symbolise l`ensemble des circuits que l`on souhaite alimenter sous

MP1 Physique - Chimie DM n°2 Électrocinétique
DM n°2 (Pour le vendredi 23 septembre 2016)
Étude d’une cellule de filtrage
De nombreux circuits électroniques sont alimentés avec une tension continue de 5 V. Une
"alimentation à découpage" transforme, en plusieurs étapes, la tension alternative sinusoïdale
du réseau électrique en une tension continue. La dernière étape consiste à filtrer une tension
rectangulaire représentée figure 1 par le filtre passif LC de la figure 2 dans lequel la résis-
tance Rsymbolise l’ensemble des circuits que l’on souhaite alimenter sous une tension presque
parfaitement constante.
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MPSI 2
DM n°8
Etude d'une cellule de filtrage (d’après concours ingénieur)
(Pour le 14 février 2007)
De nombreux circuits électroniques sont alimentés avec une tension continue de 5 V. Une
"alimentation à découpage" transforme, en plusieurs étapes, la tension alternative sinusoïdale du
réseau électrique en une tension continue. La dernière étape consiste à filtrer une tension
rectangulaire représentée figure 1 par le filtre passif LC de la figure 2 dans lequel la résistance R
symbolise l'ensemble des circuits que l'on souhaite alimenter sous une tension presque parfaitement
continue.
On établit à l'entrée du filtre de la figure 2 une tension sinusoïdale u
1(t) de pulsation Z. On
adopte la notation complexe.
On posera :
2
o
1
LC
Z et o
o
L
QR
Z
1) Déterminer la fonction de transfert complexe de ce montage 2
1
u
Hu , en fonction du rapport
Z/Zo et de Qo.
2) Etude en échelle linéaire de la fonction
a) Quelle inégalité doit vérifier Qo pour que la courbe représentative de |H| en fonction de la
pulsation Z présente un extremum ?
b) Quelle est alors, en fonction de Zo et Q
o, la pulsation Z1 de l'extremum H max et la valeur de
Hmax ?
c) Représenter les deux allures possibles (suivant la valeur de Qo) de la courbe représentative de
|H| en fonction de la pulsation Z en faisant clairement apparaître les points de pulsations
remarquables Z = 0 et Z = Zo. Tracer l'allure de Arg( H ) en fonction de la pulsation Z.
3) Etude en échelle semi – logarithmique.
a) Rechercher les équations des directions asymptotiques de la courbe : GdB = 20 log |H| = f(log Z).
b) Tracer les directions asymptotiques et représenter les deux allures possibles des courbes réelles
par rapport à ces directions asymptotiques.
u1
E
0 Tf T 2T
t
u1
i1
L
C
i2
u2
i3
R
figure 1 figure 2
On établit à l’entrée du filtre de la figure 2 une tension sinusoïdale u1(t)de pulsation ω. On
adopte la notation complexe. On posera :
ω0=1
√LC et Q0=Lω0
R
1. Étudier qualitativement le comportement de ce filtre en basse et en haute fréquence.
En déduire sa nature. Déterminer la fonction de transfert complexe de ce montage
H=u2/u1, en fonction du rapport ω/ω0et de Q0. L’exprimer sous sa forme canonique.
2. Étude en échelle linéaire du gain.
a) Quelle inégalité doit vérifier Q0pour que la courbe représentative de |H|en fonction
de la pulsation ωprésente une résonance ?
b) Quelle est alors, en fonction de ω0et de Q0, la pulsation ω1à la résonance ?
c) Représenter les deux allures possibles (suivant la valeur de Q0) de la courbe de |H|
en fonction de la pulsation ωen faisant clairement apparaître les points de pulsations
remarquables ω= 0 et ω=ω0.
d) Tracer l’allure de la phase ϕ=arg(H)en fonction de la pulsation ω.
3. Étude en échelle logarithmique.
a) Rechercher les équations des asymptotes de la courbe : GdB = 20 log |H|=f(log ω).
b) Tracer les asymptotes et y superposer les deux allures possibles des courbes réelles,
selon les valeurs de Q0.
4. Étude en régime variable quelconque.
a) Établir par un calcul direct l’équation différentielle reliant les tensions u1(t)et u2(t)
en régime variable quelconque. On introduira les grandeurs ω0et Q0pour exprimer
cette équation différentielle.
b) Retrouver cette équation différentielle à partir de l’expression de la fonction de trans-
fert Hétablie à la question 1.
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c) La tension u1(t)est maintenant un échelon de tension :
(u1(t) = 0 pour t < 0
u1(t) = Epour t>0
Lorsque le régime permanent est établi, déterminer l’expression de la tension u2.
d) Retrouver cette valeur de u2en analysant directement le comportement en régime
permanent des différents dipôles composant le filtre.
5. On applique au filtre le signal rectangulaire u1(t)représenté à la figure 1. On appelle
α=Tf/T le rapport cyclique de la tension u1(t)(0 < α < 1).
Rappeler la définition de la valeur moyenne d’une fonction périodique et calculer la
valeur moyenne U1moy de u1(t).
Pour la suite du problème, on admettra que les trois premiers termes de la décomposition
en série de Fourier de u1(t)s’écrivent :
u1(t) = α E +2E
πsin(πα) cos(ωt +φ1) + E π|sin(2πα)|cos(2ωt +φ2) + ...
avec ω= 2π/T . Les expressions des phases φ1et φ2sont sans importance pour notre
étude.
6. Admettons que le signal rectangulaire u1(t)soit correctement représenté par la superpo-
sition de sa composante continue U1moy et de son terme fondamental d’amplitude U1f, ce
qui constitue une approximation grossière de la réalité mais qui permet de comprendre
l’action du filtre sur le signal.
a) Le régime permanent étant établi, calculer la valeur moyenne U2moy du signal u2(t)
à la sortie du filtre.
b) Exprimer l’amplitude U2fde la composante sinusoïdale de u2(t)de pulsation ωen
sortie du filtre, en fonction de α,E,Q0,ω0et ω.
7. Application numérique.
Le signal rectangulaire a une fréquence f= 10 kHz et une amplitude E= 10 V. On
souhaite obtenir en sortie U2moy = 5 V avec une valeur moyenne de courant I2moy = 10
A dans la résistance R. D’autre part, les circuits électroniques alimentés ne fonctionnent
correctement que si ∆U2= [ (u2)max −(u2)min ]6100 mV.
a) Calculer les valeurs numériques de αet R.
b) On choisit comme inductance de la bobine L= 125 µH. Quelle valeur faut-il don-
ner au condensateur Cpour que la condition ∆U26100 mV soit respectée avec
l’hypothèse du 6. ?
c) Pour ces valeurs particulières, y-a-t-il un terme de pulsation 2ωdans u2(t)?
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