I Fonction Logarithme

FONCTION LOGARITHME
I FONCTION LN DEFINITION
La fonction x
Error!
ex est continue, strictement croissante,
Error!
ex = 0 et
Error!
ex = + D'après le théorème
de la bijection on peut dire que la fonction exponentielle est une bijection de I; R sur I; R+*
On sait que : pour tout b ] 0 ; + [, il existe un unique réel a tel que b = exp(a) ; on note a = ln(b) , ce qui se
lit logarithme népérien de b.
Ainsi, à tout x réel strictement positif, on peut associer un réel noté ln (x).
1° Définition
La fonction, définie sur [ 0 ; + [ , qui à x associe ln(x) est appelée fonction logarithme népérien
ln :
Error!
.
On dit que les fonctions ln et exp sont des fonctions réciproques l'une de l'autre.
2° Remarque
Il résulte de la définition 1 que si b > 0 : a = ln b b = ea
3° Théorème
Pour tout réel b strictement positif, eln(b) = b .
Pour tout réel a, ln (ea) = a .
ln 1 = 0 et ln e = 1 .
II PROPRIETES ALGEBRIQUES DE LA FONCTION LN
1° Théorème
Pour tous réels a et b strictement positifs
(1) ln a b = ln a + ln b.
(2) ln Error! = – ln a
(3) ln Error! = ln a ln b.
(4) pour tout n  Z;Z, ln (an) = n ln
a .
(5) ln a = Error! ln a
Démonstration
Soit a et b deux réels quelconques strictement positifs.
On sait que ea = eb a =b
(1) Ainsi, démontrer que ln a b = ln a+ ln b est équivalent à
démontrer que exp(ln (a b))= exp(ln a + ln b).
exp(ln a + ln b).= exp(ln a)
exp (ln b) = a
b = exp(ln(a
b))
Donc : ln a + ln b = ln(a
b)
(2) ln 1 = ln
Error!
=ln a +ln
Error!
.
Ainsi :ln a +ln
Error!
= 0 ; donc ln
Error!
=
– ln a
(3) ln Error! = In Error! ln a+ ln Error! =ln a – ln
b.
(4) Pour n  0, la démonstration se fait par récurrence .
(5) D'une part, ln ( ) ( )a2 = ln a, et, d'autre part, ln ( ) ( )a2 = 2 ln a.
D'où : ln a =
Error!
ln a
Remarque On peut généraliser la propriété (1) à plusieurs nombres. Par exemple pour tous les réels a, b et c
strictement positifs, ln (a b c) = ln a + ln b + ln c .
2° Résolution d'équation et d'inéquation
Théorème
Pour tous a et b réels strictement positifs
(1) ln a = ln b a = b. (2) ln a < lnb ~a < b.
Démonstration
ln a = ln b exp(ln a)) = exp(ln a) a = b
Ce théorème permet de résoudre certaines équations ou inéquations comportant des logarithmes ou dans
lesquelles l'inconnue figure en exposant.
Exemples
1° Résoudre dans I; R l'équation: ln (2 x – 1) = ln(x – 2) . 2° ln (3 x + 1) < 2

III ETUDE DE LA FONCTION LN
1° Dérivabilité et sens de variation
Théorème
La fonction ln est strictement croissante sur ] 0 ; + [.
La fonction ln est dérivable sur ] 0 ; + [.
Pour tout x ] 0 ; + [ , ln'(x) =
Error!
Démonstration
Si a et b sont deux nombres strictement positifs on a : a < b ln a < ln b. la fonction ln est donc strictement
croissante
La dérivabilité sur ] 0 ; + [ de la fonction ln fonction réciproque d'une fonction dérivable sur I; R est admise.
Soit g la fonction définie pour tout x réel strictement positif par : g(x) = exp (ln x)
g est dérivable sur I; R+;* c'est la composée de la fonction ln, dérivable sur I; R+;*, suivie de la fonction exp,
dérivable sur I; R. Pour tout réel x strictement positif on a : g '(x) = exp ' (ln x) ln '(x) = exp(ln x) ln '(x) = x
ln '(x)
D'autre part pour tout réel x, g(x) = x donc pour tout réel x, g'(x) = 1 .
On a pour tout réel x strictement positif, x ln '(x) = 1 donc ln'(x) =
Error!
2° Limites usuelles de la fonction ln
Théorème
Error! ln x = + 
Error! Error! = 0
lim;x  0+ln x = – 
lim;x  0+ x ln x = 0
lim;x  0+ Error! = 1
lim;x  1 Error! = 1
Démonstration
Error!
ln x = +
Pour démontrer que .
Error!
ln x = + , il suffit de démontrer que pour tout réel M positif et pour tout réel x
suffisamment grand, ln x > M
Soit M un réel donné ; on sait que : ln x > M x > exp(M).
On a pour tout réel M : x > exp(M) ln x > M
On peut donc dire que :
Error!
ln x = +
Error!
Error!
= 0
On a vu que : y I; R, ey > y. Donc : x > 0, eln x > ln x C'est-à-dire : x > 0, x > ln x
x > 1,
0 < ln x x 0 <
Error!
Error!
0 <
Error!
Error!
0 <
Error!
Error!
D'après le théorème des gendarmes :
Error!
Error!
= 0 donc
Error!
Error!
= 0
 lim;x  0+ln x = –
On pose X =
Error!
on a :
Error!
ln x =
Error!
ln
Error!
=
Error!
– ln X = –
 lim;x  0+ x ln x = 0
lim;x  0+ x ln x =
Error!
Error!
ln
Error!
=
Error!
–
Error!
= 0
 lim;x  1
Error!
= 1 =
Error!
Error!
La fonction ln est dérivable en 1 et ln '(1) =
Error!
= 1. On a donc
Error!
Error!
= 1 =
Error!Error!
d'où : lim;x  1
Error!
= 1 et
Error!Error!
= 1

3° Tableau de variation et représentation graphique
x
0
+
signe de f '
+
+
f
–
Remarques
 La croissance de la fonction ln est lente. Par exemple: ln(108) 18,42 .
 Soit C la courbe représentative de la fonction ln dans un repère (O ;
Error!
,
Error!
)
La tangente au point d'abscisse 1 est la droite d'équation y = x – 1 .
La tangente au point d'abscisse e est la droite d'équation : " y =
Error!
" : elle passe par O.
La courbe représentative de la fonction ln est en dessous de ces deux tangentes
 Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctions exp et ln sont symétrique par rapport
à la droite d'équation " y = x ".
IV DERIVEES
1° Théorème
Si u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I ouvert
alors la fonction f définie sur I par f(x) = ln (u(x)) est dérivable sur I et pour tout x de I, f '(x) =
Error!
Démonstration
Si l'on a pour tout x de I, u(x) > 0 , alors, en utilisant la formule donnant la dérivée d'une fonction composée, on
obtient : pour tout x de I, f '(x) = ln '(u(x)) u'(x) =
Error!
2° Remarque
Soit u une fonction telle que pour tout x de I, u(x) < 0 et f la fonction définie sur I par : f(x) = ln(– u(x)).
En utilisant la formule donnant la dérivée d'une fonction composée, on obtient pour tout x de I,
f '(x) =
Error!
=
Error!
Ainsi, si u est une fonction dérivable et qui ne s'annule pas sur un intervalle I ouvert, alors la fonction
f: x
Error!
ln (|u(x)|) est dérivable sur I et pour tout x de I, f '(x) =
Error!
3° exemple
La fonction f définie sur I; R par x
Error!
ln (x2 + 1) a pour dérivée la fonction définie e sur
Error!
par :
x
Error!
Error!
La fonction f définie sur ] –
Error!
,
Error!
[ par : f(x) = – ln (cos x) est dérivable sur ] –
Error!
,
Error!
[ .
On a pour tout réel x de ] –
Error!
,
Error!
[ , f '(x) =
Error!
= tan x
x
y
-1
0
1
2
3
4
-4
-2
0
2
4