TP : Circuit RC : dérivateur intégrateur

TP : Circuit RC : dérivateur intégrateur
But :
- Etude des circuits RC et CR et leurs différents filtres (intégrateur, dérivateur).
- Détermination de la constant τ = RC.
Matériel nécessaire :
-
Un GBF.
Un oscilloscope.
Un multimètre.
Une résistance de valeur R=10K  .
Un condensateur C=10nF.
♦ Quelque définition :
- Circuits électriques, ensemble de conducteurs reliés entre eux et traversés par un courant
électrique.
1-Element Actifs et Passifs :
Un circuit électrique comporte deux types de conducteurs : des éléments actifs et des éléments
passifs. Les éléments actifs peuvent être des générateurs, définis par leur force électromotrice
(f.é.m.) et l’intensité du courant qu’ils délivrent, ou bien des récepteurs, tels que les moteurs,
caractérisés par une force contre-électromotrice (f.c.é.m.) et par l’intensité du courant qu’ils
consomment . Parmi les éléments passifs, on peut mentionner les résistances, définies par leur
résistance R (sachant que tout conducteur oppose au passage d’un courant une résistance qui
dépend du matériau constitutif et de ses dimensions), les bobines d’induction, définies par leur
inductance L, et les condensateurs, définis par leur capacité C. Lorsque ces différentes
grandeurs sont constantes, le circuit est dit linéaire, car, pour décrire son comportement, on
manipule des équations différentielles linéaires à coefficients constants.
2-Loi D’ohm
Cette loi fondamentale, formulée par le physicien allemand Georg Ohm en 1827, exprime la
tension d’un circuit en fonction de son intensité.Soit une portion de circuit électrique entre
deux points A et B, caractérisée par la tension V (t), différence de potentiel entre les bornes A
et B, et traversée par le courant i (t) allant de A vers B . Suivant le type de dipôle passif placé
sur cette portion AB, la loi d’ohm permet d’écrire : Les valeurs R, C et L sont positives et
s’expriment respectivement en ohms (symbole Ω), en farads (symbole F) et en henrys
(symbole H). La loi d’ohm s’applique aussi bien aux éléments traversés par un courant
continu que par ceux traversés par un courant alternatif.
3-Lois De Kirchhoff :
Dans ce circuit en série, l'intensité du courant électrique délivré par la pile est la même pour
les deux ampoules, et la tension aux bornes du générateur est répartie entre les deux
ampoules. De ce fait, si l'une des ampoules grille, la circulation du courant est coupée dans
tout le circuit. En revanche, dans un circuit en parallèle, l'intensité du courant électrique
délivré par la pile est partagée entre les deux ampoules, et les tensions aux bornes des deux
ampoules sont égales. Ainsi, si l'une des ampoules grille, la circulation du courant n'est pas
interrompue dans la branche de dérivation contenant l'autre ampoule.
Dans un circuit électrique, une branche représente un ensemble d’éléments reliés en série et
donc traversés par un même courant, un nœud correspond au point d’intersection de plusieurs
branches, et une maille est un ensemble de branches constituant un parcours fermé. Dans un
circuit comportant plusieurs branches, on peut alors appliquer les deux lois énoncées par le
physicien allemand Gustav Kirchhoff. D’après la loi des nœuds, la somme des courants
partant d’un nœud est égale à la somme des courants qui y aboutissent. D’après la loi des
mailles, la somme des tensions le long d’une maille est nulle. Ces deux lois sont utilisées pour
déterminer certaines intensités ou tensions d’un circuit électrique.
4- Impédance :
La loi d’ohm peut s’appliquer à un circuit en régime sinusoïdal, mais sous une forme plus
complexe si sont présentes des capacités ou des inductances qui dépendent du temps. En vue
de simplifier les calculs, on introduit alors l’impédance d’un tel circuit, qui correspond au
rapport de l’amplitude de la tension du circuit à l’amplitude du courant qui le traverse. Par
exemple, dans un circuit « RLC », associant en série une résistance R, une bobine
d’inductance L et un condensateur de capacité C, l’amplitude I de l’intensité du circuit est
reliée à l’amplitude E de la tension par la relation I = E / Z, où Z se mesure en ohms.
5-Circuit RC :
Un circuit RC est un circuit électrique, l'un des filtres les plus simples, composé d'une
résistance et d'un condensateur généralement associés en série, alimenté par une source de
tension.
6-Circuits dérivateur et intégrateur :
Les circuits précédents sont alimentés par une tension périodique non sinusoïdale V. Le
courant I dans R et la tension U aux bornes du condensateur sont donnés par :
I=C * dU/dt → dU / dt= V- U / RC
L'intégration numérique de cette équation permet de traiter simplement différentes formes de
signal d'entrée. A chaque pas, on calcule U à partir de V. On en déduit W la tension aux
bornes de la résistance R.
Circuit dérivateur (passe-haut)
La tension de sortie est W. On constate que si la constante de temps  = R.C du circuit est
nettement plus petite que la période du signal, on obtient en sortie une tension qui est
pratiquement égale à la dérivée du signal d'entrée. On utilise souvent ce circuit pour fabriquer
des impulsions à partir d'un signal carré. Expliquez la dépendance du gain avec la valeur de
RC dans le cas du signal triangulaire.
Circuit intégrateur (passe-bas)
Cette fois la tension de sortie est U. On constate que si la constante de temps  = R.C du
circuit est plus grande que la période du signal, on obtient en sortie une tension qui est
pratiquement égale à l’intégrale du signal d'entrée.
1-Etude théorique du filtre RC :
Soit le circuit de la figure 1
Filtre RC
1-Determination de l’expression de la tension de sortie Vs (t) :
Vs (t)=Vc=1/C ∫ I. dt
Vs (t)= Ue(t)/1+jRCW (En appliquant le dérivateur de tension)
Vs = (Zc / Zc + R) Ve
2-On montre que la tension de sortie est proportionnelle à l’intégrale de la
tension appliquée :
VR≈ Vin
et l'intensité dans le circuit vaut donc :
I≈Vin / R
Comme,
Vc 1/ C ∫ I dt
On obtient :
Vc≈ 1/ RC ∫ Vin dt
3-La constante τ =RC :
Remarque :
Le temps nécessaire pour atteindre 63% de la tension maximale lors de la
charge et 37% de la tension maximale lors de la décharge est appelé T
"constante de temps".
La formule permettant de calculer cette constante de temps est la suivante :
T = R.C
Avec T exprimé en secondes, R en ohms et C en farads.
Pour la décharge du condensateur C dans une résistance de valeur R, la tension
aura chuté à 37% de sa valeur initiale au bout d'un délai égal à la constante de
temps (voir courbe ci-dessus).
Au bout d'un temps égal à 5T on considère que le condensateur est
complètement chargé (ou déchargé) puisque la tension à ses bornes dépasse
99% (ou est inférieure à 1%).
4-Etude de la variation du module et de la phase de l’impédance complexe
de ce circuit en fonction de la fréquence de coupure :
Z  R  jX
Z  R
Z 
1
jCw
 R 2 
1
C w2
2
1
arctg  Cw
R
arctg 
1
RCw
w  2f
On prend le cas spécial :
f 
1
2RC
w  2f  w 
1
RC
1
Z  R2 
C 2R2
Z R
1
R C2
2
1
arctg 
RC
1
RC
 arctg  1
 
T
T

4
Vs
1

Ve 1  jRCw
1
1  jRC
1
RC
T 
1
1 j
5-Le fonction de ce circuit :
Intégrateur A haute fréquence, c'est à dire si W>>1/RC, le condensateur n'a
pas le temps de se charger et la tension à ses bornes reste faible.
La tension aux bornes du condensateur intègre donc la tension d'entrée et le
circuit se comporte comme un montage intégrateur.
2 - Etude expérimentale du filtre ? RC
2.1 Réponse à un échelon :
2.1.1 Quelques définitions :
Temps de retard à la montée C'est l'instant initial pour lequel Uc = 10% de la
valeur finale. On définit de la même manière le temps de retard de la descente.
Temps de montée C'est la durée entre les instants pour lesquels UC = 10% et Uc
= 90% de la variation totale. On définit de la même manière le temps de descente.
Temps d'établissement à α % C'est la durée entre l'instant initial et l'instant où
UC = α % de la variation totale.
A l'entrée du circuit RC, envoyer un échelon et relever votre signal de sortie.
Mesurer puis vérifier les valeurs
- du temps de montée t,,
de valeur théorique
tr = 2.2 τ
- du temps d'établissement à
95 %
de valeur théorique
37
- du temps d'établissement à
90%
de valeur théorique
2.37
- du temps d'établissement à
10%
de valeur théorique
0.105T
2.1.2 Variation de T en fonction de R à C constant :
R(KΩ)
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
tr(m.s)
4
8
12
20
28
32
36
40
44
60
τ
10-4
2.10-4
3.10-4
4.10-4
5.10-4
6.10-4
7.10-4
8.10-4
9.10-4
10.10-2
2.2 Etude fréquentiel :
A l’entrée du circuit RC on envoie des signaux rectangulaires de fréquence
variable et on prélève la tension de sortie aux bornes de C.
On trace les courbes obtenues dans les 3 cas :
 F < F0
 f = F0
 F > F0
(Voir feuille millimétrée).
3 - Etude théorique du filtre CR :
Soit le circuit de la figure 2 :
FIG. 2 - Filtre CR
1-Determination de l’expression de la tension de sortie Vs (t) :
Vin ≈ I/ jWC ≈ VC
2-On montre que la tension de sortie est proportionnelle à l’intégrale de la
tension appliquée :
I ≈ Vin / (1/jwC)
Vin ≈ I / jwC ≈ VC
Maintenant :
VR = I. R = C (dVC / dt) R
VR ≈ RC (dVin / dt)
3-La constante τ =RC :
C’est la même chose pour le filtre RC.
4-Etude de la variation du module et de la phase de l’impédance complexe
de ce circuit en fonction de la fréquence de coupure :
Pour la phase et l’argument on obtient la même chose bien sur avec notre cas
spéciale F=fréquence de coupure.
Mais pour le gain on ne trouve pas le même résultat :
Vs 
T
1
1
1
RjCw
Ve
Vs
Ve
1
T
1
T 
1
RjCw
1
1
1
j
1
T 
T 
1
1
RjC
1
RC
j
j 1
5 -Le fonction de ce circuit :
C’est un circuit : Dérivateur a basse fréquence, c'est à dire si W<<1/RC,
le condensateur a le temps de se charger quasiment complètement.
La tension aux bornes de la résistance dérive donc la tension d'entrée et le circuit
se comporte comme un montage dérivateur.
4 - Etude expérimentale du filtre CR
4.1 Réponse à un échelon :
4.1.1 Quelques définitions :
Temps de retard à la montée : C'est l'instant initial pour lequel Uc = 10% de la
valeur finale. On définit de la même manière le temps de retard de la descente.
Temps de montée C'est la durée entre les instants pour lesquels UC = 10% et Uc
= 90% de la variation totale. On définit de la même manière le temps de descente.
Temps d'établissement : à α % C'est la durée entre l'instant initial et l'instant où
UC = α % de la variation totale.
A l'entrée du circuit RC, envoyer un échelon et relever votre signal de sortie.
Mesurer puis vérifier les valeurs
de valeur théorique
- du temps de montée t,,
t, = 2.2T
- du temps d'établissement à
95%
de valeur théorique
37
- du temps d'établissement à
90%
de valeur théorique
2.37
- du temps d'établissement à
10%
de valeur théorique
0.105T
4.1.2 Variation de T en fonction de R à C constant :
R(KΩ)
10
20
30
40
50
tr(m.s)
0.2
0.5
0.75
1
1
τ
10-4
2.10-4
3.10-4
4.10-4
5.10-4
60
70
80
90
100
1.4
1.6
1.62
1.4
1.2
6.10-4
7.10-4
8.10-4
9.10-4
10.10-2
4.2 Etude fréquentielle :
A l’entrée du circuit CR on envoie des signaux rectangulaires de fréquence
variable et on prélève la tension de sortie aux bornes de R.
On trace les courbes obtenues dans les 3 cas :
 F < F0
 f = F0
 F > F0
(Voir feuille millimétrée)
Conclusion du TP :
- Si on observe l’étude expérimentale du filtre RC et CR on remarque q’ils
ont la même constante parce que ils ont la même variation de R
(10-100 KΩ) et la même valeur de C = 10 nF.
- Si on compare l’étude théorique qui dit que tr=2.2 τ, et nos résultas de
notre TP on obtient que dans le filtre RC on est un petit peu loin de la
valeur théorique et tous ça grâce a l’erreur de l’appareille, des perte
dans notre circuit et bien sur a l’erreur humaine, mais dans le circuit CR
on est pas du tout loin a nos résultas expérimentale.