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Vecteurs

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A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
Vecteurs
1/ Définition
Un vecteur
est un objet mathématique caractérisé par : une direction, un sens, une longueur (ou
norme).
Si
est un représentant du vecteur
, alors :
- La direction du vecteur
est la droite (AB),
- Le sens du vecteur
est le sens A vers B,
- La longueur du vecteur
est la longueur AB du segment [AB].
Remarques :
La translation qui transforme A en B est appelée translation de vecteur
.
Le vecteur
est l’opposé du vecteur
.
=
=
= … est appelé le vecteur nul et est noté
. Il n’a ni direction, ni sens.
2/ Propriétés
Si
=
alors ABCD est un
parallélogramme (éventuellement aplati).
Si ABCD est un parallélogramme (éventuellement
aplati) alors
=
et
=
Si
=
alors B est le milieu de [AC]
Si B est le milieu de [AC] alors
=
3/ Somme de vecteurs
A, B et C étant trois points du plan, la translation de vecteur
suivie de la translation de vecteur
est la translation de vecteur
.
On écrit alors :
+
=
(relation de Chasles) et on dit que
est la somme de
et
.
Construction de la somme de deux vecteurs :
Relation de Chasles Règle du parallélogramme
Remarques :
Quels que soient
et
:
+
=
+
La somme de deux vecteurs opposés est égale au vecteur nul.
Error!
Error!
Error!
Error!
Error!
Error!
Error!
=
Error!
+
Error!
A
B
C
Si
+
=
alors B est le milieu
de [AC].
Si B est le milieu de [AC] alors
+
=
.
4/ Produit d’un vecteur par un réel
Soit
un vecteur et k un nombre réel. On définit le vecteur k
de la façon suivante :
Si k 0 alors k
est le vecteur qui a la même direction et le
même sens que
et une longueur égale à k fois celle de
.
Si k 0 alors k
est le vecteur qui a la même direction que
, le sens opposé à
et une longueur égale à –k fois
celle de
.
Si k = 0 alors k
est le vecteur nul.
5/ Bases et repères
a) Définition
Soient O, I et J trois points non alignés du plan. On pose
=
et
=
.
On dit que le couple (
;
) est une base du plan. On dit que (O ;
;
) est un
repère du plan.
b) Coordonnées dans une base
Étant donnée une base (
;
) :
Tout vecteur
s’écrit de façon unique en fonction de
et
:
= x
+ y
. Le couple (x ; y) est le couple de
coordonnées de
. x est l’abscisse de
et y est l’ordonnée
de
. On note
(x ; y) ou
Si
et
alors
+
( )
x + x’;y + y’ et k
c) Coordonnées dans un repère
Étant donné un repère (O ;
;
) :
Quel que soit le point M du plan, le vecteur
s’écrit de façon
unique en fonction de
et
:
= x
+ y
.
Le couple (x ; y) est le couple de coordonnées de M. x est
l’abscisse de M et y est l’ordonnée de M. On note M(x ; y).
Si A(xA ; yA), B(xB ; yB) et I est le milieu de [AB] alors I
Si A(xA ; yA), B(xB ; yB)
alors
(xB – xA ; yB –
yA).
Error!
3
Error!
Error!
–
Error!
Error!
Error!
Error!
Error!
Error!
Error!
–
2
Error!
Error!
= –2
Error!
+
Error!
Error!
donc
Error!Error!
Exemples :
Si
Error!
(2 ; 5) et
Error!
(4 ; –1)
alors
Error!
+
Error!
(2 + 4 ; 5 + (–1)) donc
Error!
+
Error!
(6 ; 4)
–3
Error!
(–3
4 ; –3
(–1)) donc –3
Error!
(–12 ; 3)
O
M
Error!
Error!
Error!
= 2
Error!
–
Error!
donc M(2 ; –1)l
Exemple :
Si A(–4 ; 4) et B(2 ; 1)
alors xI =
Error!
= –1 et yI =
Error!
=
Error!
donc I
Error!
B
2
A
3
–2
–1
O
A(3 ; –2) et B(–1 ; 2)
donc
Error!
(–1 – 3 ; 2 – (–
2)) l
Error!
(– 4 ; 4) l
6/ Colinéarité
a) Définition
Deux vecteurs sont dits colinéaires s’ils ont la même direction.
Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur.
et
sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel
k tel que
= k
ou tel que
= k
.
b) Caractérisation de la colinéarité
Soient
et
.
et
sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont
proportionnelles.
et
sont colinéaires si et seulement si xy’ –
x’y = 0.
Remarque : La quantité xy’ – x’y est appelée déterminant des vecteurs
et
.
c) Applications
Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs
et
sont
colinéaires.
Exemple :
Dans un repère (O ;
;
), on a A(4 ; 2), B
, C
et D
.
Démontrer que ABCD est un trapèze.
donc
donc
(–2 ; –1)
–3
(–1) – (–2)
= 3 – 3 = 0. Les vecteurs
et
sont donc colinéaires.
Ainsi les droites (AD) et (BC) sont parallèles donc ABCD est un trapèze.
Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs
et
sont
colinéaires.
Exemple :
Dans un repère (O ;
;
), on a A(–1 ; 5), B(0 ; 3) et C(2 ; –1).
Démontrer que A, B et C sont alignés.
(0 – (–1) ; 3 – 5) donc
(1 ; –2)
(2 – (–1) ; –1 – 5) donc
(3 ; – 6)1
On remarque que
= 3
(ou on calcule le déterminant : 1
(–6) – 3
(–2) = 0)
On en déduit que
et
sont colinéaires. l
Les points A, B et C sont donc alignés.
Error!
Error!
Error!
Error!
Error!
= –2
Error!
donc
Error!
et
Error!
sont colinéaires
Error!
et
Error!
ne sont pas
colinéaires
Exemples :
Les vecteurs Error!(6 ; –9) et Error!(–8 ; 12) sont-ils colinéaires ? Les vecteurs Error!(2 ; –6) et Error!(–3 ; 7) sont-ils
colinéaires ?
xError!yError! – xError!yError! = 6 12 – (–8) (–9) = 72 – 72 = 0 xError!yError! – xError!yError! =
2 7 – (–6) (–3) = 14 – 18 = – 4 0
Error! et Error! sont donc colinéaires. Error! et Error! ne sont donc pas colinéaires.
A
D
C
B
O
Error!
Error!
Error!
Error!
O
C
B
A
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