Vecteurs
publicité
Vecteurs 1/ Définition Un vecteur Error! est un objet mathématique caractérisé par : une direction, un sens, une longueur (ou norme). Si Error! est un représentant du vecteur Error!, alors : - La direction du vecteur Error! est la droite (AB), - Le sens du vecteur Error! est le sens A vers B, - La longueur du vecteur Error! est la longueur AB du segment [AB]. Remarques : La translation qui transforme A en B est appelée translation de vecteur Error!. Le vecteur Error! est l’opposé du vecteur Error!. Error! = Error! = Error! = … est appelé le vecteur nul et est noté Error!. Il n’a ni direction, ni sens. B B 2/ Propriétés C C A A Si Error! = Error! alors ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati). D D B B C Si ABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati) alors Error! = Error! et Error! = Error! A D Si Error! = Error! alors B est le milieu de [AC] Si B est le milieu de [AC] alors Error! = Error! C A D C C B B A A 3/ Somme de vecteurs A, B et C étant trois points du plan, la translation de vecteur Error! suivie de la translation de vecteur Error! est la translation de vecteur Error!. On écrit alors : Error! + Error! = Error! (relation de Chasles) et on dit que Error! est la somme de Error! et Error! . Construction de la somme de deux vecteurs : Error! Error! Error! Error! Error! = Error! + Error! Error! Error! Relation de Chasles Règle du parallélogramme Remarques : Quels que soient Error! et Error! : Error! + Error! = Error! + Error! La somme de deux vecteurs opposés est égale au vecteur nul. C C B A B A Si Error! + Error! = Error! alors B est le milieu de [AC]. Si B est le milieu de [AC] alors Error! + Error! = Error!. 4/ Produit d’un vecteur par un réel Soit Error! un vecteur et k un nombre réel. On définit le vecteur kError! de la façon suivante : Si k 0 alors kError! est le vecteur qui a la même direction et le même sens que Error! et une longueur égale à k fois celle de Error!. Si k 0 alors kError! est le vecteur qui a la même direction que Error!, le sens opposé à Error! et une longueur égale à –k fois celle de Error!. Si k = 0 alors kError! est le vecteur nul. Error! Error!– Error! Error! 3 Error! 5/ Bases et repères a) Définition Soient O, I et J trois points non alignés du plan. On pose Error! = Error! et Error! = Error!. On dit que le couple (Error! ; Error!) est une base du plan. On dit que (O ; Error! ; Error!) est un repère du plan. b) Coordonnées dans une base Étant donnée une base (Error! ; Error!) : Tout vecteur Error! s’écrit de façon unique en fonction de Error! et Error! : Error! = xError! + yError!. Le couple (x ; y) est le couple de coordonnées de Error!. x est l’abscisse de Error! et y est l’ordonnée de Error!. On note Error!(x ; y) ou Error!Error! Si Error!Error! et Error!Error! alors Error! + Error! ( x + x’;y + y’ ) et kError!Error! c) Coordonnées dans un repère Error! Error! Error! Error! – Error! 2 Error! = –2Error! + Error! Error! Error! donc Error!Error! Exemples : Si Error!(2 ; 5) et Error!(4 ; –1) alors Error! + Error!(2 + 4 ; 5 + (–1)) donc Error! + Error!(6 ; 4) –3Error!(–3 4 ; –3 (–1)) donc –3Error! (–12 ; 3) Étant donné un repère (O ; Error! ; Error!) : Quel que soit le point M du plan, le vecteur Error! s’écrit de façon unique en fonction de Error! et Error! : Error! = xError! + yError!. Le couple (x ; y) est le couple de coordonnées de M. x est l’abscisse de M et y est l’ordonnée de M. On note M(x ; y). Error! = 2Error! – Error! donc M(2 ; –1)l Error! O Error! M Si A(xA ; yA), B(xB ; yB) et I est le milieu de [AB] alors IError! Si A(xA ; yA), B(xB ; yB) alors Error!(xB – xA ; yB – yA). B 2 Exemple : Si A(–4 ; 4) et B(2 ; 1) alors xI = Error! = –1 et yI = Error! = Error! donc IError! –1 O –2 3 A A(3 ; –2) et B(–1 ; 2) donc Error!(–1 – 3 ; 2 – (– 2)) l Error!(– 4 ; 4) l 6/ Colinéarité a) Définition Deux vecteurs sont dits colinéaires s’ils ont la même direction. Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur. Error! Error! Error! et Error! sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel k tel que Error! = kError! ou tel que Error! = kError!. Error! Error! Error! = –2Error! donc Error! et Error! sont colinéaires Error! et Error! ne sont pas colinéaires b) Caractérisation de la colinéarité Soient Error!Error! et Error!Error!. Error! et Error! sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles. et Error! sont colinéaires si et seulement si xy’ – x’y = 0. Error! Remarque : La quantité xy’ – x’y est appelée déterminant des vecteurs Error! et Error!. Exemples : Les vecteurs Error!(6 ; –9) et Error!(–8 ; 12) sont-ils colinéaires ? Les vecteurs Error!(2 ; –6) et Error!(–3 ; 7) sont-ils colinéaires ? xError!yError! – xError!yError! = 6 12 – (–8) (–9) = 72 – 72 = 0 xError!yError! – xError!yError! = 2 7 – (–6) (–3) = 14 – 18 = – 4 0 et Error! sont donc colinéaires. Error! et Error! ne sont donc pas colinéaires. c)Error! Applications Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs Error! et Error! sont colinéaires. Exemple : Dans un repère (O ; Error! ; Error!), on a A(4 ; 2), BError!, CError! et DError!. Démontrer que ABCD est un trapèze. B Error!Error! donc Error!Error! Error!Error! donc Error!(–2 ; –1) –3 (–1) – (–2) Error! = 3 – 3 = 0. Les vecteurs Error! et Error! sont donc colinéaires. Ainsi les droites (AD) et (BC) sont parallèles donc ABCD est un trapèze. C A Error!D Error! Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs OError! et Error! sont colinéaires. Exemple : Dans un repère (O ; Error! ; Error!), on a A(–1 ; 5), B(0 ; 3) et C(2 ; –1). Démontrer que A, B et C sont alignés. A Error!(0 – (–1) ; 3 – 5) donc Error!(1 ; –2) Error!(2 – (–1) ; –1 – 5) donc Error!(3 ; – 6)1 On remarque que Error! = 3Error! (ou on calcule le déterminant : 1 (–6) – 3 (–2) = 0) On en déduit que Error! et Error! sont colinéaires. l Les points A, B et C sont donc alignés. B Error! O Error! C
