3 Electrodynamique

3
ELECTRODYNAMIQUE ............................................................................................................................................... 19
3.1 CIRCUIT ELECTRIQUE EN COURANT CONTINU ................................................................................................................. 19
3.1.1
Transferts d’énergie au niveau d’un générateur et d’un récepteur ...................................................................... 19
3.1.1.1
3.1.1.2
3.1.1.3
3.1.1.4
3.1.1.5
3.1.2
Notions d’électricité générale............................................................................................................................................. 19
Travail électrique reçu par un récepteur ............................................................................................................................. 20
Effet Joule .......................................................................................................................................................................... 20
Travail électrique donné par un générateur ........................................................................................................................ 20
Bilan du transfert d’énergie pendant une durée t ............................................................................................................. 20
Comportement global d’un circuit ....................................................................................................................... 21
3.1.2.1
3.1.2.2
Distribution de l’énergie électrique pendant la durée t .................................................................................................... 21
Paramètres influant sur l’énergie transférée par le générateur au reste d’un circuit résistif ............................................... 22
3.2 MAGNETISME, FORCES ELECTROMAGNETIQUES .............................................................................................................. 22
3.2.1
Champ magnétique ............................................................................................................................................... 19
3.2.1.1
3.2.1.2
3.2.1.3
3.2.1.4
Action d’un aimant, d’un courant continu, sur une aiguille aimantée ................................................................................ 19
Vecteur champ magnétique ................................................................................................................................................ 20
Champ magnétique uniforme ............................................................................................................................................. 20
Superposition de deux champs magnétiques (addition vectorielle) .................................................................................... 20
3.2.2
Champ magnétique créé par un courant .............................................................................................................. 21
3.2.3
Forces électromagnétiques ................................................................................................................................... 21
3.2.4
Couplage électromécanique ................................................................................................................................. 22
3.3 NOTATIONS, UNITES ET VALEURS ................................................................................................................................... 23
18
3
Electrodynamique
3.1
3.1.1
Circuit électrique en courant continu
Transferts d’énergie au niveau d’un générateur et d’un récepteur
3.1.1.1 Notions d’électricité générale
Conventions
Par convention, on utilise les lettres minuscules pour les grandeurs variables avec le temps et les lettres
majuscules pour les grandeurs indépendantes du temps.
L’orientation d’un circuit est indiquée par une flèche sur un fil de
jonction, surmontée de i. Si le courant passe dans le sens de la
flèche, alors i est positif. Si le courant passe en sens opposé, alors i
négatif.
i
est
Caractéristique tension intensité
La caractéristique tension intensité d’un dipôle électrique est une courbe représentant les variations de la
tension aux bornes du dipôle en fonction de l'intensité du courant qui le traverse.
Dipôle linéaire
Un dipôle est dit linéaire si sa caractéristique tension intensité l'est également (non linéaire dans le cas
contraire)
UAB
Exemple
le résistor
UAB = R.I
UAB
I
0
I
(loi d’Ohm)
R
0
B
A
Dipôle actif
Un dipôle est dit actif si sa caractéristique tension-intensité ne passe pas par l'origine (passif dans le cas
contraire)
UPN
Exemples
UPN
I
E
UPN = E – r.I
0
I
le générateur réel
P
N
0
UAB
UAB
I
l'électrolyseur
E’
I
0
B
0
A
UPN
UPN
I
le générateur de tension
E
I
0
P
UPN = E
0
N
UPN
UPN
I
le générateur de courant
0
P
UAB = E’ + r.I
N
0
I0
I
I = I0
Remarques
Le générateur de tension est un générateur particulier dont la résistance interne est nulle. Quelle que soit
l’intensité du courant qu’il débite, la tension à ses bornes est constante.
19
Le générateur de courant est générateur particulier dont la résistance interne est infinie. Quelle que soit la
tension à ses bornes l’intensité du courant qu’il débite est constante.
Dipôles générateur et récepteur
Un dipôle peut être générateur ou récepteur :


dans la convention récepteur la flèche tension et la flèche intensité ont des sens contraires.
dans la convention générateur la flèche tension et la flèche intensité ont même sens.
Il est commode d’adopter la convention récepteur aux bornes d’un récepteur et la convention générateur
aux bornes d’un générateur. Certains dipôles assument les deux fonctions ; ils sont dit réversibles (une
bobine, un condensateur, ...). Si un dipôle réversible passe continûment d’un fonctionnement à l’autre,
une convention n’est pas meilleure que l’autre.
3.1.1.2 Travail électrique reçu par un récepteur
Le travail électrique (ou énergie électrique transférée) We reçu par un récepteur, traversé par le courant
d’intensité I, pendant t est donné par
We
reçu 
avec UAB  VA  VB   0
U AB .I .t
La puissance électrique du transfert est donnée par
P reçue  U AB .I
3.1.1.3 Effet Joule
Il se manifeste par une perte d'énergie sous forme de chaleur lors du passage d'un courant dans un dipôle
qui possède une résistance électrique R (appelé conducteur ohmique). On peut quantifier cette puissance
perdue
P perdue  U AB .I  R .I 2 
Remarque :
U 2AB
R
la loi d'Ohm n'est valable qu'aux bornes d'un conducteur ohmique
3.1.1.4 Travail électrique donné par un générateur
L’énergie électrique transférée du générateur au reste du circuit pendant la durée t est donnée par
We donné  U PN .I .t
avec U PN  VP  VN  qui désigne la différence de potentiel (ou tension) entre les bornes positive et
négative du générateur et I l’intensité du courant qui le traverse.
La puissance électrique du transfert est donnée par
P donnée  U PN .I
3.1.1.5 Bilan du transfert d’énergie pendant une durée t
Bilan pour un récepteur
Un récepteur actif et linéaire a pour caractéristique U AB  E'r.I . On multiplie les deux membres de cette
égalité par I et t :
U AB .I .t  E' .I .t  r .I² .t
Un récepteur absorbe une énergie électrique U AB .I .t , en « dissipe » une partie r .I² .t et convertit le
reste sous une autre forme (mécanique pour un moteur, chimique pour un électrolyseur).
Bilan pour un générateur
20
Un générateur actif et linéaire a pour caractéristique U PN  E  r.I . Comme précédemment
U PN .I .t  E .I .t - r .I² t
Un générateur transforme partiellement une forme d’énergie (mécanique, chimique) E .I .t en énergie
électrique disponible U PN .I .t . Le complément r .I² t est « dissipé » sous forme thermique par effet
Joule.
3.1.2
Comportement global d’un circuit
3.1.2.1 Distribution de l’énergie électrique pendant la durée t
La conclusion du chapitre précédent (qui est une approche du principe de conservation de l’énergie PCE)
permet d’introduire simplement le fait que de l’énergie a nécessairement été transférée du générateur au
récepteur :
We donné générateur    We reçus récepteurs 
Loi d’additivité des tensions
Utilisons ce bilan d’énergie dans le circuit série ci-dessous
UAN
N
A
UPN
UPA
I
P
Bilan d’énergie adapté au circuit :
We
donné
générateur   We reçu (résistor)
 We
reçu
(lampe)
On remplace chaque travail par son expression :
U PN .I .t  U PA .I .t  U AN .I .t
On retrouve une relation connue sous le nom de loi d’additivité des tensions :
U PN  U PA  U AN
Loi des nœuds
Utilisons le bilan d’énergie dans le circuit parallèle ci-dessous
P
I1
UPN
UPN
UPN
I2
I3
N
Bilan d’énergie adapté au circuit :
We
donné
générateur   We reçu (lampe)  We reçu (résistor)
On remplace chaque travail par son expression :
U PN .I1 .t  U PN .I 2 .t  U PN .I 3 .t
On retrouve une relation connue sous le nom de loi des nœuds :
I1  I 2  I 3
21
Dans un circuit avec dérivation, la somme des intensités des courants qui arrive à un nœud du circuit est
égale à la somme des intensités des courants qui en repartent.
3.1.2.2 Paramètres influant sur l’énergie transférée par le générateur au reste d’un circuit résistif
Association en série de résistors
Des dipôles sont dit en série s’ils sont connectés les uns à la suite des autres et que le même courant passe
à travers chaque dipôle.
La résistance Req équivalente à l’association des résistances R1, R2, ... en série est
Re q  R1  R 2  ...
Les associations en série ont pour effet d’augmenter la résistance totale.
Association en parallèle de résistors
La résistance Req équivalente à l’association des résistances R1, R2, ... en parallèle est
1
1
1


 ...
Re q R 1 R 2
ou Geq  G1  G 2  ...
Les associations en parallèle, en augmentant la conductance totale, aboutissent à une résistance plus faible
que la plus petite d’entre elles.
Exemples d’associations « mixtes » de résistors
P
P
A
I1
UPN
R1
R2
I3
R2
R3
I2
N
Le calcul de la résistance Req1 équivalente à
l’association des résistors R1, R2 et R3 ci-dessus
donne :
I3
Le calcul de la résistance Req2 équivalente à
l’association des résistors R1, R2 et R3 ci-dessus
donne :
1
Req2 = R1 +
G2  G3
1
1
1


Req 1 R 2 R 1  R 3
Le circuit ci-dessus est équivalent au circuit, plus
simple, ci-dessous :
Le circuit ci-dessus est équivalent au circuit, plus
simple, ci-dessous :
P
P
I1
I1
UPN
R1
UPN
R3
I2
N
A
I1
UPN
Req1
Req2
N
N
On montre que finalement l’intensité du courant dépend de cette résistance et que, pour un circuit
entièrement résistif, on a :
E
I
Re q
22
3.2
3.2.1
Magnétisme, forces électromagnétiques
Champ magnétique
Dans certaines circonstances, une aiguille aimantée s’oriente comme soumise à un couple. On dit alors

que dans cette région il règne un champ magnétique B .
En particulier, au voisinage de la Terre, on nomme « pôle nord » l’extrémité de l’aiguille qui indique
toujours le nord géographique.

Par convention, le sens de B est celui qu’indique le pôle nord de l’aiguille aimantée.

B
S
N
Notion de champ
On appelle « champ » une grandeur physique, fonction des coordonnées de position d’un point de
l’espace, utilisée pour décrire localement les propriétés de la matière ou pour interpréter les phénomènes
qui s’y produisent.
On parle ainsi de « champ de pression » (exemple des cartes météorologique). De même, la distribution
spatiale de température est un « champ de température » même si l’expression est peu utilisée. Ce sont
deux exemples de champs scalaires. Si la grandeur est vectorielle, on parle de « champ vectoriel »
(exemples : champ électrique, champ magnétique, champ de vitesses dans un fluide).
Le champ magnétique terrestre existe, en permanence et en tout point, autour de la Terre même si aucun
aimant ne lui permet de se manifester.
3.2.1.1 Action d’un aimant, d’un courant continu, sur une aiguille aimantée
Le spectre magnétique de l’aimant est représenté ici par six lignes de champ. Chaque ligne est tangente en
tout point au vecteur champ magnétique (comme le montrent les aiguilles aimantées) et se referme sur
elle-même. L’intensité du champ magnétique diminue quand on s’en éloigne de l’aimant.
L’existence d’un champ magnétique implique celle d’aimants ou de courants électriques (et
réciproquement). Un cas pratique est important est celui de la spire, de centre O, parcouru par un courant
I.
19

les doigts dans le sens du courant. Le pouce donne le sens de B
I
P
axe de la spire
O
Le champ magnétique résultant au point P est porté par l’axe. Son sens est donné, en pratique, par la règle
de la main droite.
3.2.1.2 Vecteur champ magnétique
Le champ magnétique a les propriétés mathématiques d’un vecteur :



une direction : celle prise par l’aiguille aimantée
un sens : celui qu’indique le pôle nord de l’aiguille aimantée
une valeur (mesurée par une sonde spécifique : un teslamètre)
3.2.1.3 Champ magnétique uniforme
Bobines d’Helmhotz
On nomme bobines d’Helmhotz, deux enroulements de plusieurs spires (deux bobines) coaxiales. Les
spires ont le même rayon R et sont parcourus dans le même sens par un même courant I.
R
I
S
R
I
O’
O
N
Si OO’ = R alors le champ sur l’axe est à peu près uniforme.
Solénoïde
Le solénoïde est une bobine très serrée de grande longueur. Il y a n spires par mètre, parcourues par
courant I (équivalent à une nappe de courant cylindrique).
S
N
I
Le champ magnétique dans un solénoïde est uniforme et de valeur B  μ 0 . n . I
Aimant en U
Le champ magnétique dans l’entrefer d’un aimant en U est uniforme.
N
S
3.2.1.4 Superposition de deux champs magnétiques (addition vectorielle)
Le champ magnétique résultant en un point est égal à la somme vectorielle des champs en ce point


B   Bi
i
20
Exemples
(1)
N

B2
S

B1

B
(2)
3.2.2
Champ magnétique créé par un courant
En l’absence de milieux magnétiques, la valeur B du champ magnétique est proportionnelle à l’intensité I
du courant : B = k .I
avec k une constante qui dépend de la géométrie du courant, de son intensité
ainsi que du point de mesure.
Topographie du champ crée par un courant rectiligne
I
Topographie du champ crée par un solénoïde
I
3.2.3
S
N
Forces électromagnétiques
Loi de Laplace
Un conducteur parcouru par un courant et placé dans un champ magnétique est soumis à une force
électromagnétique (appelée force de Laplace).

Trièdre direct et trièdre indirect
B



F
l
B

l




F
l
B
F
  
  
main
l , B , F ) direct
trièdre ( l , B , F ) direct
trièdre
(
droite



l
F
B

l

B
  
trièdre ( l , B , F ) direct

F

B
  
trièdre ( l , B , F ) indirect

l

F
  
trièdre ( l , B , F ) indirect
Force de Laplace


Pour un champ magnétique uniforme B et un courant orienté dans le sens du vecteur l , la force de
Laplace a les caractéristiques suivantes :
21




B
direction : orthogonale
au
plan
formé
par
le
conducteur
et
le
vecteur
  
sens : le trièdre ( l , B , F ) est direct

valeur : F = I .l .B .sin ( l , B )
S
+ -

F
N
3.2.4
Couplage électromécanique
Stator
Le stator est un aimant formé de deux pièces polaires
S
N
S
N
Rotor
Le rotor est un cylindre qui peut tourner autour de son axe. Il porte sur sa surface latérale, logés dans des
encoches, un grand nombre de conducteurs rectilignes.
Champ magnétique radial
La forme des pièces polaires et du rotor sont étudiés pour que, dans l'entrefer, il règne un champ

magnétique radial : le vecteur B est dirigé suivant un rayon du rotor.

B

B

B

B
Moteur électrique
Les fils diamétralement opposés sont associés deux à deux. Chaque couple de ces fils équivaut à une sorte
de cadre rectangulaire. Un fil est parcouru par un courant de même intensité que son opposé mais de sens
contraire.

F  I
B

B
I

F
22
L'ensemble des deux fils exerce un couple de force qui fait tourner le rotor et donc son axe. Ce sont des
forces électromagnétiques qui font tourner l'axe du moteur électrique.
Le moteur électrique permet la conversion de travail électrique en énergie mécanique.
Réciprocité associée au mouvement d’un circuit dans un champ magnétique : phénomène d’induction
N S
+
mA

+
+
mA
-
mA
-

+
mA
-


Observations
1:
un courant apparaît quand on déplace un aimant devant un circuit fermé
2:
un courant apparaît quand on déplace un circuit fermé devant un aimant
2 et 3 : la même expérience. C’est donc le mouvement relatif entre le circuit et l’aimant qui compte
4:
le courant s’annule quand le déplacement relatif du circuit et de l’aimant cesse.
1 et 3 : le sens du courant dépend de l’orientation du champ magnétique et de son sens relatif de
déplacement
Pour déplacer l'aimant ou le circuit il faut fournir du travail (mécanique). Le phénomène d'induction
électromagnétique permet de convertir l'énergie mécanique en travail électrique.
3.3 Notations, unités et valeurs

B
vecteur champ magnétique. [ B ] = Tesla de symbole T
E
force électromotrice ou fém d’un générateur. [ E ] = V
E’
force contre électromotrice ou fcém d’un récepteur actif. [ E’ ] = V

F
vecteur force. [ F ] = N
G
conductance d’un conducteur ohmique. [ G ] = Siemens de symbole S
I
intensité d’un courant qui ne varie pas dans le temps. [ I ] = A
l
longueur d’une portion rectiligne de circuit. [ l ] = m
n
nombre de spires par mètre d’un solénoïde. [ n ] = m -1
P
puissance. [ P ] = Watt de symbole W
r
résistance interne d’un dipôle. [ r ] = 
R
résistance d’un conducteur ohmique. [ R ] = 
Req
résistance équivalente à l’association de plusieurs résistors. [ Req ] = 
t
temps. [ t ] = s
U
tension ou différence de potentiel qui ne varie pas dans le temps. [ U ] = V
V
potentiel électrique. [ V ] = V
We
travail électrique ou énergie électrique transférée. [ We ] = J
0
perméabilité magnétique du vide. 0 = 4 . .10 -7 uSI

variation d’une quantité physique.  = quantité finale – quantité initiale
23