Approximation de l`optique géométrique

Approximation de l’optique géométrique
I Structure du champ électromagnétique dans l’approximation de l’optique géométrique
A) Hypothèses de travail
1) Propagation dans le milieu
On suppose le milieu :
- linéaire
- isotrope
- non forcément homogène
- transparent

Ainsi,  r ,  r dépendent de r ,  .

Donc n peut dépendre de r et  .
2) Champ électromagnétique
 Amplitude et phase :
  
  


En régime sinusoïdal, E  E (r )ei ( ( r ) .t ) , B  B(r )ei ( ( r )  .t )


- Phase :    (r )  .t   (r , t )

Déphasage :  (r ) .

 

(pour une onde se propageant selon la direction k , on a  (r )  k  r )

Surfaces d’onde : ce sont les surfaces telles que  (r , t0 )  cte , c'est-à-dire

 (r )  cte .

La normale aux surfaces d’onde est alors   .


Vitesse de phase : d  0 , donc   dr  .dt  0 (ou d  .dt  0 )
 
 
(Si   k  r  .t , on a k  dr  .dt  0 )
Distance caractéristique de variation de la phase : longueur d’onde  .
- Amplitude :
   
B (r ) , E (r ) , variant avec une distance caractéristique DE , DB ( DE ~ DB )
 Approximation de l’optique géométrique :
DE , DB  
B) Structure locale d’onde plane
1) Equations de Maxwell–Faraday et Maxwell–Ampère
 Rigoureuse
 :
 
   


B
E  
, donc   E  i (r )  E  i B
t

 

E
)
Et   B  0 ( j   0
t

    


i
Donc dans un isolant ( jlibre  0 ) :   B  i (r )  B   2  r r E
c 
2
n

Approchées :

 
2
E  
B
On a   E ~
, B ~
,  ~

DE
DB
 


Donc  (r )  E  .B
 

 
Et  (r )  B   2  r E
c
On a la même chose pour les deux autres équations de Maxwell, c'est-à-dire


qu’on remplace k par   dans les équations en onde plane
2) Vecteur d’onde



k

k
 
 
Définition : on pose k   . Ainsi, d  k  dr
Propriétés :

dépend de r
est normal aux surfaces d’ondes

k
2
1
2
k


2
 2

2  1     dr   k  dr
Longueur d’onde :  
1
1
3) Structure locale de l’onde
 
  
 
On a localement k  E   B , k  B  n 2 2 E et pareil pour les autres.
c
  
Donc k , E , B forment un trièdre directe (localement)


 Pour r proche de r0 ,
   


 (r )   (r0 )   (r0 )  (r  r0 )
  
  0  k0  (r  r0 )
 
 
Et E(r )  E(r0 )
 
 
 
 
Donc E (r , t )  E (r0 )ei (0 k0 r0 ) ei ( k0 r  .t )




cte
L’onde est donc localement plane.
4) Relation locale de dispersion
k 2  n2
2
c
2
, soit k  n

c
C) Limite de validité de l’optique géométrique

Onde écrantée :
On a une forte variation de l’amplitude sur une distance de l’ordre de  .
 Onde sphérique :
 
 
On a par conservation de l’énergie E (r ) r
0

Variation de n sur une distance de l’ordre de  .

Si on a un milieu fortement absorbant.
II Interprétation ondulatoire des notions de l’optique géométrique
A) Rayon lumineux
1) En optique géométrique
Postulat de l’optique géométrique : la lumière se propage selon des courbes
géométriques indépendantes (c'est-à-dire que la variation de l’une n’influe pas une
autre), appelées rayons lumineux.
2) En optique ondulatoire
 Propagation de l’énergie :
 1  

EB
0
  
L’approximation de l’optique géométrique correspond à  // k  
 Trajectoires de l’énergie :

Le long des lignes de champ de k , c'est-à-dire les courbes normales aux
surfaces d’ondes.
Exemple :
Onde plane :

k
Rayon lumineux
Onde sphérique :
Ainsi, le trajet lumineux correspond à la trajectoire de l’énergie.
B) Chemin optique (trajet optique)
1) En optique géométrique
 Postulat :

Il existe n(r ) appelé indice (caractéristique phénoménologique)

B
A
B
Chemin optique de A à B : LAB   nds
A
2) Interprétation ondulatoire
On a n 
c
ds
, et v 
dt
v
B
Donc LAB   cdt  c(t B  t A )
A
C’est donc la distance que la lumière aurait parcourue dans le vide dans le
même temps.
3) Relation avec le déphasage
B
A
A
B
B
B 
B
B n


On a  B   A   d   k  dr   kdr  
dr  LAB
A
A
A
A c
c
 B   A LAB

Donc
2
0
4) Principe de Fermat

Enoncé :
B
A
Le trajet effectif suivi par la lumière pour aller d’un point A à un point B est
le trajet optique stationnaire de tous les trajets de A à B (pas forcément minimal).
 Remarque :
En optique ondulatoire, cela signifie que l’onde interfère destructivement
avec elle-même sur tous les chemins sauf le trajet optique.
C) Objet et image
1) Point objet

En optique géométrique :
 En optique ondulatoire : on a une onde sphérique divergente.
(L’approximation de l’optique géométrique n’est plus valable au voisinage
du point)
2) Point image
3) Stigmatisme
 En optique géométrique :
Un instrument optique donné est stigmatique pour ( A, B ) si tout rayon
partant de A passe aussi par B.
Remarque :
Un miroir plan est rigoureusement stigmatique pour n’importe quel point.
Un miroir parabolique ne l’est qu’au foyer (rigoureusement aussi)
Les lentilles sont approximativement stigmatiques
 En optique ondulatoire :
Cela signifie qu’une onde sphérique est transformée par l’instrument en une
onde sphérique.
 Corollaire :
B
A
Plan de phase
On a donc le même déphasage pour tous les rayons, et la lumière met le
même temps pour aller d’un point à l’autre
4) Réalité, virtualité
 Définition :
- Pour l’objet :
Il est dit réel si le faisceau incident est divergent
Il est dit virtuel s’il est convergent.
- Pour l’image :
Elle est dite réelle si le faisceau émergent est convergent
Elle est dite virtuelle s’il est divergent
O

-
I
O I
-
Propriétés :
On peut créer un objet réel avec une source lumineuse mais pas un objet
virtuel ; pour un objet virtuel, il faut un instrument d’optique en amont.
On peut former une image réelle sur un écran. Pour voir une image
virtuelle, il faut un instrument d’optique en aval pour former l’image
réelle.
Une image réelle peut servir soit d’objet réel, soit d’objet virtuel :
-
Une image virtuelle ne peut servir que d’objet réel :
-
5) Exemple

Miroir plan :
A
B
- Il est rigoureusement stigmatique
- Si l’objet est réel, l’image est virtuelle et vice-versa.
- Il transforme une onde sphérique en onde sphérique
(On a de plus un chemin optique LAB  0 …)
 Lentilles minces :
- Convergentes :
(1) Stigmatisme approché :
Physiquement, la lentille convergente rabat les rayons vers l’axe.
(2) Foyers :
Foyer objet :
C’est le point tel que quand les rayons sortent, ils sont parallèles à l’axe.
F
Foyer image :
C’est le point où convergent les rayons lorsqu’ils arrivent parallèles à l’axe.
F’
-
Divergentes :
La lentille a pour effet d’écarter les rayons de l’axe.
Foyers :
F
F’
- Formules de conjugaison :
(1) Descartes :
1
1

 cte , où S est le centre de la lentille, et A1 , A2 sont les points
SA2 SA1
objet et image (peu importe l’ordre)
On peut calculer la constante à l’aide des valeurs aux foyers.
(2) Newton :
F1 A1  F2 A2  F1S  F2 S
- Une lentille divergente est une lentille à bords épais ; une lentille
convergente est à bords minces.