a) definition

1
PRODUIT SCALAIRE ( dans le plan )
( Produit scalaire : forme bilinéaire, symétrique , définie et positive )
Un espace vectoriel ( sur le corps IR ) muni d’un produit scalaire est un espace euclidien .
1 ) PRODUIT SCALAIRE
A) DEFINITION
 Soit
Error!
et
Error!
deux vecteurs non nuls du plan .
Le produit scalaire de
Error!
par
Error!
noté
Error!
.
Error!
est le nombre défini par l’une ou l’autre des égalités ci-dessous :
Le produit scalaire dépend de l’unité de longueur choisie pour définir la distance dans le plan .
Error! . Error! = Error! ( Error! Error! + Error! Error! 2 - Error! Error! Error! 2 - Error! Error! Error! 2 )
Error! . Error! = x x’ + y y’ où ( x ; y ) et ( x’ ; y’ ) sont les coordonnées respectives de Error! et de Error! dans un
repère orthonormal
quelconque .
Error!
.
Error!
=
Error!
.
Error!
= OA
OB
cos
Error!
=
Error!
Error!
Error!
Error!
Error!
Error!
cos (
Error!
,
Error!
)
Le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit de leurs normes par
le cosinus de l’angle qu’ils forment.
cos AOB = cos (
Error!
,
Error!
) Ce n’est pas toujours vrai pour le sinus .
où O , A et B sont trois points du plan tels que
Error! = Error!et Error! = Error! .
H est le projeté orthogonal de B sur ( OA )
Error! . Error! = Error! . Error!
 Si
Error!
=
Error!
ou
Error!
=
Error!
, on pose
Error!
.
Error!
= 0 .
Preuve de l’égalité de ces quatre expressions :
 Montrons que 1
2 (
Error!
Error!
+
Error!
Error!
2 -
Error!
Error!
Error!
2 -
Error!
Error!
Error!
2 ) = x x’ + y y’
où ( x ; y ) et ( x’ ; y’ ) sont les coordonnées respectives de
Error!
et de
Error!
dans un repère orthonormal quelconque .
Error!
+
Error!
a pour coordonnées ( x + x’ ; y + y’ ) , donc
Error!
Error!
+
Error!
Error!
2 = ( x + x’ )² + ( y + y’)² = x² +x’² + 2 x x’ + y² +
y’² + 2y y’
et 1
2 (
Error!
Error!
+
Error!
Error!
2 -
Error!
Error!
Error!
2 -
Error!
Error!
Error!
2 ) =
Error!
(x² +x’² + 2 x x’ + y² + y’² + 2y y’
– x² – y² – x’² – y’² ) = x x’ + yy’
Rem: Si
Error!
et
Error!
ont pour coordonnées respectives ( X ; Y ) et ( X’ ; Y’ ) dans un autre repère orthonormal , on trouve de la
même façon :
1
2 (
Error!
Error!
+
Error!
Error!
2 -
Error!
Error!
Error!
2 -
Error!
Error!
Error!
2 ) = X X’ +Y Y’
 Montrons que OA OB cos AOB = x x’ + y y’ où ( x ; y ) et ( x’ ; y’ ) sont les coordonnées respectives de
Error!
et
Error!
dans un repère orthonormal bien choisi …
Choisissons un repère orthonormal ( O ; Error! ,Error! ) tel que Error! et Error!
soient colinéaires et de même sens .
On note ( x ; y ) et ( x’ ; y’ ) les coordonnées respectivement de Error! et Error! dans ce
repère .
Ce n’est pas une
multiplication …
= Error!
Le produit scalaire de deux
vecteurs est un réel .
O H A
B
H O A
B
B
Error!
O Error! H A

2
On a alors : x = OA , y = 0 , x’ = OB cos AOB et y’ = OB sin AOB
Ainsi x x’ + y y’ = OA . OB cos AOB + 0 OB sin AOB = OA . OB cos AOB
 Montrons que OA OB cos AOB =
Error!
Dans le repère défini ci-dessus :
L’abscisse de H est celle de B , c'est à dire OB cos AOB .
Ainsi OA OB cos AOB = OA x H
Deux cas se présentent :
Si
Error!
et
Error!
sont de même sens , alors
Error!
et
Error!
sont de même sens et x H = OH ;
d’où OA OB cos AOB = OA OH
Si
Error!
et
Error!
sont de sens contraire, alors
Error!
et
Error!
sont de sens contraire et x H = – OH ;
d’où OA OB cos AOB = – OA OH
Ex 1 :
Soit A ( 2 ; 3 ) , B ( -1 ; 4 ) et C ( -2 ; 1 ) trois points du plan muni d’un repère orthonormal.
On a
Error!
( – 3 ; 1 ) et
Error!
( – 1 ; – 3 ) d’où
Error!
.
Error!
= ( – 3 ) ( – 1 ) + (- 3 ) 1 = 0
Ex 2 :
Soit ABC un triangle équilatéral tel que AB = 3 ( dans l’unité de longueur choisie ) .
Les points E, F et D sont les milieux des côtés.
On a alors :
Error!
.
Error!
= AB AC cos (
Error!
) = 3 3 cos
Error!
=
Error!
 ou
Error!
.
Error!
= AB AE = 3
Error!
=
Error!
Error!
.
Error!
= AB . CE cos (
Error!
,
Error!
) = AB CE cos
Error!
= 0
 ou le projeté orthogonal de
Error!
sur
Error!
est le vecteur nul , donc
Error!
.
Error!
= 0
B ) REMARQUES
 Signe du produit scalaire :
On déduit facilement le signe du produit scalaire
Error!
.
Error!
suivant la nature de l’angle
Error!
.
En effet les normes des deux vecteurs
Error!
et
Error!
sont positives . On en déduit donc que
Error!
.
Error!
est du signe de cos
Error!
.
- Si 0 AOB < 90° , cos AOB > 0 et
Error!
.
Error!
> 0
- Si AOB = 90° ( c'est à dire
Error!
.
Error!
) , cos
Error!
= 0 et
Error!
.
Error!
= 0
- Si 90 < AOB 180° , cos AOB < 0 et
Error!
.
Error!
< 0
 Le produit scalaire de deux vecteurs
Error!
et
Error!
dépend de leur norme :
le cosinus d’un angle est un réel compris entre 1 et – 1 . On a donc :
–
Error!
Error!
Error!
Error!
Error!
Error!
Error!
.
Error!
Error!
Error!
Error!
Error!
Error!
Error!
Cauchy-Scwartz :
Error!
.
Error!
Error!
Error!
Error!
Error!
Error!
Error!
 Un cas agréable : les vecteurs colinéaires
 Si
Error!
et
Error!
sont colinéaires et de même sens, alors (
Error!
,
Error!
) = 0 et cos (
Error!
,
Error!
) = 1 .
Ainsi
Error!
.
Error!
=
Error!
Error!
Error!
Error!
Error!
Error!
 Si
Error!
et
Error!
sont colinéaires et de sens contraire , alors (
Error!
,
Error!
) =  et cos (
Error!
,
Error!
) =
– 1 . Ainsi
Error!
.
Error!
= –
Error!
Error!
Error!
Error!
Error!
Error!
A
B C
D E
F

3
C ) COMPLEMENTS SUR LES PROJECTIONS ORTHOGONALES
 D’après ce qui précède, on peut compléter la quatrième égalité du tableau :
Error!
.
Error!
=
Error!
.
Error!
En effet
Error!
.
Error!
=
Error!
Donc
Error!
.
Error!
=
Error!
.
Error!
Ce que l’on peut encore « améliorer » avec l’introduction des mesures algébriques :
Error!
 On a considéré les vecteurs de même origine, mais le résultat est le même dans les autres cas.
Si C’ et D’ sont les projetés orthogonaux de C et D sur ( AB ) , alors :
Error!
.
Error!
=
Error!
.
Error!
’ ( =
D'C'AB
)
Pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs , on peut remplacer l’un deux par son projeté orthogonal sur la droite qui porte
l’autre.
2 ) PROPRIETES
A ) OPERATIONS VECTORIELLES
Soit Error! , Error! et Error! trois vecteurs du plan et k un réel, on a :
Symétrie
Error! . Error! = Error! . Error!
Linéarité
Error! . ( Error! + Error! ) = Error! . Error! + Error! . Error! et
( Error! +Error! ) .Error! = Error! . Error! + Error! . Error!
( k Error! ) . Error! = k ( Error! . Error! ) et Error! . ( k
Error! ) = k ( Error! . Error! )
conséquence :
a Error! . b Error! = ab Error! .
Error!
( où a et b sont deux réels quelconques )
Preuve :
On se place dans un repère orthonormal ( utile pour la preuve seulement ) et on note ( x ; y ) , ( x’ ; y’ ) et ( x’’ ; y’’ ) les coordonnées
respectives de
Error!
,
Error!
et
Error!
.
Montrons l’égalité
Error!
. (
Error!
+
Error!
) =
Error!
.
Error!
+
Error!
.
Error!
; les autres égalités se montrent de la même
façon .
Error!
+
Error!
a pour coordonnées ( x + x’’ ; y + y’’ ) .
Donc
Error!
. (
Error!
+
Error!
) = x ( x’ + x’’ ) + y ( y’ + y’’ ) = x x’ + x x’’ + y y’ + yy’’ = ( x x’ + y y’ ) + ( x x’’ + y y’’ ) =
Error!
.
Error!
+
Error!
.
Error!
Ex :
 ( 3
Error!
– 2
Error!
) . ( 2
Error!
+
Error!
) =
 Expliquer pourquoi les écritures suivantes n’ont pas de sens :
- «
Error!
.
Error!
.
Error!
» :
- «
Error!
.
Error!
+
Error!
» :
- «
Error!
. ( k +
Error!
) » :
Rem :
Il y a des ressemblances évidentes entre les règles de calcul du produit scalaire et celles sur les réels, mais attention il ne faut pas
généraliser :
En effet, on peut avoir
Error!
.
Error!
= 0 avec
Error!
Error!
et
Error!
Error!
.
D’autre part
Error!
.
Error!
=
Error!
.
Error!
n’implique pas
Error!
=
Error!
.
B ) CARRE SCALAIRE ET NORME
Pour tout vecteur Error! du plan, le produit scalaire de Error! par lui même, Error! . Error! est appelé carré scalaire de Error! . On
Error!
Error!
A C’ Error! D’
B
D
C
La symétrie permet de dire que Error! . Error!
est le produit scalaire de Error! et de Error! (
plutôt que Error! par Error! …)

4
le note Error! 2 .
On a :
Error! 2 = Error! . Error! = Error! Error! Error!  Error! Error! Error! = Error! Error! Error! 2
d’où Error! Error! Error! = Error!
Ce qui donne, pour deux points A et B :
Error! 2 = Error! Error! Error! 2 = AB 2
Rem :
Error!
est unitaire si et seulement si
Error!
2 = 1
 Après quelques calculs, on retrouve des produits scalaires remarquables ( bien familiers )
(
Error!
+
Error!
) ² =
Error!
² +
Error!
² + 2
Error!
.
Error!
, (
Error!
–
Error!
) ² =
Error!
² +
Error!
² – 2
Error!
.
Error!
et (
Error!
+
Error!
) (
Error!
–
Error!
) =
Error!
² –
Error!
²
3 ) PRODUIT SCALAIRE ET ORTHOGONALITE
Dans un repère orthonormal, on considère les deux vecteurs Error! ( x ; y ) et Error! ( x’ ; y’ ) .
Error! et Error! sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul
Error!  Error!
Error! .
Error! = 0
Preuve :
 Si
Error!
=
Error!
ou
Error!
=
Error!
, le résultat est évident.
 Supposons
Error!
Error!
et
Error!
Error!
.
On a
Error!
.
Error!
=
Error!
Error!
Error!
Error!
Error!
Error!
cos (
Error!
,
Error!
)
Or
Error!
Error!
Error!
Error!
et
Error!
Error!
Error!
Error!
, ainsi :
Error!
.
Error!
= 0 cos (
Error!
,
Error!
) = 0 (
Error!
,
Error!
) =
Error!
+ k  ( où k
Error!
)
Error!
Error!
Rem :
 Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur du plan.
 On ne modifie pas le produit scalaire de deux vecteurs en ajoutant à l’un d’eux un vecteur orthogonal à l’autre.
(
Error!
+
Error!
) =
Error!
.
Error!
+
Error!
.
Error!
et
Error!
.
Error!
= 0 …
 Dans un repère orthonormal, le produit scalaire de
Error!
( x , y ) et
Error!
( x’ , y’ ) est
Error!
.
Error!
= xx’ + yy’
On en déduit que :
Error!
Error!
x x’ + y y’ = 0
Ex : ( Important )
En posant
Error!
=
Error!
et
Error!
=
Error!
, on retrouve que ABCD est un losange
si et seulement si ses diagonales sont perpendiculaires .
En effet (
Error!
+
Error!
) (
Error!
–
Error!
) =
Error!
Error!
Error!
2 –
Error!
Error!
Error!
2
Ainsi
Error!
Error!
Error!
=
Error!
Error!
Error!
si et seulement si les vecteurs
Error!
+
Error!
et
Error!
–
Error!
sont orthogonaux .
4 ) COORDONNEES D’UN VECTEUR
La projection orthogonale d’un vecteur Error! sur un axe d muni d’un vecteur unitaire Error! est (
Error! . Error! ) Error!
Preuve :
Appelons p (
Error!
) ce projeté .
p (
Error!
) est colinéaire à
Error!
, il existe donc un réel k tel que p (
Error!
) = k
Error!
.
d
Error!
Error!
( Error! .
Error! )
Error!
Error!
Error!
C
D
B
A

5
De plus on a vu que
Error!
.
Error!
=
Error!
. p (
Error!
)
Ainsi
Error!
.
Error!
=
Error!
. ( k
Error!
) = k ( car
Error!
est unitaire ) ; on en déduit que
Error!
= (
Error!
.
Error!
)
Error!
.
Une conséquence pour les coordonnées d’un vecteur :
Soit (O; Error!, Error!) un repère orthonormal et Error! ( a ; b ) un
vecteur du plan .
On a :
a = Error! . Error! et b = Error! .
Error!
Le projeté orthogonal de Error! sur ( O ;Error! ) est a
Error! mais aussi
( Error! . Error! ) . Error! …
Si
Error!
Error!
, un vecteur quelconque
Error!
est la somme d’un vecteur colinéaire à
Error!
et d’un vecteur
Error!
1
orthogonal à
Error!
.
La décomposition est unique .
Error!
=
Error!
Error!
+
Error!
1
b Error!
Error!
Error!
Error! a
Error!