I Fonction Logarithme

FONCTION LOGARITHME
I FONCTION LN DEFINITION
La fonction x Error! ex est continue, strictement croissante, Error! ex = 0 et Error!ex = +  D'après le théorème
de la bijection on peut dire que la fonction exponentielle est une bijection de I; R sur I; R+*
On sait que : pour tout b  ] 0 ; +  [, il existe un unique réel a tel que b = exp(a) ; on note a = ln(b) , ce qui se
lit logarithme népérien de b.
Ainsi, à tout x réel strictement positif, on peut associer un réel noté ln (x).
1° Définition
La fonction, définie sur [ 0 ; +  [ , qui à x associe ln(x) est appelée fonction logarithme népérien
ln : Error!.
On dit que les fonctions ln et exp sont des fonctions réciproques l'une de l'autre.
2° Remarque
Il résulte de la définition 1 que si b > 0 : a = ln b  b = ea
3° Théorème
Pour tout réel b strictement positif, eln(b) = b .
Pour tout réel a, ln (ea) = a .
ln 1 = 0 et ln e = 1 .
II PROPRIETES ALGEBRIQUES DE LA FONCTION LN
1° Théorème
Pour tous réels a et b strictement positifs
(1) ln a b = ln a + ln b.
(2) ln Error! = – ln a
(4) pour tout n  Z;Z, ln (an) = n ln (5) ln a = Error! ln a
a.
Démonstration
Soit a et b deux réels quelconques strictement positifs.
On sait que ea = eb  a =b
(3) ln Error! = ln a ln b.
(1) Ainsi, démontrer que ln a b = ln a+ ln b est équivalent à
(2) ln 1 = lnError! =ln a +ln Error!.
démontrer que exp(ln (a b))= exp(ln a + ln b).
Ainsi :ln a +ln Error! = 0 ; donc ln Error! =
exp(ln a + ln b).= exp(ln a)  exp (ln b) = a  b = exp(ln(a b))
– ln a
Donc : ln a + ln b = ln(a b)
(3) ln Error! = In Error! ln a+ ln Error! =ln a – ln (4) Pour n  0, la démonstration se fait par récurrence .
b.
(5) D'une part, ln
((
2
a)
) = ln a, et, d'autre part, ln ((
2
a)
) = 2 ln
a.
D'où : ln a = Error! ln a
Remarque On peut généraliser la propriété (1) à plusieurs nombres. Par exemple pour tous les réels a, b et c
strictement positifs, ln (a  b  c) = ln a + ln b + ln c .
2° Résolution d'équation et d'inéquation
Théorème
Pour tous a et b réels strictement positifs
(1) ln a = ln b  a = b.
(2) ln a < lnb ~a < b.
Démonstration
ln a = ln b  exp(ln a)) = exp(ln a)  a = b
Ce théorème permet de résoudre certaines équations ou inéquations comportant des logarithmes ou dans
lesquelles l'inconnue figure en exposant.
Exemples
1° Résoudre dans I; R l'équation: ln (2 x – 1) = ln(x – 2) .
2° ln (3 x + 1) < 2
III ETUDE DE LA FONCTION LN
1° Dérivabilité et sens de variation
Théorème
La fonction ln est strictement croissante sur ] 0 ; +  [.
La fonction ln est dérivable sur ] 0 ; +  [.
Pour tout x  ] 0 ; +  [ , ln'(x) = Error!
Démonstration
Si a et b sont deux nombres strictement positifs on a : a < b  ln a < ln b. la fonction ln est donc strictement
croissante
La dérivabilité sur ] 0 ; +  [ de la fonction ln fonction réciproque d'une fonction dérivable sur I; R est admise.
Soit g la fonction définie pour tout x réel strictement positif par : g(x) = exp (ln x)
g est dérivable sur I; R+;* c'est la composée de la fonction ln, dérivable sur I; R+;*, suivie de la fonction exp,
dérivable sur I; R. Pour tout réel x strictement positif on a : g '(x) = exp ' (ln x)  ln '(x) = exp(ln x)  ln '(x) = x
ln '(x)
D'autre part pour tout réel x, g(x) = x donc pour tout réel x, g'(x) = 1 .
On a pour tout réel x strictement positif, x ln '(x) = 1 donc ln'(x) = Error!
2° Limites usuelles de la fonction ln
Théorème
Error! ln x = + 
lim;
ln x = – 
+
x0
lim;
x0
+
Error!
=1
=0
x ln x = 0
+
Error! Error!
lim;
x0
lim;
x1
Error!
=1
Démonstration

Error! ln x = + 
Pour démontrer que .Error! ln x = +  , il suffit de démontrer que pour tout réel M positif et pour tout réel x
suffisamment grand, ln x > M
Soit M un réel donné ; on sait que : ln x > M  x > exp(M).
On a pour tout réel M : x > exp(M)  ln x > M
On peut donc dire que : Error! ln x = + 

Error! Error! = 0
On a vu que :  y  I; R, ey > y. Donc :  x > 0, eln x > ln x C'est-à-dire :  x > 0, x > ln x
 x > 1,
0 < ln x  x  0 <Error!  Error!  0 <Error!  Error!  0 < Error!  Error!
D'après le théorème des gendarmes : Error! Error! = 0 donc Error! Error! = 0

lim;
ln x = – 
+
x0
On pose X = Error! on a : Error! ln x = Error! ln Error! = Error! – ln X = – 

lim;
x ln x = 0
+
x0
lim;
x0

lim;
+
x ln x = Error! Error!  ln Error! = Error! – Error! = 0
x1
Error!
= 1 = Error! Error!
La fonction ln est dérivable en 1 et ln '(1) = Error! = 1. On a donc Error! Error! = 1 = Error!Error!
d'où : lim;
Error! = 1 et Error!Error! = 1
x1
4
y
3° Tableau de variation et représentation graphique
x
signe de f '
f
0
+
+
2
+
0
x
–
-1
0
1
2
3
4
Remarques
-2

La croissance de la fonction ln est lente. Par exemple: ln(108)  18,42 .

Soit C la courbe représentative de la fonction ln dans un repère (O ; Error!, Error! )
La tangente au point d'abscisse 1 est la droite d'équation y = x – 1 .
-4
La tangente au point d'abscisse e est la droite d'équation : " y = Error! " : elle passe par O.
La courbe représentative de la fonction ln est en dessous de ces deux tangentes

Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctions exp et ln sont symétrique par rapport
à la droite d'équation " y = x ".
IV DERIVEES
1° Théorème
Si u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I ouvert
alors la fonction f définie sur I par f(x) = ln (u(x)) est dérivable sur I et pour tout x de I, f '(x) = Error!
Démonstration
Si l'on a pour tout x de I, u(x) > 0 , alors, en utilisant la formule donnant la dérivée d'une fonction composée, on
obtient : pour tout x de I, f '(x) = ln '(u(x))  u'(x) =Error!
2° Remarque
Soit u une fonction telle que pour tout x de I, u(x) < 0 et f la fonction définie sur I par : f(x) = ln(– u(x)).
En utilisant la formule donnant la dérivée d'une fonction composée, on obtient pour tout x de I,
f '(x) = Error! = Error!
Ainsi, si u est une fonction dérivable et qui ne s'annule pas sur un intervalle I ouvert, alors la fonction
f: x Error! ln (|u(x)|) est dérivable sur I et pour tout x de I, f '(x) = Error!
3° exemple
La fonction f définie sur I; R par x Error! ln (x2 + 1) a pour dérivée la fonction définie e sur Error! par :
x Error! Error!
La fonction f définie sur ] – Error! , Error! [ par : f(x) = – ln (cos x) est dérivable sur ] – Error! , Error! [ .
On a pour tout réel x de ] – Error! , Error! [ , f '(x) = Error! = tan x