a) definition

1
PRODUIT SCALAIRE ( dans le plan )
( Produit scalaire : forme bilinéaire, symétrique , définie et positive )
Un espace vectoriel ( sur le corps IR ) muni d’un produit scalaire est un espace euclidien .
1 ) PRODUIT SCALAIRE
Ce n’est pas une
multiplication …
A) DEFINITION

Soit Error! et Error! deux vecteurs non nuls du plan .
Le produit scalaire de Error! par Error! noté Error! . Error! est le nombre défini par l’une ou l’autre des égalités ci-dessous :
Le produit scalaire dépend de l’unité de longueur choisie pour définir la distance dans le plan .
Error! . Error! = Error! ( Error! Error! + Error! Error! 2 - Error! Error! Error!
Error! . Error! = x x’ + y y’
2
- Error! Error! Error! 2 )
où ( x ; y ) et ( x’ ; y’ ) sont les coordonnées respectives de Error! et de Error! dans un
repère orthonormal
quelconque .
Error! . Error! = Error!. Error! = OA  OB  cos Error!
où O , A et B sont trois points du plan tels que
= Error! Error! Error! Error! Error! Error! cos (
Error! , Error! )
Error! = Error!et Error! = Error! .
B
B
Le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit de leurs normes par
le cosinus de l’angle qu’ils forment.
cos AOB = cos ( Error! , Error! ) Ce n’est pas toujours vrai pour le sinus .
O
H
A
H
O
A
H est le projeté orthogonal de B sur ( OA )
Error! . Error! = Error! . Error!
= Error!

Si Error! = Error! ou Error! = Error! , on pose Error! . Error! = 0 .
Le produit scalaire de deux
vecteurs est un réel .
Preuve de l’égalité de ces quatre expressions :

1 ( Error! Error! + Error! Error! 2 - Error! Error! Error! 2 - Error! Error! Error! 2 ) = x x’ + y y’
2
où ( x ; y ) et ( x’ ; y’ ) sont les coordonnées respectives de Error! et de Error! dans un repère orthonormal quelconque .
Montrons que
Error! + Error! a pour coordonnées ( x + x’ ; y + y’ ) , donc Error! Error! + Error! Error!2 = ( x + x’ )² + ( y + y’)² = x² +x’² + 2 x x’ + y
y’² + 2y y’
et 1 ( Error! Error! + Error! Error! 2 - Error! Error! Error!
2
– x² – y² – x’² – y’² ) = x x’ + yy’
2
- Error! Error! Error! 2 ) = Error! (x² +x’² + 2 x x’ + y² + y’² + 2
Rem: Si Error! et Error! ont pour coordonnées respectives ( X ; Y ) et ( X’ ; Y’ ) dans un autre repère orthonormal , on trouve de la
même façon :
1 ( Error! Error! + Error! Error! 2 - Error! Error! Error! 2 - Error! Error! Error! 2 ) = X X’ +Y Y’
2

Montrons que OA  OB  cos AOB = x x’ + y y’ où ( x ; y ) et ( x’ ; y’ ) sont les coordonnées respectives de Error!et Error!
dans un repère orthonormal bien choisi …
Choisissons un repère orthonormal ( O ; Error! ,Error! ) tel que Error! et Error!
soient colinéaires et de même sens .
On note ( x ; y ) et ( x’ ; y’ ) les coordonnées respectivement de Error! et Error! dans ce
repère .
B
Error!
O
Error!
H
A
2
On a alors : x = OA , y = 0 , x’ = OB cos AOB et y’ = OB sin AOB
Ainsi x x’ + y y’ = OA . OB cos AOB + 0  OB sin AOB = OA . OB cos AOB

Montrons que OA  OB  cos AOB = Error!
Dans le repère défini ci-dessus :
L’abscisse de H est celle de B , c'est à dire OB cos AOB .
Ainsi OA  OB  cos AOB = OA  x H
Deux cas se présentent :
Si Error! et Error!sont de même sens , alors Error! et Error! sont de même sens et x H = OH ;
d’où OA  OB  cos AOB = OA  OH
Si Error! et Error!sont de sens contraire, alors Error! et Error! sont de sens contraire et x H = – OH ;
d’où OA  OB  cos AOB = – OA  OH
Ex 1 :
Soit A ( 2 ; 3 ) , B ( -1 ; 4 ) et C ( -2 ; 1 ) trois points du plan muni d’un repère orthonormal.
On a Error!( – 3 ; 1 )
et Error! ( – 1 ; – 3 ) d’où
Error!. Error! = ( – 3 )  ( – 1 ) + (- 3 )  1 = 0
Ex 2 :
Soit ABC un triangle équilatéral tel que AB = 3 ( dans l’unité de longueur choisie ) .
Les points E, F et D sont les milieux des côtés.
On a alors :

Error!.Error!= AB  AC cos ( Error! ) = 3  3  cos Error! = Error!

ou Error!.Error! = AB  AE = 3  Error! = Error!

Error!. Error!= AB . CE  cos (Error!, Error! ) = AB  CE  cos Error! = 0

ou le projeté orthogonal de Error! sur Error! est le vecteur nul , donc Error!. Error!= 0
A
D
E
B ) REMARQUES
 Signe du produit scalaire :
F
B
On déduit facilement le signe du produit scalaire Error!. Error! suivant la nature de l’angle Error! . C
En effet les normes des deux vecteurs Error!et Error! sont positives . On en déduit donc que Error!. Error! est du signe de cos Error! .

-
Si 0  AOB < 90° , cos AOB > 0 et Error!. Error! > 0
-
Si AOB = 90° ( c'est à dire Error!. Error! ) , cos Error! = 0 et Error!. Error! = 0
-
Si 90 < AOB  180° , cos AOB < 0 et Error!. Error! < 0
Le produit scalaire de deux vecteurs Error! et Error! dépend de leur norme :
le cosinus d’un angle est un réel compris entre 1 et – 1 . On a donc :
– Error! Error! Error! Error! Error! Error!  Error! . Error!  Error! Error! Error! Error! Error! Error!
Cauchy-Scwartz :  Error! . Error!   Error! Error! Error! Error! Error! Error!

Un cas agréable : les vecteurs colinéaires

Si Error! et Error! sont colinéaires et de même sens, alors ( Error! , Error! ) = 0 et cos ( Error! , Error! ) = 1 .
Ainsi
Error! . Error! = Error! Error! Error! Error! Error! Error!

Si Error! et Error! sont colinéaires et de sens contraire , alors ( Error! , Error! ) =  et cos ( Error! , Error! ) =
– 1 . Ainsi
Error! . Error! = – Error! Error! Error! Error! Error! Error!
3
C ) COMPLEMENTS SUR LES PROJECTIONS ORTHOGONALES

D’après ce qui précède, on peut compléter la quatrième égalité du tableau : Error! . Error! = Error! . Error!
En effet Error! . Error!= Error!
Donc Error! . Error!= Error! . Error!
Ce que l’on peut encore « améliorer » avec l’introduction des mesures algébriques :
Error!

On a considéré les vecteurs de même origine, mais le résultat est le même dans les autres cas.
Error!
C
Error!
Si C’ et D’ sont les projetés orthogonaux de C et D sur ( AB ) , alors :
Error! . Error! = Error! . Error!’ ( = AB C' D' )
A
B
C’
Error!
D
D’
Pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs , on peut remplacer l’un deux par son projeté orthogonal sur la droite qui porte
l’autre.
2 ) PROPRIETES
A ) OPERATIONS VECTORIELLES
La symétrie permet de dire que Error! . Error!
est le produit scalaire de Error! et de Error! (
plutôt que Error! par Error! …)
Soit Error! , Error! et Error! trois vecteurs du plan et k un réel, on a :
Symétrie
Error! . Error! = Error! . Error!
Linéarité
Error! . ( Error! + Error! ) = Error! . Error! + Error! . Error!
et
( Error! +Error! ) .Error! = Error! . Error! + Error! . Error!
( k Error! ) . Error! = k ( Error! . Error! )
et
Error! . ( k
Error! ) = k ( Error! . Error! )
conséquence :
a Error! . b Error! = ab Error! .
Error!
( où a et b sont deux réels quelconques )
Preuve :
On se place dans un repère orthonormal ( utile pour la preuve seulement ) et on note ( x ; y ) , ( x’ ; y’ ) et ( x’’ ; y’’ ) les coordonnées
respectives de Error! , Error! et Error! .
Montrons l’égalité Error! . ( Error! + Error! ) = Error! . Error! + Error! . Error! ; les autres égalités se montrent de la même
façon .
Error! + Error! a pour coordonnées ( x + x’’ ; y + y’’ ) .
Donc
Error! . ( Error! + Error! ) = x ( x’ + x’’ ) + y ( y’ + y’’ ) = x x’ + x x’’ + y y’ + yy’’ = ( x x’ + y y’ ) + ( x x’’ + y y’’ ) = Error! .
Error! + Error! . Error!
Ex :

( 3 Error! – 2 Error! ) . ( 2 Error! + Error! ) =

Expliquer pourquoi les écritures suivantes n’ont pas de sens :
- « Error! . Error! . Error! » :
- « Error! . Error! + Error! » :
- « Error! . ( k + Error! ) » :
Rem :
Il y a des ressemblances évidentes entre les règles de calcul du produit scalaire et celles sur les réels, mais attention il ne faut pas
généraliser :
En effet, on peut avoir Error!.Error! = 0 avec Error!  Error! et Error!  Error! .
D’autre partError!.Error! = Error! . Error! n’implique pas Error! = Error! .
B ) CARRE SCALAIRE ET NORME
Pour tout vecteur Error! du plan, le produit scalaire de Error! par lui même, Error! . Error! est appelé carré scalaire de Error! . On
4
le note Error! 2 .
On a :
Error! 2 = Error! . Error! = Error! Error! Error!  Error! Error! Error! = Error! Error! Error! 2
d’où Error! Error! Error! = Error!
Ce qui donne, pour deux points A et B :
Error! 2 = Error! Error! Error! 2 = AB 2
Rem :

Error! est unitaire si et seulement si Error! 2 = 1

Après quelques calculs, on retrouve des produits scalaires remarquables ( bien familiers )
( Error! + Error! ) ² = Error! ² + Error! ² + 2 Error! . Error!
, ( Error! – Error! ) ² = Error! ² + Error! ² – 2
Error! . Error!
et
( Error! + Error! ) ( Error! – Error! ) = Error! ² – Error! ²
3 ) PRODUIT SCALAIRE ET ORTHOGONALITE
Dans un repère orthonormal, on considère les deux vecteurs Error! ( x ; y ) et Error! ( x’ ; y’ ) .
Error!  Error!  Error! .
Error! = 0
Error! et Error! sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul
Preuve :


Si Error! = Error! ou Error! = Error! , le résultat est évident.
Supposons Error! Error! et Error! Error!.
On a Error! . Error! = Error! Error! Error! Error! Error! Error! cos ( Error! , Error! )
Or Error! Error! Error!  Error! et Error! Error! Error!  Error! , ainsi :
Error! . Error! = 0  cos ( Error! , Error! ) = 0  ( Error! , Error! ) = Error! + k  ( où k  Error! ) Error! 
Error!
Rem :

Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur du plan.

On ne modifie pas le produit scalaire de deux vecteurs en ajoutant à l’un d’eux un vecteur orthogonal à l’autre.
( Error! + Error! ) = Error! . Error! + Error! . Error! et Error! . Error! = 0 …

Dans un repère orthonormal, le produit scalaire de Error! ( x , y ) et Error! ( x’ , y’ ) est Error!.Error! = xx’ + yy’
On en déduit que :
Error!  Error!  x x’ + y y’ = 0
A
Ex : ( Important )
Error!
Error!
En posant Error! = Error! et Error! = Error! , on retrouve que ABCD est un losange
D
si et seulement si ses diagonales sont perpendiculaires .
B
En effet ( Error! + Error! ) ( Error! – Error! ) = Error! Error! Error! 2 – Error! Error! Error! 2
C
Ainsi Error! Error! Error! = Error! Error! Error! si et seulement si les vecteurs Error! + Error! et Error! – Error!
sont orthogonaux .
4 ) COORDONNEES D’UN VECTEUR
Error!
La projection orthogonale d’un vecteur Error! sur un axe d muni d’un vecteur unitaire Error! est (
Error! . Error! ) Error!
Preuve :
Appelons p ( Error! ) ce projeté .
p ( Error! ) est colinéaire à Error! , il existe donc un réel k tel que p ( Error! ) = k Error! .
d
Error!
( Error! .
Error! )
Error!
5
De plus on a vu que Error! . Error! = Error! . p ( Error! )
Ainsi Error! . Error! = Error! . ( k Error! ) = k ( car Error! est unitaire ) ; on en déduit que Error! = ( Error! . Error! ) Error! .
Une conséquence pour les coordonnées d’un vecteur :
Soit (O; Error!, Error!) un repère orthonormal et Error! ( a ; b ) un
vecteur du plan .
On a :
a = Error! . Error!
et
b = Error! .
Error!
b Error!
Error!
Error!
Error!
a
Error!
Le projeté orthogonal de Error! sur ( O ;Error! ) est a
Error! mais aussi
( Error! . Error! ) . Error! …
Si Error!  Error! , un vecteur quelconque Error! est la somme d’un vecteur colinéaire à Error! et d’un vecteur Error! 1
orthogonal à Error! .
La décomposition est unique . Error! = Error! Error! + Error! 1