R3S4 Le cercle
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3.4 Le cercle Date prévue : 25 octobre au 1 novembre p.287 3.4.1 Les droites et les segments du cercle THÉORÈME DU DIAMÈTRE ÉNONCÉ Dans un cercle tout diamètre est la corde la plus longue. HYPOTHÈSE Soit un cercle O avec un diamètre AB et une corde PQ SCHÉMA CONCLUSION AFFIRMATION 1. JUSTIFICATION Dans un cercle, tous les rayons sont congrus 2. Par l’axiome de l’inégalité du triangle 3. Dans un cercle, tous les rayons sont congrus 4. Par l’axiome des trois points 5. Par substitution C.Q.F.D. (Ce qu’il fallait démontrer) THÉORÈME DE L’ANGLE DROIT ÉNONCÉ En reliant un point P d’un cercle aux extrémités d’un diamètre, on forme un angle droit. Tout angle inscrit dans un cercle est droit. HYPOTHÈSE Soit A, B et P des points distincts d’un cercle dont le centre est O Le segment AB est un diamètre SCHÉMA CONCLUSION APB = 90 AFFIRMATION 1. Considérons AOP et POB JUSTIFICATION Un triangle isocèle a deux côtés congrus 2. Comme AO, PO et OB sont des rayons, Tous les rayons d’un cercle sont congrus les triangles AOP et POB sont isocèles, d’où : m AOP = 180 – 2m APO m POB = 180 – 2m BPO 3. Comme AOP et POB sont adjacents, on a : Dans un triangle, la somme des angles intérieurs égale 180 Les angles adjacents dont les côtés extérieurs sont alignés forment un angle plat dont la mesure équivaut à 180 AOP + POB = 180 4. Par substitution 180 – 2m APO + 180 – 2m BPO = 180 180 = 2m APO + 2m BPO 90 = m APO + m BPO 5. Par manipulation algébrique m APB = 90 C.Q.F.D. (Ce qu’il fallait démontrer) THÉORÈME DU DIAMÈTRE PERPENDICULAIRE À UNE CORDE ÉNONCÉ Dans un cercle, tout diamètre perpendiculaire à une corde partage cette corde en deux segments congrus. HYPOTHÈSE Soit un cercle O avec un diamètre AB coupant une corde PQ perpendiculairement au point M O SCHÉMA CONCLUSION segment PM segment MQ AFFIRMATION 1. JUSTIFICATION Dans un cercle, les rayons sont congrus segment OP segment OQ 2. Les triangles rectangles possèdent un angle droit. POM et QOM sont rectangles 3. Le segment OM est commun et les segments PO et OQ sont congrus : POM QOM 4. segment PM segment MQ CAC (isométrie) Comme côtés homologues de triangles isométriques C.Q.F.D. (Ce qu’il fallait démontrer) THÉORÈME DES CORDES CONGRUS ÉNONCÉ Dans un cercle, deux cordes sont congrus si et seulement si elles sont à une égale distance du centre. HYPOTHÈSE Soit un cercle O avec deux cordes PQ et RS . SCHÉMA CONCLUSION AFFIRMATION 1. JUSTIFICATION Dans un cercle, tous les rayons sont congrus 2. POO’ ROO’’ Par l’hypothèse 3. Côtés homologues des triangles isométriques 4. Dans un cercle, tous les rayons sont congrus CAC (isométrie des triangles rectangles) Côtés homologues ROO’’ SOO’’ 5. POO’ QOO’ CCC Côtés homologues Par transitivité C.Q.F.D. (Ce qu’il fallait démontrer) THÉORÈME DE LA TANGENTE AU RAYON ÉNONCÉ Tout rayon d’un cercle aboutissant au point de tangente est perpendiculaire à cette tangente. HYPOTHÈSE Soit un cercle de centre O, une droite d tangente en P et le rayon OP SCHÉMA CONCLUSION AFFIRMATION 1. Soit O’, le projecté de O sur la droite d JUSTIFICATION Un segment projeté est perpendiculaire à une droite. 2. Supposons que O’ et P sont deux points distincts. On a alors le OO’P rectangle en O’, d’où : Dans un cercle, le rayon est la distance entre le centre et un point du cercle 3. Par conséquent, P n’appartient pas au cercle, ce qui contredit le fait que P est un point de tangente Un point de tangente est un point du cercle lorsque le rayon est perpendiculaire à une droite 4. Donc, O’ et P sont confondus et : Par l’absurde C.Q.F.D. (Ce qu’il fallait démontrer…même par l’absurde !) Investissement 5 (p.292) : 3.4.2 Les arcs de cercles THÉORÈME DES ARCS CONGRUS ÉNONCÉ Dans une cercle ou dans des cercles isométriques, deux arcs sont congrus si et seulement si ils sont sous-tendus par des cordes congrus. HYPOTHÈSE Soit le cercle de centre O avec les arcs congrus AB et CD SCHÉMA CONCLUSION AFFIRMATION 1. Considérons AOB et COD JUSTIFICATION 2. Dans un cercles, tous les rayons sont congrus 3. AOB COD, car La mesure d’angle projeté sur un cercle est égal à la mesure de l’angle au centre. 4. Donc, AOB et COD CAC (isométrie) 5. Comme éléments homologues de triangles isométriques C.Q.F.D. (Ce qu’il fallait démontrer) THÉORÈME DES ARCS ENTRE PARALLÈLES ÉNONCÉ Deux droites parallèles (sécantes ou tangentes) à un cercle interceptent sur ce cercle des arcs congrus. NB : Le théorème démontré ci-dessous est celui de la page 301, les deux autres possibilités ayant été démontrées à la page 300. HYPOTHÈSE SCHÉMA Soit un cercle de centre O avec deux droites parallèles sécantes AB et CD CONCLUSION AFFIRMATION 1. Soit OM, une droite perpendiculaire à AB en M JUSTIFICATION Toute perpendiculaire à une droite est aussi perpendiculaire à une parallèle à cette droite 2. Un diamètre perpendiculaire à une corde partage cette corde en deux segments congrus 3. AMP BMP CAC 4. APC BDP Comme complément des angles congrus APM et BPM 5. ACP BDP CAC Comme éléments homologues de triangles rectangles Arcs sous-tendus par des cordes congrus 6. C.Q.F.D. (Ce qu’il fallait démontrer) Investissement 6 (p.301) : #1 à 4 -6-9 3.4.3 Les angles du cercle THÉORÈME DE L’ANGLE INSCRIT (p.307) ÉNONCÉ La mesure d’un angle inscrit est la moitié de l’arc compris entre ses deux côtés. HYPOTHÈSE Soit un cercle de centre O contenant les points P, A et B avec le segment BP comme diamètre. SCHÉMA L’arc AB est l’arc compris entre les côtés de APB. CONCLUSION AFFIRMATION 1. Traçons le rayon OA et supposons que m AOB = JUSTIFICATION 2. L’arc AB = La mesure de l’arc est la même que celle de la mesure de l’angle au centre, soit l’angle ayant son sommet au centre du cercle et dont les côtés passent par les extrémités de l’arc. 3. Un triangle isocèle possède deux côtés et Le POA est isocèle en O et les angles en deux angles congrus A et P sont congrus. 4. On a : OPA PAO OPB PBO = x 2 x m OPA + 180 5. + (360 - ) = 360 POA POB = 180 - /2 2x + (180 - /2)=180 2x = /2 6. T. de l’angle extérieur Manipulations algébriques T. des angles intérieurs d’un triangle Par substitution C.Q.F.D. (Ce qu’il fallait démontrer) THÉORÈME DE L’ANGLE AU POINT INTÉRIEUR ÉNONCÉ Un angle dont le sommet est à l’intérieur d’un cercle à pour mesure la demi-somme des mesures des arcs compris entre ses côtés. HYPOTHÈSE Soit un cercle de centre O contenant les points A et B. SCHÉMA Soit le point P à l’intérieur du cercle avec les droites AP et BP coupant le cercle respectivement en A’ et B’. CONCLUSION AFFIRMATION 1. JUSTIFICATION Par le théorème de l’angle inscrit 2. Par le théorème de l’angle inscrit 3. m APB = m AB’B + m B’AA’ Par le théorème de l’angle extérieur du triangle 4. Par manipulations algébriques 5. Par substitution C.Q.F.D. (Ce qu’il fallait démontrer) THÉORÈME DE L’ANGLE AU POINT EXTÉRIEUR ÉNONCÉ Un angle dont le sommet est au point extérieur du cercle à pour mesure la demidifférence des mesures des arcs compris entre ses côtés. HYPOTHÈSE Soit un cercle de centre O contenant les points P, A et B avec le segment BP comme diamètre. SCHÉMA L’arc AB est l’arc compris entre les côtés de APB. CONCLUSION AFFIRMATION JUSTIFICATION Par le théorème de l’angle inscrit 2. Par le théorème de l’angle inscrit 1. 3. m AB’B = m APB + m PAB’ Par le théorème de l’angle extérieur du triangle 4. Par manipulations algébriques m APB = m AB’B - m PAB’ 5. Par substitution C.Q.F.D. (Ce qu’il fallait démontrer) Investissement 7 (p.311) : # 1 à 6, 8 à 10 3.4.4 Les distances dans le cercle THÉORÈME DES PRODUITS CONSTANTS (1) ÉNONCÉ Si, d’un point P extérieur au cercle, on mène un segment sécant et un segment tangent, la mesure du segment tangent est moyenne proportionnelle entre la mesure du segment sécant et celle de sa partie extérieure. HYPOTHÈSE Soit un cercle de centre O contenant les points A et B. SCHÉMA Soit le point P à l’extérieur du cercle avec la droite PA coupant le cercle en A’ et la droite PB tangente au cercle en B. CONCLUSION d(P,A’) d(P,A) = d(P,B)2 AFFIRMATION 1. Comme P est un angle commun aux triangles ABP et BA’P et PAB A’BP JUSTIFICATION Les angles inscrits interceptant le même arc sont congrus 2. ABP BA’P AA (similitude) 3. Dans des figures semblables, les côtés homologues sont proportionnels 4. d(P,A’) d(P,A) = d(P,B) 2 Le produit des extrêmes est égal au produit des moyens C.Q.F.D. (Ce qu’il fallait démontrer) THÉORÈME DES PRODUITS CONSTANTS (2) ÉNONCÉ Si, d’un point P extérieur au cercle, on mène deux segments sécants, le produit des mesures du segment sécant et de sa partie extérieure est égal au produit du second segment est de sa partie extérieure. HYPOTHÈSE Soit un cercle de centre O contenant les points A, A’, B et B’ . SCHÉMA Soit les sécantes AA’ et BB’ Soit le point P, un point à l’extérieur du cercle. CONCLUSION d(AP) d(A’P) = d(BP) d(B’P) AFFIRMATION 1. Comme P est un angle commun aux triangles APB’ et BA’P et PAB’ A’BB’ 2. APB’ BA’P JUSTIFICATION Les angles inscrits interceptant le même arc sont congrus AA (similitude) 3. Dans des figures semblables, les côtés homologues sont proportionnels 4. Le produit des extrêmes est égal au produit des moyens d(AP) d(A’P) = d(BP) d(B’P) C.Q.F.D. (Ce qu’il fallait démontrer) Investissement 8 (p.318) : # 1 à 7 et 9
