Approximation de l`optique géométrique

I Structure du champ électromagnétique dans l’approximation de l’optique géométrique
A) Hypothèses de travail
1) Propagation dans le milieu
On suppose le milieu :
- linéaire
- isotrope
- non forcément homogène
- transparent
Ainsi,
r
,
r
dépendent de
r
, .
Donc n peut dépendre de
r
et .
2) Champ électromagnétique
 Amplitude et phase :
En régime sinusoïdal,
).)((
)( tri erEE
,
).)((
)( tri erBB
- Phase :
),(.)( trtr 
Déphasage :
)(r
.
(pour une onde se propageant selon la direction
k
, on a
rkr 
)(
)
Surfaces d’onde : ce sont les surfaces telles que
cte),( 0tr
, c'est-à-dire
cte)( r
.
La normale aux surfaces d’onde est alors .
Vitesse de phase :
0 d
, donc
0.  dtrd
(ou
0.  dtd
)
(Si
trk .
, on a
0.  dtrdk
)
Distance caractéristique de variation de la phase : longueur d’onde .
- Amplitude :
)(rB 
,
)(rE 
, variant avec une distance caractéristique
E
D
,
B
D
(
BE DD ~
)
 Approximation de l’optique géométrique :
BE DD ,
B) Structure locale d’onde plane
1) Equations de Maxwell–Faraday et Maxwell–Ampère
 Rigoureuse :
t
B
E
, donc
BiEriE   )(
Et
)( 00 t
E
jB 
Donc dans un isolant (
0
libre
j
) :
E
c
i
BriB
n
rr
2
2
)(
 Approchées :
On a
E
D
E
E~
,
B
D
B
B~
,
2
~
Donc
BEr 
.)(
Approximation de l’optique géométrique

Et
E
c
Br r
2
)( 
On a la même chose pour les deux autres équations de Maxwell, c'est-à-dire
qu’on remplace
k
par dans les équations en onde plane
2) Vecteur d’onde
 Définition : on pose
k
. Ainsi,
rdkd 
 Propriétés :
k
dépend de
r
k
est normal aux surfaces d’ondes
k
1
2
Longueur d’onde :
k
2
  2
1
2
1
12 rdkrd 
3) Structure locale de l’onde
 On a localement
BEk 
,
E
c
nBk 
2
2
et pareil pour les autres.
Donc
k
,
E
,
B
forment un trièdre directe (localement)
 Pour
r
proche de
0
r
,
)(
)()()()(
000
000
rrk
rrrrr 
Et
)()( 0 rErE 
Donc
).(
cte
)(
00000
)(),( trkirki eerEtrE
L’onde est donc localement plane.
4) Relation locale de dispersion
2
2
22 c
nk
, soit
c
nk
C) Limite de validité de l’optique géométrique
 Onde écrantée :
On a une forte variation de l’amplitude sur une distance de l’ordre de .
 Onde sphérique :
On a par conservation de l’énergie
 0 )( r rE 
 Variation de n sur une distance de l’ordre de .

 Si on a un milieu fortement absorbant.
II Interprétation ondulatoire des notions de l’optique géométrique
A) Rayon lumineux
1) En optique géométrique
Postulat de l’optique géométrique : la lumière se propage selon des courbes
géométriques indépendantes (c'est-à-dire que la variation de l’une n’influe pas une
autre), appelées rayons lumineux.
2) En optique ondulatoire
 Propagation de l’énergie :
BE 
0
1
L’approximation de l’optique géométrique correspond à
k//
 Trajectoires de l’énergie :
Le long des lignes de champ de
k
, c'est-à-dire les courbes normales aux
surfaces d’ondes.
Exemple :
Onde plane :
k
Rayon lumineux
Onde sphérique :
Ainsi, le trajet lumineux correspond à la trajectoire de l’énergie.
B) Chemin optique (trajet optique)
1) En optique géométrique
 Postulat :
Il existe
)(rn 
appelé indice (caractéristique phénoménologique)
AB
Chemin optique de A à B :
B
A
AB ndsL
2) Interprétation ondulatoire
On a
v
c
n
, et
dt
ds
v

Donc
)( AB
B
A
AB ttccdtL  
C’est donc la distance que la lumière aurait parcourue dans le vide dans le
même temps.
3) Relation avec le déphasage
A
B
AB
On a
AB
B
A
B
A
B
A
B
A
AB L
c
dr
c
n
kdrrdkd
Donc
0
2
ABAB L
4) Principe de Fermat
 Enoncé :
AB
Le trajet effectif suivi par la lumière pour aller d’un point A à un point B est
le trajet optique stationnaire de tous les trajets de A à B (pas forcément minimal).
 Remarque :
En optique ondulatoire, cela signifie que l’onde interfère destructivement
avec elle-même sur tous les chemins sauf le trajet optique.
C) Objet et image
1) Point objet
 En optique géométrique :
 En optique ondulatoire : on a une onde sphérique divergente.
(L’approximation de l’optique géométrique n’est plus valable au voisinage
du point)
2) Point image
3) Stigmatisme

 En optique géométrique :
Un instrument optique donné est stigmatique pour
),( BA
si tout rayon
partant de A passe aussi par B.
Remarque :
Un miroir plan est rigoureusement stigmatique pour n’importe quel point.
Un miroir parabolique ne l’est qu’au foyer (rigoureusement aussi)
Les lentilles sont approximativement stigmatiques
 En optique ondulatoire :
Cela signifie qu’une onde sphérique est transformée par l’instrument en une
onde sphérique.
 Corollaire :
AB
Plan de phase
On a donc le même déphasage pour tous les rayons, et la lumière met le
même temps pour aller d’un point à l’autre
4) Réalité, virtualité
 Définition :
- Pour l’objet :
Il est dit réel si le faisceau incident est divergent
Il est dit virtuel s’il est convergent.
- Pour l’image :
Elle est dite réelle si le faisceau émergent est convergent
Elle est dite virtuelle s’il est divergent
OIOI
 Propriétés :
- On peut créer un objet réel avec une source lumineuse mais pas un objet
virtuel ; pour un objet virtuel, il faut un instrument d’optique en amont.
- On peut former une image réelle sur un écran. Pour voir une image
virtuelle, il faut un instrument d’optique en aval pour former l’image
réelle.
- Une image réelle peut servir soit d’objet réel, soit d’objet virtuel :
- Une image virtuelle ne peut servir que d’objet réel :
5) Exemple
 Miroir plan :
A
B
- Il est rigoureusement stigmatique
- Si l’objet est réel, l’image est virtuelle et vice-versa.
- Il transforme une onde sphérique en onde sphérique
(On a de plus un chemin optique
0
AB
L
…)
 Lentilles minces :
- Convergentes :