symbolise l`ensemble des circuits que l`on souhaite alimenter sous

MP1 Physique - Chimie
DM n°2 Électrocinétique
1
MPSI 2
DM n°8
DM n°2 (Pour le vendredi
23 septembre 2016)
Etude d'une cellule de filtrage (d’après concours ingénieur)
Étude (Pour
d’unelecellule
de 2007)
filtrage
14 février
De nombreux
nombreux circuits
circuits électroniques
uneune
tension
continue
de 5 de
V. 5Une
De
électroniquessont
sontalimentés
alimentésavec
avec
tension
continue
V. Une
"alimentation
à
découpage"
transforme,
en
plusieurs
étapes,
la
tension
alternative
sinusoïdale
"alimentation à découpage" transforme, en plusieurs étapes, la tension alternative sinusoïdale du
du réseau
électrique
unetension
tension continue.
continue. La
à filtrer
une tension
réseau
électrique
en enune
La dernière
dernièreétape
étapeconsiste
consiste
à filtrer
une tension
rectangulaire représentée figure 1 par le filtre passif LC de la figure 2 dans lequel la résisrectangulaire
représentée figure 1 par le filtre passif LC de la figure 2 dans lequel la résistance R
tance R symbolise l’ensemble des circuits que l’on souhaite alimenter sous une tension presque
symbolise
l'ensemble des circuits que l'on souhaite alimenter sous une tension presque parfaitement
parfaitement constante.
continue.
u1
i1
L
i3
E
u1
i2
C
u2
R
t
0
Tf T
2T
figure 2
figure 1
Onétablit
établitàà l'entrée
l’entrée du
du filtre
tension
sinusoïdale
u1 (t)ude
ω. OnZ. On
On
filtre de
delalafigure
figure2 une
2 une
tension
sinusoïdale
de pulsation
1(t)pulsation
adoptelalanotation
notationcomplexe.
complexe. On posera :
adopte
On posera :
1
Lω0
ω0 =2 √ 1 et Q0 = L Zo
Zo LC et Qo R
LC
R
1. Étudier qualitativement le comportement de ce filtre en basse et en haute fréquence.
En déduire sa nature. Déterminer la fonction de transfert complexe
de ce montage
u2
H = u2la
/u1fonction
, en fonction
du rapport
ω/ω0 et de
de ce
Q0 .montage
L’exprimer
forme
canonique.
1) Déterminer
de transfert
complexe
H sous sa
, en
fonction
du rapport
u1
2. Étude en échelle linéaire du gain.
Z/Zo et de
a) Q
Quelle
inégalité doit vérifier Q0 pour que la courbe représentative de | H | en fonction
o.
de la pulsation ω présente une résonance ?
2) Etudeb)
en Quelle
échelleest
linéaire
fonction
alors, de
en la
fonction
de ω0 et de Q0 , la pulsation ω1 à la résonance ?
c) Représenter les deux allures possibles (suivant la valeur de Q0 ) de la courbe de | H |
en fonction
de la
pulsation
en faisant
apparaître les de
points
a) Quelle inégalité
doit
vérifier
Qo ωpour
que laclairement
courbe représentative
|H| de
en pulsations
fonction de la
remarquables
ω
=
0
et
ω
=
ω
.
pulsation Z présente un extremum ? 0
d) est
Tracer
l’allure
de la phase
en fonction
pulsation ω.Hmax et la valeur de
b) Quelle
alors,
en fonction
de Zϕo =
et arg(H)
Qo, la pulsation
Z1dedelal'extremum
?
H3.
en échelle logarithmique.
maxÉtude
c) Représenter
les deux
possibles
(suivant de
la la
valeur
de : Q
) de
a) Rechercher
lesallures
équations
des asymptotes
courbe
GodB
= la
20 courbe
log | H | représentative
= f (log ω). de
|H| en
la pulsation
en faisantlesclairement
apparaître
pulsations
b) fonction
Tracer lesdeasymptotes
et yZsuperposer
deux allures
possibles les
des points
courbesderéelles,
selon
les
valeurs
de
Q
.
remarquables Z = 0 et Z = Zo0. Tracer l'allure de Arg( H ) en fonction de la pulsation Z.
4. Étude en régime variable quelconque.
3) Etudea)
en Établir
échellepar
semi
logarithmique.
un–calcul
direct l’équation différentielle reliant les tensions u1 (t) et u2 (t)
en régime variable quelconque. On introduira les grandeurs ω0 et Q0 pour exprimer
a) Rechercher
équations
des directions asymptotiques de la courbe : GdB = 20 log |H| = f(log Z).
cetteles
équation
différentielle.
b) Tracer
directions
asymptotiques
et représenter
lesde
deux
allures possibles
des courbes
b) les
Retrouver
cette
équation différentielle
à partir
l’expression
de la fonction
de trans-réelles
par rapport
directions
asymptotiques.
fert àHces
établie
à la question
1.
1
MP1 Physique - Chimie
DM n°2 Électrocinétique
c) La tension u1 (t) est maintenant un échelon de tension :
(
u1 (t) = 0
u1 (t) = E
pour t < 0
pour t > 0
Lorsque le régime permanent est établi, déterminer l’expression de la tension u2 .
d) Retrouver cette valeur de u2 en analysant directement le comportement en régime
permanent des différents dipôles composant le filtre.
5. On applique au filtre le signal rectangulaire u1 (t) représenté à la figure 1. On appelle
α = Tf /T le rapport cyclique de la tension u1 (t)(0 < α < 1).
Rappeler la définition de la valeur moyenne d’une fonction périodique et calculer la
valeur moyenne U1moy de u1 (t).
Pour la suite du problème, on admettra que les trois premiers termes de la décomposition
en série de Fourier de u1 (t) s’écrivent :
u1 (t) = α E +
2E
E
sin(πα) cos(ωt + φ1 ) + | sin(2πα) | cos(2ωt + φ2 ) + ...
π
π
avec ω = 2π/T . Les expressions des phases φ1 et φ2 sont sans importance pour notre
étude.
6. Admettons que le signal rectangulaire u1 (t) soit correctement représenté par la superposition de sa composante continue U1moy et de son terme fondamental d’amplitude U1f , ce
qui constitue une approximation grossière de la réalité mais qui permet de comprendre
l’action du filtre sur le signal.
a) Le régime permanent étant établi, calculer la valeur moyenne U2moy du signal u2 (t)
à la sortie du filtre.
b) Exprimer l’amplitude U2f de la composante sinusoïdale de u2 (t) de pulsation ω en
sortie du filtre, en fonction de α, E, Q0 , ω0 et ω.
7. Application numérique.
Le signal rectangulaire a une fréquence f = 10 kHz et une amplitude E = 10 V. On
souhaite obtenir en sortie U2moy = 5 V avec une valeur moyenne de courant I2moy = 10
A dans la résistance R. D’autre part, les circuits électroniques alimentés ne fonctionnent
correctement que si ∆U2 = [ (u2 )max − (u2 )min ] 6 100 mV.
a) Calculer les valeurs numériques de α et R.
b) On choisit comme inductance de la bobine L = 125 µH. Quelle valeur faut-il donner au condensateur C pour que la condition ∆U2 6 100 mV soit respectée avec
l’hypothèse du 6. ?
c) Pour ces valeurs particulières, y-a-t-il un terme de pulsation 2ω dans u2 (t) ?
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