaits
est notée R. Pour chacune des évolutions du gaz, l’état initial sera l’état d’équilibre, caractérisé par les grandeurs
(P0,V0,T0) = (pression, volume, température) ; on cherchera chaque fois à limiter la production d’entropie associée
à l’évolution.
1. Étude d’une transformation monotherme.
1. Le gaz parfait est placé dans un récipient à parois fixes. Une des parois
est mise en contact avec un thermostat dont la température est notée TT.
Les autres parois sont calorifugées. Déterminer l’état final (Pf ,Vf ,Tf) du
gaz quand, à l’issue de la transformation, l’équilibre est atteint. Effectuer
un bilan d’entropie. La transformation est-elle thermiquement réversible?
2.
On réalise la transformation précédente en mettant la paroi non calorifugée du récipient contenant le gaz
avec une succession de N sources dont les températures respectives Tk (1  k  N ) sont
(T  To )
NTo  TT
Tk  T
k
 To  (k  1) (ce qui définit ). On a de la sorte T1  To et TN  TT . Définir
N 1
N 1
l’état final du gaz à l’issue de cet ensemble de transformations.
Effectuer un bilan entropique pour la transformation élémentaire Tk 1  Tk . En déduire, pour la
transformation totale, l’expression de la quantité d’entropie liée à une éventuelle irréversibilité thermique
de la transformation.
3. Cette quantité d’entropie peut-elle s’annuler lorsque N est assez grand (en toute rigueur N tendant vers
l’infini ) ? On rappelle que ln (1   )   
2
2

2. Étude d’une transformation monobare.
4. Le gaz parfait est initialement en contact avec une source à la
température T0, dans un récipient dont les autres parois sont
calorifugées. Une de ces parois, initialement bloquée, peut se déplacer
sans frottement. On libère la paroi mobile, la pression extérieure,
constante, est notée PT. Déterminer l’état final ( Pf ,Vf ,Tf ) du gaz
quand, à l’issue de la transformation, l’équilibre est atteint. Effectuer un bilan d’entropie. La
transformation est-elle thermiquement réversible ?
5. On réalise la transformation précédente en déplaçant la paroi mobile par étapes successives. À l’étape k,
la pression du gaz est Pk  Po  (k  1) , de sorte que P1 = Po et PN = PT . Avec 1  k  N , cela définit
l’incrément de pression . Définir l’état final du gaz à l’issue de la transformation complète. Effectuer un
bilan entropique pour la transformation élémentaire Pk 1  Pk . En déduire, pour la transformation totale,
la quantité d’entropie liée à une éventuelle irréversibilité mécanique de la transformation.
6. Cette quantité d’entropie peut-elle s’annuler ?
3. Au-delà du gaz parfait...
Un ressort élastique de raideur k est chargé en N étapes par une masse M ; à chacune des étapes,
M
une masse m 
est ajoutée au système, et la longueur du ressort augmente de h. Au total, la
N
longueur du ressort a augmenté de H = Nh . On rappelle la formule sommatoire :
N ( N  1)
1 2  3  N 
.
2
7. Calculer la variation d’énergie potentielle associée au chargement progressif du ressort,
calculer la variation d’énergie élastique et en déduire l’expression de l’énergie dissipée
sous forme thermique.
8. La température du milieu est constante, calculer la variation d’entropie associée au processus.
Une mole de gaz parfait en contact avec un thermostat à la température T est
comprimée de la pression Pi à la pression Pf, son volume varie de Vi à Vf.
Lorsque la transformation est soudaine, comme c’est le cas par
exemple si l’on pose sur le piston un objet de masse appropriée, le système se
stabilise après quelques oscillations
amorties. L’énergie thermique dissipée dans le milieu extérieur est Q = Pf (Vi –
Vf).
9. Exprimer la variation d’entropie du thermostat, S T et celle du gaz, S G . Exprimer la variation totale
d’entropie en fonction de R et des pressions initiale et finale.
10. Exprimer la variation totale d’entropie lorsque le processus est réalisé en N étapes.
Pi  Pf
 1 simplifier l’expression de la variation d’entropie établie à la question 10.
11. Dans le cas où
Pi
Troisième problème. TELESCOPE DU SATELLITE HIPPARCOS.
On propose de modéliser le télescope d’Hipparcos
par un miroir concave Mc de rayon R = 2800 mm
avec un miroir plan Mp de renvoi. On note S le
sommet du miroir concave et qui est pris pour
origine. La lumière subit deux réflexions et passe par
un orifice dans le miroir concave pour atteindre le
détecteur. Il est constitué d’une grille et de cellules
CCD permettant de repérer la position de l’image. La
grille comporte N = 2688 fentes équidistantes de l = 8,2 m.
On considère une étoile E visée dans la direction Sx. L’axe Sx est orienté vers l’étoile.
1. Déterminer l’abscisse x1 de l’image E1 de l’étoile E par le miroir Mc.
2. On note a la distance séparant le miroir plan et le sommet du miroir concave. Déterminer une condition
sur a pour que l’image finale E2 se forme sur le détecteur placé à l’arrière du miroir concave.
3. Déterminer la largeur angulaire c, du champ observé. Calculer c en degré.
En réalité Hipparcos réalise une mesure de position
relative des étoiles. Le télescope vise deux directions
symétriques par rapport à Sx présentant un angle =
58°. Ainsi on obtient avec une grande précision
l’angle entre deux étoiles. C’est un système de deux
miroirs plans M1, M2 qui permet d’obtenir les
images des deux étoiles sur le détecteur. Le
télescope tourne autour d’un axe de direction Sz
avec une période T = 128 minutes. On supposera que
la direction Sz est fixe bien que cet axe se déplace
lentement afin de viser toute la sphère céleste.
5.
Déterminer l’angle 0 des miroirs M1 et
M2 avec l’axe Sx du télescope.
Déterminer le déplacement angulaire 1 d’un rayon lumineux réfléchi par le miroir M1 lorsque le satellite
6.
tourne d’un angle . Préciser le sens de déplacement des rayons réfléchis par M1 et M2.
Quelle est la norme V de la vitesse de déplacement des images sur le détecteur?
4.