R3S4 Le cercle

3.4 Le cercle p.287
Date prévue : 25 octobre au 1 novembre
3.4.1 Les droites et les segments du cercle
THÉORÈME DU DIAMÈTRE
ÉNONCÉ
Dans un cercle tout diamètre est la corde la plus longue.
HYPOTHÈSE
SCHÉMA
Soit un cercle O avec un diamètre AB et
une corde PQ
CONCLUSION
AFFIRMATION
JUSTIFICATION
1.
Dans un cercle, tous les rayons sont congrus
2.
Par l’axiome de l’inégalité du triangle
3.
Dans un cercle, tous les rayons sont congrus
4.
Par l’axiome des trois points
5.
Par substitution
C.Q.F.D. (Ce qu’il fallait démontrer)

THÉORÈME DE L’ANGLE DROIT
ÉNONCÉ
En reliant un point P d’un cercle aux extrémités d’un diamètre, on forme un angle droit.
Tout angle inscrit dans un cercle est droit.
HYPOTHÈSE
SCHÉMA
 Soit A, B et P des points distincts
d’un cercle dont le centre est O
 Le segment AB est un diamètre
CONCLUSION
 APB = 90
AFFIRMATION
JUSTIFICATION
1. Considérons  AOP et  POB
Un triangle isocèle a deux côtés congrus
2. Comme AO, PO et OB sont des rayons,
les triangles  AOP et  POB sont isocèles,
d’où :
m  AOP = 180 – 2m  APO
m POB = 180 – 2m  BPO
Tous les rayons d’un cercle sont congrus
Dans un triangle, la somme des angles
intérieurs égale 180
3. Comme AOP et POB sont adjacents,
on a :
AOP + POB = 180
Les angles adjacents dont les côtés
extérieurs sont alignés forment un angle plat
dont la mesure équivaut à 180
4.
180 – 2m  APO + 180 – 2m  BPO = 180
180 = 2m  APO + 2m  BPO
90 = m  APO + m  BPO
Par substitution
5.
m  APB = 90
Par manipulation algébrique
C.Q.F.D. (Ce qu’il fallait démontrer)

THÉORÈME DU DIAMÈTRE PERPENDICULAIRE À UNE CORDE
ÉNONCÉ
Dans un cercle, tout diamètre perpendiculaire à une corde partage cette corde en deux
segments congrus.
HYPOTHÈSE
SCHÉMA
 Soit un cercle O avec un diamètre
AB coupant une corde PQ
perpendiculairement au point M 
O
CONCLUSION
segment PM  segment MQ
AFFIRMATION
JUSTIFICATION
1.
segment OP  segment OQ
Dans un cercle, les rayons sont congrus
2.
 POM et  QOM sont rectangles
Les triangles rectangles possèdent un angle
droit.
3. Le segment OM est commun et les
segments PO et OQ sont congrus :
 POM   QOM
CAC (isométrie)
4.
segment PM  segment MQ
Comme côtés homologues de triangles
isométriques
C.Q.F.D. (Ce qu’il fallait démontrer)

THÉORÈME DES CORDES CONGRUS
ÉNONCÉ
Dans un cercle, deux cordes sont congrus si et seulement si elles sont à une égale
distance du centre.
HYPOTHÈSE
SCHÉMA
Soit un cercle O avec deux cordes PQ et
RS .
CONCLUSION
AFFIRMATION
JUSTIFICATION
1.
Dans un cercle, tous les rayons sont congrus
2.
 POO’   ROO’’
Par l’hypothèse
CAC (isométrie des triangles rectangles)
3.
Côtés homologues des triangles
isométriques
4.
 ROO’’   SOO’’
 POO’   QOO’
Dans un cercle, tous les rayons sont congrus
Côtés homologues
CCC
Côtés homologues
5.
Par transitivité
C.Q.F.D. (Ce qu’il fallait démontrer)

THÉORÈME DE LA TANGENTE AU RAYON
ÉNONCÉ
Tout rayon d’un cercle aboutissant au point de tangente est perpendiculaire à cette
tangente.
HYPOTHÈSE
SCHÉMA
Soit un cercle de centre O, une droite d
tangente en P et le rayon OP
CONCLUSION
AFFIRMATION
JUSTIFICATION
1. Soit O’, le projecté de O sur la droite d
Un segment projeté est perpendiculaire à
une droite.
2. Supposons que O’ et P sont deux
points distincts. On a alors le OO’P
rectangle en O’, d’où :
Dans un cercle, le rayon est la distance entre
le centre et un point du cercle
3. Par conséquent, P n’appartient pas au
cercle, ce qui contredit le fait que P est
un point de tangente
Un point de tangente est un point du cercle
lorsque le rayon est perpendiculaire à une
droite
4. Donc, O’ et P sont confondus et :
Par l’absurde
C.Q.F.D. (Ce qu’il fallait démontrer…même par l’absurde !)
Investissement 5 (p.292) :