Théorème 6 : Dans un même cercle ou dans des cercles

Théorème 6 : Dans un même cercle ou dans des cercles
isométriques, des arcs isométriques sont sous-tendus par des
cordes isométriques et réciproquement.
Hypothèse : Dans le cercle C1 deux cordes
AB
et
CD
sont isométriques.
Construction :
Traçons le centre
O du cercle.
Traçons
AO
,
BO
,
CO
,
DO
Démonstration :
1.
AB CD
= 1. Par hypothèse
2.
AO BO CO DO
=== 2. Rayons égaux dans un même cercle
3.
ABO CDO
=
3. Cas CCC de congruence
4.
AOB COD
∠ = ∠
4. Angles homologues congrus
5.
AB CD
= 5. Étape 4 et Énoncé 39

Réciproquement
Hypothèse : Dans le cercle
C
1
deux arcs
AB
et
CD
sont isométriques.
Construction :
Traçons le centre
O du cercle.
Traçons les cordes
AB
et
CD
, ainsi que les segments
AO
,
BO
,
CO
,
DO
Démonstration :
1.
AB CD
= 1. Par hypothèse
2.
AOB COD
∠ = ∠
2. Énoncé 39
3.
AO BO CO DO
=== 3. Rayons du cercle.
4.
ABO CDO
=
4. Cas CAC du triangle
5.
AB CD
= 5. Côtés homologues congrus dans des triangles congrus.