Evaluation n° 1 - Le Web Pedagogique

Terminale STI génie électronique Page- 1
F. Chandelier
Les filtres analogiques
Ex. 01
Enoncé:
Pour le filtre ci – dessous, on donne
10 k , 10 nFRC  
1°) Quelle est la nature du filtre ?
2°) Déterminer la fonction de transfert du filtre ?
3°) Calculer la pulsation de coupure
C
.
4°) Représenter les courbes de gain et de phase en fonction de la pulsation, pour
0,1 10
CC
.
Solution:
1°) On peut retrouver la nature du filtre par une étude du comportement physique (asymptotique)
du filtre réciproquement aux basses fréquences (ou pulsations) et aux hautes fréquences.
Aux basses pulsations, typiquement
0
, le condensateur qui possède une
impédance
1
C
ZjC
se comporte donc comme un interrupteur ouvert (tout se passe comme si
l’intensité est nulle dans la branche du condensateur car
C
Z 
). On a donc le schéma
équivalent suivant:
Du fait de l’ouverture du circuit dans la branche contenant le condensateur aucun courant ne
circule, donc la tension aux bornes du conducteur ohmique est nulle.
e
U
R
C
s
U
e
U
R
s
U
0i
0i

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On a donc
se
UU
(loi des mailles).
Aux hautes pulsations, typiquement , le condensateur se comporte donc comme un
interrupteur fermé (la tension aux bornes du condensateur est nulle). On a donc le schéma
équivalent suivant:
On a donc
0
s
U
. On peut donc conclure que le filtre est un passe bas. De plus, il ne présente
qu’un composant possédant une impédance dépendant de la pulsation (celle du condensateur)
correspondant au signal du générateur. Il ne peut donc s’agir que d’un filtre passe bas d’ordre
un.
2°) La fonction de transfert se définit comme
() s
e
U
Tj U
. Par le théorème du pont diviseur de
tension on peut trouver très rapidement l’expression de la tension du signal de sortie étudié en
fonction du signal d’entrée. On a:
1
1
C
s e e
RC
ZjC
U U U
ZZ RjC
,
soit en multipliant en haut et en bas dans la fraction par
jC
:
1
1
se
UU
jRC
.
D’où la fonction de transfert:
1
()
1
Tj jRC
Remarque: on vérifie donc que le produit
RC
a la même unité que l’inverse d’une pulsation, donc
s’exprime en seconde.
3°) La pulsation de coupure
C
(à -3dB) se définit par la relation générale:
max
( ) ( ) 2
CC
T
T T j
(ou
max
( ) 3db
C
GG
en utilisant le gain)
où
max
T
représente la valeur maximale de l’amplification (module de la fonction de transfert).
On a ici:
2 2 2
1
() 1 TRC
. On voit aisément que la fonction de la pulsation ainsi définie est
décroissante et possède un maximum à la pulsation nulle, donc
max 1T
. Il suffit de résoudre donc
2 2 2
11
() 2
1
C
C
TRC
ou de façon équivalente
2 2 2
12
C
RC
soit
2 2 2
12
C
RC
.
e
U
R
0
s
U

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Donc, on trouve:
1
CRC
. Application numérique:
4 -1
10 rad.s
C
.
Remarque: c’est une caractéristique des fonctions de transfert d’ordre un passe bas et passe haut.
Elles présentent un dénominateur faisant intervenir directeur la pulsation de coupure (il est donc
aisé de la lire sur la formule):
1
C
j
.
4°) La courbe de gain s’obtient en traçant le gain en fonction de la pulsation. Il s’agit donc de
tracer simplement
( ) 20log ( )GT
qui s’exprime en dB. On a ici:
2
2
( ) 10log 1
C
G
sur
l’intervalle
0,1 ,10
CC
. L’intervalle de fréquence est quand même vaste, il est préférable de
donner la courbe en échelle logarithmique (tracé de Bode) qui permet mieux d’apprécier le profil
du filtre, et d’utiliser la pulsation réduite définie par
C
x
. On obtient la courbe suivante:
La courbe de phase s’obtient en traçant la phase en fonction de la pulsation, ou comme
précédemment en fonction de la pulsation réduite. Pour déterminer la phase, on doit trouver
l’argument de la fonction de transfert. On a:
( ) arg T( ) arg(1) arg 1 0 arg 1 .
CC
j j j
Rappel: pour calculer l’argument d’un nombre complexe
z a jb
, il suffit de l’écrire sous
forme trigonométrique
exp( arg( )) cos sinz j z z j
où
arg( )z
, on peut ainsi avoir
accès à la phase par le biais de sa tangente. On a
22
z a b
donc:

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22
2 2 2 2 cos sin
ab
z a b j z j
a b a b
Par indentification on a:
22
cos a
ab
et
22
sin b
ab
donc
tan ( 0)
ba
a
. On retiendra
donc qu’il suffit de lire la partie imaginaire et la partie réelle du nombre complexe considéré et
d’en faire le rapport. Il est donc rapide d’évaluer la tangente de la phase. Cependant pour bien
définir la phase, il faut prendre la précaution suivante:
si cos( ) 0, arctan
si cos( ) 0, arctan
b
ab
a
On trouve:
tan arg 1
CC
j
.
Il vient donc:
( ) arctan arctan
C
RC
ou
( ) arctanxx
.
On obtient la courbe suivante:

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Ex. 02
Enoncé:
Pour le filtre ci – dessus, on donne
10 k , 10 nFRC  
1°) Quelle est la nature du filtre ?
2°) Déterminer la fonction de transfert du filtre ?
3°) Calculer la pulsation de coupure
C
.
4°) Représenter les courbes de gain et de phase en fonction de la pulsation, pour
0,1 10
CC
.
Solution:
1°) On procède comme pour l’exercice 01 par l’étude du comportement physique du filtre
réciproquement aux basses pulsations et aux hautes pulsations.
Aux basses pulsations, typiquement
0
, le condensateur se comporte comme un interrupteur
ouvert. On a donc le schéma équivalent suivant:
Du fait de l’ouverture du circuit à la place du condensateur aucun courant ne circule dans la
branche du condensateur, et donc de même dans la branche contenant le conducteur ohmique. De
ce fait, la tension aux bornes du conducteur ohmique est nulle. Ainsi, on a donc
0
s
U
.
e
U
R
s
U
C
e
U
R
0
s
U
0i
e
U
R
s
U