Droites remarquables d`un triangle

DROITES REMARQUABLES DANS UN TRIANGLE
I) Médiatrices des côtés d’un triangle
1) Propriétés
Si un point est sur la médiatrice d’un segment alors il est équidistant des extrémités de ce
segment.
Si un point est équidistant des extrémités d’un segment alors il est sur la médiatrice de ce
segment.
Si une droite est perpendiculaire à un segment et passe par son milieu alors c’est la médiatrice
de ce segment.
Si une droite est la médiatrice d’un segment alors elle est perpendiculaire à ce segment et
passe par son milieu.
2) Propriétés et définition
Dans un triangle, les médiatrices sont concourantes en un même point. Ce point est le centre
du cercle qui passe par les trois sommets du triangle. Ce cercle est appelé cercle circonscrit au
triangle.
Démonstration : voir activité
Dans les deux cas : OA = OB = OC et OA’ = OB’ = OC’
O
A
B
C
O
A’
B’
C’

Remarque : Pour obtenir le centre du cercle circonscrit, le tracé de deux médiatrices suffit.
II) Hauteurs d’un triangle
1) Définition
Dans un triangle, une hauteur est un segment qui passe par un sommet et qui est
perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.
On parle de hauteur issue de A ou hauteur relative au coté [BC] et de hauteur issue de A’ ou
hauteur relative au coté [B’C’]. Il s’agit de deux façons différentes de désigner la même
hauteur !
2) Propriétés et définition
Les supports des trois hauteurs d’un triangle sont concourants en un point.
Ce point de concours est appelé l’orthocentre du triangle.
Démonstration : voir activité
III) Médianes d’un triangle
1) Définition
Dans un triangle, une médiane est un segment joignant un sommet au milieu du côté opposé à
ce sommet.
A
C
B
C’
B’
A’
H
A
B
C
H
A’
B’
C’

A
C
B
A'
C'
B' G
Tracer un triangle ABC, placer I le milieu de [BC], [AI] est la médiane issue de A ou relative
à [BC].
2) Propriétés et définition
Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point.
Ce point de concours est appelé le centre de gravité du triangle (en posant une pointe sous ce
point, on se rend compte que celui-ci est en équilibre)
Démonstration
Si G est le centre de gravité d’un triangle ABC, alors G est situé aux deux tiers de chaque
médiane [AA’], [BB’] et [CC’] à partir du sommet
Si sur une médiane [AA’] d’un triangle ABC, le point G est tel que AG=2/3 AA’, alors G est
le centre de gravité de ABC
AG = 2/3 AA’
BG = 2/3 BB’
CG = 2/3 CC’
Démonstration
IV) Bissectrices des angles d’un triangle
1) Définition
La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui partage l’angle en deux angles adjacents de
même mesure.
B
C
A
I

2) Propriétés et définition
Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point.
Ce point de concours est le centre du cercle inscrit dans le triangle.
V) Cas particuliers
1) Dans un triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, les hauteurs issues des « sommets des angles aigus » sont
confondues avec les côtés de l’angle droit.
Dessin ou voir activité
Dans un triangle rectangle, les trois médiatrices sont concourantes en un point qui est le
milieu de l’hypoténuse.
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2) Dans un triangle isocèle
Dans un triangle isocèle, les quatre droites remarquables issues du sommet principal sont
confondues (c’est l’axe de symétrie du triangle isocèle).
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3) Dans un triangle équilatéral
Dans un triangle équilatéral, les quatre droites remarquables issues de chaque sommet sont
confondues (ce sont les trois axes de symétrie du triangle équilatéral).
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